第十八章學(xué)情評估 一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的) 1．?ABCD中，∠C＝108°，則∠A等于(　　) A．54° B．108° C．72° D．144° 2．如圖，小康想測量池塘兩端A，B之間的距離，他采用了如下方法：在AB的一側(cè)選擇一點C，連接AC，BC，再分別找出AC，BC的中點D，E，連接DE，現(xiàn)測得DE＝46 m，則A，B之間的距離為(　　) A．46 m B．58 m C．72 m D．92 m 3．如圖是小明不完整的推理過程．為保證小明的推理成立，需在四邊形ABCD中添加條件，下列添加的條件正確的是(　　) A．∠B＋∠C＝180° B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．AD∥BC 4．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是(　　) A．四條邊都相等 B．對角線互相垂直且平分 C．對角線相等 D．對角線平分一組對角 5．如圖，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點F，CE平分∠BCD交AD于點E，AB＝6，BC＝10，則EF長為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (第5題)　　(第6題) 6．如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，對角線AC與BD交于點O，AE⊥BD，垂足為點E，且AE平分∠BAO，則AB的長為(　　) A．3 B．4 C．2 eq \r(3) D．3 eq \r(3) 7．我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點是坐標(biāo)原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點D′處，則點C的對應(yīng)點C′的坐標(biāo)為(　　) A．(eq \r(3)，1) B．(2，1) C．(1，eq \r(3)) D．(2，eq \r(3)) (第7題)　　(第8題) 8．如圖，菱形ABCD的面積為24 cm2，對角線BD長6 cm，過點A作AE⊥BC交CB的延長線于點E，連接OE，則線段OE的長度是(　　) A．3 cm B．4 cm C．4.8 cm D．5 cm 9．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則AM的最小值為(　　) A.eq \f(12,5) B.eq \f(5,2) C.eq \f(24,5) D.eq \f(5,4) (第9題)　(第10題) 10．如圖，正方形ABCO和正方形DEFO的頂點A，E，O在同一直線l上，且EF＝2 eq \r(2)，AB＝6，給出下列結(jié)論：①AE＝10；②∠COD＝45°；③△COF的面積為6；④CF＝BD＝2 eq \r(17)，其中正確的是(　　) A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空題(本題共6小題，每小題3分，共18分) 11．如圖，在?ABCD中，O為BD的中點，EF過點O且分別交AB，CD于點E，F(xiàn).若AE＝10，則CF的長為________． (第11題)　　(第12題) 12．如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，且OB＝OD，AB＝BC，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：____________，使四邊形ABCD為正方形(只需添加一個即可)． 13．若以A(－0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在第________象限． 14．如圖，將兩條寬度都為3的紙條重疊在一起，使∠ABC＝60°，則四邊形ABCD的面積為________． (第14題)　　(第16題) 15．矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一動點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE＋PF的值為________． 16．如圖，正方形ABCD中，以BC為邊在正方形內(nèi)部作等邊三角形BCE，CE與BD交于點H，連接AE.則下列說法正確的是____________(填序號)． ①EB平分∠AEC；②BH＝2DH； ③S△ABE＝eq \f(1,4)S正方形ABCD； ④四邊形ABHE的面積為eq \f(1,2)CH·BE. 三、解答題(本題共6小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(8分)如圖，點E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊DC，DA上，且CE＝AF. 求證：∠ABF＝∠CBE. 18．(8分)【閱讀材料】 【解答問題】 請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形ADCE是矩形． 19．(8分)如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，過點A作BD的平行線交CD的延長線于點E，四邊形ABDE為平行四邊形． (1)求證：DE＝CD； (2)若∠ABC＝2∠E，求證：四邊形ABCD為菱形． 20．