一．基本原理
1.零比零（）型，即趨向于某數(shù)時(shí)，分子、分母趨向于零.
若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）；
（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；
（3）且(可為實(shí)數(shù)，也可為)，那么：
.
2.無(wú)窮比無(wú)窮（）型，即趨向于某數(shù)時(shí)，分子、分母趨向于無(wú)窮.
若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）；
（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；
（3）且(可為實(shí)數(shù)，也可為)，那么：
.
二．典例分析
1.分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題
例1.（2020全國(guó)1卷）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.
解析（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立分離參數(shù)之后等價(jià)于，求導(dǎo)可得：，一方面由于（易證，略），故，代入得：.
習(xí)題1.已知函數(shù)，，若，且對(duì)任意恒成立，則的最大值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）
解析：，即.由于對(duì)任意恒成立，
所以，即.令，，.令，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，所以在上單調(diào)遞增.所以. 又，所以.
故選：B.
2.分離參數(shù)法解決零點(diǎn)問(wèn)題
例2.（2022乙卷）已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
注：這道題目分參過(guò)后就引入了洛必達(dá)法則，其難度很大！
習(xí)題2．（2018全國(guó)2卷改編）已知函數(shù)（）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
解析：令，顯然，所以，
令（），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“若圖象與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍”.，令，解得，當(dāng)或時(shí)，，在，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
在處取極小值，作出的簡(jiǎn)圖，由圖可知，要使直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.
3.參變辦分離（分離直線）
在利用分離參數(shù)時(shí)，我們可以使用參變半分，即分離直線的形式來(lái)處理.
例3．設(shè)函數(shù)，其中 ，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
解析：設(shè)，，
由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，
，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)的最小值為.
又，.
直線恒過(guò)定點(diǎn)且斜率為，
故且，解得，故選D.
三．習(xí)題演練
習(xí)題1．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，若點(diǎn)，分別在，的圖象上，則當(dāng)取最大值時(shí)，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
解析：由題可知，曲線與有公共點(diǎn)，即方程有實(shí)數(shù)解，即有實(shí)數(shù)解，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以，所以，即的最大值為，
此時(shí)，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，如圖，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以切線方程為，易求得平行線與
之間的距離為，即的最小值為.
習(xí)題2. 已知函數(shù).，若方程在有且只有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解析：.
在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
令，，則.
令，，則，
顯然在上恒成立，故在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，即，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，有，即，所以單調(diào)遞增.
因?yàn)?，，?br>所以的取值范圍是.
習(xí)題3. 已知函數(shù)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍
解析：由題意可知當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，
設(shè)，此時(shí)
，此時(shí)
恒成立，恒成立
在上單調(diào)遞增
但是當(dāng)時(shí)，型，用洛必達(dá)法則；
根據(jù)洛必達(dá)法則可知
所以的取值范圍是
習(xí)題4.已知在上恒成立，求的取值范圍
解析：當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，
設(shè)
設(shè)，此時(shí)單調(diào)遞增，且
在上恒增又時(shí)，型，所以使用洛必達(dá)法則
根據(jù)洛必達(dá)法則，可得所以的取值范圍是

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