第二十七章綜合素質(zhì)評價(jià) 一、選擇題(每題3分，共30分) 1.如圖是杭州亞運(yùn)會吉祥物“宸宸”，右邊的“宸宸”是由左邊的“宸宸”經(jīng)過下列哪個(gè)變換得到的(　　) A．平移變換 B．旋轉(zhuǎn)變換 C．軸對稱變換 D．相似變換 2．已知線段a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2 cm，b＝4 cm，c＝5 cm，則d等于(　　) A．1 cm B．10 cm C．eq \f(5,2) cm D．eq \f(8,5) cm 3．(母題：教材P29探究)如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，則EF的長為(　　) A．2.4 B．3 C．3.6 D．4.8 4．某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經(jīng)測量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度AB與從輪子底部到拉桿頂部的高度CD之比是黃金比(約等于0.618)．已知CD＝80 cm，則AB約是(　　) A．30 cm B．49 cm C．55 cm D．129 cm 5．[2023·濟(jì)南外國語學(xué)校月考]已知△ABC，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是(　　) A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．eq \f(AP,AB)＝eq \f(AB,AC) D．eq \f(AB,BP)＝eq \f(AC,CB) 6．[2023·陜西]如圖，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在DB上，DF＝2BF.連接EF并延長，與CB的延長線相交于點(diǎn)M.若BC＝6，則線段CM的長為(　　) A．eq \f(13,2) B．7 C．eq \f(15,2) D．8 7．(母題：教材P40例5)如圖，為估算河的寬度(河兩岸平行)，在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上，若測得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，則河的寬度AB等于(　　) A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 8．[2022·巴中]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC∶ OC＝1∶2，過C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C，D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1，3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(　　) A．4 B．5 C ．6 D．7 9.《西游記》的故事家喻戶曉，特別是書中的孫悟空嫉惡如仇斬妖除魔大快人心．在一次降妖過程中，孫悟空念動咒語將一片樹葉放大后射向妖魔．假如樹葉放大的過程可以看成是在平面直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為位似中心的位似變換，且整個(gè)過程中無旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)變化前樹葉尖部點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，在咒語中變化后得到對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(300a＋200，300b－100)，則變化后樹葉的面積變?yōu)樵瓉淼?　　) A．300倍 B．3 000倍 C．9 000倍 D．90 000倍 10．[2023·安徽]如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F，連接DE并延長，交邊BC于點(diǎn)M，交邊AB的延長線于點(diǎn)G.若AF＝2，F(xiàn)B＝1，則MG＝(　　) A．2eq \r(3) B．eq \f(3\r(5),2) C．eq \r(5)＋1 D．eq \r(10) 二、填空題(每題3分，共24分) 11．(母題：教材P27練習(xí)T1)假期，爸爸帶小明去A地旅游，小明想知道A地與他所居住的城市的距離，他在比例尺為1500 000的地圖上測得所居住的城市距A地32 cm，則小明所居住的城市與A地的實(shí)際距離為________km. 12．[2023·淮北一中月考]若eq \f(2a－b,2＋b)＝eq \f(3,4)，則eq \f(b,a)＝________． 13．[2022·嘉興]如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為________． 14.如圖，在△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為位似中心，作△ABC的位似圖形△DEF.若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D是△ABC的重心，則△ABC與△DEF的位似比為________． 15.《海島算經(jīng)》中記載：“今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合．問島高幾何．”其大意是：如圖，為了求海島上的山峰AB的高度，在D處和F處豎立高都是3丈(1丈＝eq \f(5,3)步)的標(biāo)桿CD和EF，D，F(xiàn)相隔1 000步，并且AB，CD和EF在同一平面內(nèi)，從D處后退123步到G處時(shí)，A，C，G在一條直線上；從F處后退127步到H處時(shí)，A，E，H在一條直線上，則山峰的高度AB為________步． 