一．基本原理與解題方法
1.極值點(diǎn)偏移現(xiàn)象
（1）.已知函數(shù)的圖象的極值點(diǎn)為，若的兩根的中點(diǎn)剛好滿足即極值點(diǎn)在兩根的正中間，此時(shí)極值點(diǎn)沒(méi)有偏移，函數(shù)在兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，如圖(1)．
（2）．若，則極值點(diǎn)偏移，此時(shí)函數(shù)在兩側(cè)的函數(shù)值變化快慢不同，如圖(2)(3)．
2.極值點(diǎn)偏移題目特征：
①.函數(shù)的極值點(diǎn)為；
②.函數(shù)，然后證明：或.
3.構(gòu)造偏差證明極值點(diǎn)偏移的基本方法：
①.構(gòu)造一元差函數(shù)或是；
②.對(duì)差函數(shù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性；
③.結(jié)合或，判斷的符號(hào)，從而確定與的大小關(guān)系；
④.由的大小關(guān)系，得到，（橫線上為不等號(hào)）；
⑤.結(jié)合單調(diào)性得到，進(jìn)而得到.
二．典例分析
類型1.構(gòu)造偏差函數(shù)證明極值點(diǎn)偏移
例1.（2021新高考1卷）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，且，證明：.
解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)椋?，即?br>故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).
因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，
故.先證：，若，必成立.若， 要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，
則，因?yàn)?，故，故，所以，故在為增函?shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.
練習(xí)1. 已知函數(shù)（a為常數(shù)）.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在兩個(gè)不相等的整數(shù)，滿足，求證：.
解析：（1）的定義域?yàn)椋?br>（1）當(dāng)時(shí)，恒有，故在上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)時(shí)，由，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上（1）（2）可知：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由（1）知時(shí)，在上單調(diào)遞增，若，
則不合題意；故，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)，滿足，則，必有一個(gè)在上，另一個(gè)在，不妨設(shè)，則，
又由（1）知時(shí)，，即，所以，
因?yàn)椋?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即.
從上述的例子可以看出，構(gòu)造偏差函數(shù)的實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)單調(diào)性在解（證明）不等式，當(dāng)雙變量分別位于極值點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，可將一側(cè)的變量利用所證結(jié)論（極值點(diǎn)偏移）轉(zhuǎn)化到同一側(cè)利用函數(shù)單調(diào)性完成證明.于是，構(gòu)造偏差函數(shù)還可以用于下面的乘積型偏移.
類型2.乘積型偏移
例2.（2022全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．
（1）若，求a的取值范圍；
（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．
解析：（1）的取值范圍為
（2）由題知，一個(gè)零點(diǎn)小于1，一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)，要證,即證，因?yàn)?，即證，因?yàn)?即證
即證，即證
下面證明時(shí)，，設(shè)，
則
，設(shè)
所以，所以，所以，所以在單調(diào)遞增
即,所以，令
，所以在單調(diào)遞減
即,所以；綜上，，所以.
點(diǎn)評(píng)：因?yàn)?，即證，實(shí)質(zhì)就是偏差函數(shù)的核心思想！
練習(xí)2．設(shè)函數(shù)，已知直線是曲線的一條切線.
（1）求的值，并討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，其中，證明：.
解析：（1）設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，
，；
又，，即；
設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，
又，有唯一零點(diǎn)，，，解得：；
，，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知：；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；要證，只需證；
在上單調(diào)遞減，只需證，
又，則只需證對(duì)任意恒成立；
設(shè)，；
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，，
又當(dāng)時(shí)，，，
在上單調(diào)遞增，，
即在時(shí)恒成立，又，
，原不等式得證.
類型3.拐點(diǎn)偏移
當(dāng)理解到偏差函數(shù)的本質(zhì)時(shí)，很多不是極值點(diǎn)偏移的雙變量問(wèn)題也可利用它來(lái)解決，例如下面的拐點(diǎn)偏移.
無(wú)偏移 偏移之后



所以，拐點(diǎn)偏移類的題目的命制特點(diǎn)便是：已知函數(shù)滿足，證明：或者，讀者應(yīng)該注意其與極值點(diǎn)偏移在命題表述上的區(qū)別. 下面我們通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)展示拐點(diǎn)偏移類問(wèn)題的解法，其依然是構(gòu)造偏差函數(shù)來(lái)證明偏移.
例3．已知函數(shù).
（1）求的極大值；
（2）設(shè)，是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)的極大值為.
（2）證明：因?yàn)?，則，即，
由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?、是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且滿足，不妨設(shè)，
構(gòu)造函數(shù)，則，
令，則.
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，
故，所以，，
且，函數(shù)在上為減函數(shù)，故，則.
練習(xí)3．已知函數(shù)，其定義域?yàn)?（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，且，證明: .
解析：（2）∵函數(shù)為上的增函數(shù)，∴，即，
注意到，故，∴不妨設(shè)，
欲證，只需證，只需證，
即證，即證，
令，，只需證，
∴ ，
下證，即證，
由熟知的不等式可知，
當(dāng)時(shí)，即，
∴ ，
易知當(dāng)時(shí)，，∴，
∴，
∴，即單調(diào)遞增，即，從而得證.
總練習(xí)題（2016全國(guó)1卷）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
（1）求的取值范圍；
（2）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
解析：（1）過(guò)程略去，綜上，的取值范圍為．
（2）不妨設(shè)，由（1）知，，在單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即．
由于，而，所以
．
設(shè)，則．
所以當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．
從而，故．

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