16．如圖，已知⊙O的內(nèi)接正方形ABCD，點(diǎn)F是eq \o(CD,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，AF與邊DC交于點(diǎn)E，那么eq \f(EF,AE)＝________． 17．如圖，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的頂點(diǎn)D，E在AB上，點(diǎn)F，G分別在BC，AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，則EF的長為________． 18.2002年的國際數(shù)學(xué)家大會在中國北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會，這次大會的會徽選定了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形(Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA)拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF，EG，BH分別相交于點(diǎn)P，O，Q，若BE∶EQ＝3∶2，則eq \f(OP,OE)的值是______． 三、解答題(19～21題每題12分，其余每題15分，共66分) 19．如圖，已知DE∥BC，AD＝15，AE＝9，BD＝4，求AC的長． 20．如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(2，2)． (1)在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作△OAB的位似圖形△OA1B1，使新圖與原圖的相似比為2∶1； (2)A1B1的長為________(結(jié)果保留根號)； (3)△OA1B1的面積為________． 21.清朝《數(shù)理精蘊(yùn)》里有一首小詩《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都開門，南門直行八里止，腳下有座塔聳立，又出西門二里停，切城角恰見塔形．請問諸君能算者，方城每邊長是幾？ 如圖所示，詩的意思：有正方形的城池一座，四面城墻的正中有門，從南門口(點(diǎn)D)直行8里有一塔(點(diǎn)A)，自西門(點(diǎn)E)直行2里至點(diǎn)B，切城角(點(diǎn)C)也可以看見塔，問這座方城每面城墻的長是多少里？ 22．(母題：教材P44習(xí)題T14)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P為BC邊上的動點(diǎn)(與B，C不重合)，PD∥AB，交AC于點(diǎn)D，連接AP，設(shè)CP＝x，△ADP的面積為S. (1)用含x的代數(shù)式表示AD的長； (2)求S與x的函數(shù)解析式，并求當(dāng)S隨x增大而減小時(shí)x的取值范圍及S的最 大值． 23．[2023·恩施州]如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接CO交⊙O于點(diǎn)E，⊙O與AC相切于點(diǎn)D． (1)求證：BC是⊙O的切線； (2)延長CO交⊙O于點(diǎn)G，連接AG交⊙O于點(diǎn)F，若AC＝4eq \r(2)，求FG的長． 答案 一、1．D　2．B 3　C【點(diǎn)撥】∵AD∥BE∥CF，∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF)，∵AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，∴eq \f(1,3)＝eq \f(1.2,EF)，∴EF＝3.6，故選C． 4．B 5．D【點(diǎn)撥】A．當(dāng)∠ABP＝∠C時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB；B．當(dāng)∠APB＝∠ABC時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB；C．當(dāng)eq \f(AP,AB)＝eq \f(AB,AC)時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB；D．無法得到△ABP∽△ACB．故選D． 6．C【點(diǎn)撥】∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×6＝3， ∴△DEF∽△BMF，∴eq \f(DE,BM)＝eq \f(DF,BF)＝eq \f(2BF,BF)＝2，∴BM＝eq \f(3,2)，∴CM＝BC＋BM＝eq \f(15,2).故選C． 7．B【點(diǎn)撥】測河寬也可采用構(gòu)造全等三角形進(jìn)行測量的方法，在實(shí)際應(yīng)用中，這種方法雖然能直接通過測量對應(yīng)邊的長得出未知量，但是往往會受到場地、測量儀器等的限制，而利用相似三角形的知識，通過能測量的三角形的邊長及相似三角形的性質(zhì)求此距離可以減少限制，所以其應(yīng)用面更廣． 8．C【點(diǎn)撥】由CD∥OB易知△ACD∽△AOB，得eq \f(AC,AO)＝eq \f(CD,OB).根據(jù)ACOC＝12得 eq \f(AC,AO)＝eq \f(1,3)，根據(jù)C，D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1，3，得CD＝2，所以eq \f(2,OB)＝eq \f(1,3)，解得OB＝6.即可得出答案． 9．D【點(diǎn)撥】由題意可知樹葉先放大到原來的300倍，再向右平移200個(gè)單位長度，最后向下平移100個(gè)單位長度，根據(jù)位似比等于相似比，面積比等于相似比的平方即可求解．　 10．B【點(diǎn)撥】∵四邊形ABCD是正方形，AF＝2，F(xiàn)B＝1，∴CD＝AD＝AB＝ BC＝3，∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠GBM＝90°，AC＝ eq \r(AD2＋CD2)＝3eq \r(2). ∵EF⊥AB，∴易知EF∥BC， ∴△AEF∽△ACB，∴eq \f(EF,CB)＝eq \f(AF,AB)， ∴eq \f(EF,3)＝eq \f(2,3)，∴EF＝2， ∴AE＝eq \r(AF2＋EF2)＝2eq \r(2)，∴CE＝AC－AE＝eq \r(2). ∵AD∥CM，∴△ADE∽△CME， ∴eq \f(AD,CM)＝eq \f(AE,CE)，∴eq \f(3,CM)＝eq \f(2\r(2),\r(2))＝2，∴CM＝eq \f(3,2).∴BM＝eq \f(3,2)＝CM. 在△CDM和△BGM中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DCM＝∠GBM＝90°，,CM＝BM,∠CMD＝∠BMG)) ∴△CDM≌△BGM，∴CD＝BG＝3， ∴MG＝eq \r(BG2＋BM2)＝eq \r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq \f(3,2)eq \r(5). 故選B． 二、11. 160　 12. eq \f(5,7)　【點(diǎn)撥】∵eq \f(2a－b,a＋b)＝eq \f(3,4)， ∴4(2a－b)＝3(a＋b)， ∴a＝eq \f(7b,5)，∴eq \f(b,a)＝eq \f(b,\f(7b,5))＝eq \f(5,7). 13. eq \f(2\r(3),3)　14. 3∶1　 15．1 255　【點(diǎn)撥】先證明△GCD∽△GAB，利用相似比得到eq \f(5,AB)＝eq \f(123,123＋BD)①，再證明△HEF∽△HAB得到eq \f(EF,AB)＝eq \f(HF,HB)，即eq \f(5,AB)＝eq \f(127,127＋1 000＋BD)②，所以 eq \f(123,123＋BD)＝eq \f(127,127＋1 000＋BD)，接著利用比例的性質(zhì)求出BD，然后計(jì)算AB 的長． 16. eq \f(\r(2)－1,2)　【點(diǎn)撥】連接OF，交CD于點(diǎn)G，連接AC，根據(jù)題意得出GF∥AD，設(shè)AD＝a，則AC＝eq \r(2)AD＝eq \r(2)a，證明△ADE∽△FGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解． 17. eq \f(12,5) 18. eq \f(\r(5),3) 【點(diǎn)撥】設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊長分別為a和b，且a＞b， ∴BE＝b，EH＝a－b． ∵BE∶EQ＝3∶2，∴EQ＝eq \f(2,3)b． ∴BQ＝BE＋EQ＝b＋eq \f(2,3)b＝eq \f(5,3)b， QH＝EH－EQ＝a－b－eq \f(2,3)b＝a－eq \f(5,3)b． 易得AH∥EC，∴△AHQ∽△CEQ. ∴AH∶CE＝HQ∶EQ.∴b∶a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(5,3)b))∶eq \f(2,3)b． ∴3a2－5ab－2b2＝0.∴a＝2b． ∵∠BEC＝90°，BE＝b，CE＝a＝2b， ∴BC＝eq \r(BE2＋CE2)＝eq \r(5)b． 易得∠QEO＝∠QCB＝45°， 又∵∠EQO＝∠CQB， ∴△QEO∽△QCB． ∴eq \f(QO,QB)＝eq \f(OE,BC).∴eq \f(QO,OE)＝eq \f(QB,BC)＝eq \f(\f(5,3)b,\r(5)b)＝eq \f(\r(5),3). 易得OP＝OQ.∴eq \f(OP,OE)＝eq \f(OQ,OE)＝eq \f(\r(5),3). 三、19.【解】∵DE∥BC， ∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)， 又∵AD＝15，AE＝9，BD＝4， ∴eq \f(15＋4,15)＝eq \f(AC,9)， ∴AC＝11.4. 20．【解】(1)∵O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(2，2)，相似比為2∶1，∴A1(－6，0)，B1(－4，－4)， ∴如圖所示的△OA1B1即為所求． (2)2eq \r(5)　(3)12 21．【解】設(shè)這座方城每面城墻的長為x里， 由題意得，BE∥CD，∠BEC＝∠ADC＝90°，CE＝CD＝eq \f(1,2)x里，BE＝2里，AD＝8里， ∴∠B＝∠ACD， ∴△CEB∽△ADC， ∴eq \f(BE,CD)＝eq \f(CE,AD)，即eq \f(2,\f(1,2)x)＝eq \f(\f(1,2)x,8)， ∴x＝8. 答：這座方城每面城墻的長為8里． 22．【解】(1)∵PD∥AB， ∴eq \f(CD,AC)＝eq \f(CP,CB)， 即eq \f(CD,3)＝eq \f(x,4)， ∴CD＝eq \f(3,4)x， ∴AD＝3－eq \f(3,4)x. (2)S＝eq \f(1,2)AD·CP＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,4)x))·x＝－eq \f(3,8)x2＋eq \f(3,2)x＝－eq \f(3,8)(x－2)2＋eq \f(3,2)(0

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