(8分)如圖為放置在水平桌面上的臺燈的示意圖，燈臂AB長為30 eq \r(3) cm，燈罩BC長為30 cm，底座厚度為2 cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD＝60°.使用時發(fā)現(xiàn)，光線效果最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，求此時燈罩頂端C到桌面的高度． 21．(10分)數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“在矩形紙片上折出60°的角”為主題開展數(shù)學(xué)活動．經(jīng)過討論，第一小組同學(xué)操作步驟如下： 第一步：如圖，將矩形紙片ABCD對折，使得AD與BC重合，得到折痕MN，把紙片展平； 第二步：再一次沿過點B的直線折疊紙片，使得點A與MN上的E點重合，折痕與AD交于點F，再把紙片展平． (1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖中作出點E(保留作圖痕跡，不寫作法)； (2)求證：∠ABE＝60°； (3)若EN＝eq \f(1,2)DF，判斷△BCF的形狀，并說明理由． 22．(10分)如圖①，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AB上一點，且AF＝BE，AE與DF交于點G. (1)求證：AE＝DF. (2)如圖②，在DG上取一點M，使AG＝MG，連接CM，取CM的中點P.寫出線段PD與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． (3)如圖③，連接CG.若CG＝BC，則AF∶FB的值為________． 答案 一、1.B　2.D　3.D　4.C　5.B　6.C　7.D　8.B 9．A　思路點睛：易得四邊形AEPF是矩形，M為AP，EF的交點，當(dāng)AP的值最小時，AM的值就最小，且當(dāng)AP⊥BC時，AP的值最小，進(jìn)而結(jié)合已知條件求解即可． 10．A 二、11.10　 12．∠ABC＝90°(答案不唯一)　 13．三 14．6 eq \r(3)　 15.eq \f(12,5)　思路點睛：過A作AG⊥BD于G，連接PO，根據(jù)勾股定理可求出BD的長，再根據(jù)△ABD的面積求出AG的長，然后根據(jù)△AOD的面積求出PE＋PF＝AG，從而得解． 16．③④ 三、17.證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C， ∵在△ABF和△CBE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝CE，,∠A＝∠C,AB＝CB，))， ∴△ABF≌△CBE，∴∠ABF＝∠CBE. 18．證明：∵AD平分∠BAC，AG平分∠CAF，AB＝AC， ∴∠CAD＝eq \f(1,2)∠BAC，∠CAG＝eq \f(1,2)∠CAF，AD⊥BC. ∵∠BAC＋∠CAF＝180°， ∴∠CAD＋∠CAG＝eq \f(1,2)(∠BAC＋∠CAF)＝eq \f(1,2)×180°＝90°， 即∠DAG＝90°，∴AD⊥AG.∴AG∥BC. ∵AE＝CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形． 又∵∠DAG＝90°，∴平行四邊形ADCE是矩形． 19．證明：(1)∵四邊形ABDE為平行四邊形， ∴AB∥CE，AB＝DE. ∵AD∥BC，AB∥CE， ∴四邊形ABCD為平行四邊形． ∴AB＝CD.∴DE＝CD. (2)∵四邊形ABDE為平行四邊形，∴∠ABD＝∠E. ∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABD＝∠DBC＝∠E. ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. ∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD. 又∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴四邊形ABCD為菱形． 20．解：由題意得AD⊥CE，過點B作BF⊥CE于F，BG⊥DA于G， 易得四邊形BFDG為矩形，∴FD＝BG. ∵BC＝30 cm，∠CBF＝30°，∴CF＝eq \f(1,2)BC＝15 cm. 在Rt△ABG中，∵∠BAD＝60°，∴∠ABG＝30°， ∵AB＝30 eq \r(3) cm， ∴AG＝eq \f(1,2)AB＝15 eq \r(3)cm，∴BG＝eq \r(AB2－AG2)＝45 cm， 易得DE＝2 cm， ∴CE＝CF＋FD＋DE＝CF＋BG＋ED＝15＋45＋2＝62(cm)． 答：此時燈罩頂端C到桌面的高度是62 cm. 21．(1)解：如圖，點E即為所求． (2)證明：∵將矩形紙片ABCD對折，使得AD與BC重合，得到折痕MN， ∴MN⊥AB，MA＝MB. 又∵點E在MN上， ∴AE＝EB. 由翻折可知△ABF≌△EBF， ∴AB＝EB，∴AE＝EB＝AB， ∴△ABE為等邊三角形． ∴∠ABE＝60°. (3)解：△BCF是等邊三角形，理由如下： 連接CF.設(shè)AF＝a，F(xiàn)D＝b， 則AD＝AF＋FD＝a＋b, EN＝eq \f(1,2)DF＝eq \f(1,2)b. 由(2)得，∠ABE＝60°， 又∵△ABF≌△EBF， ∴∠ABF＝∠EBF＝eq \f(1,2)∠ABE＝30° . 在矩形ABCD中， ∠BAD＝∠ABC＝90°，BC＝AD， ∴∠FBC＝∠ABC－∠ABF＝60°. ∵在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠ABF＝30°，AF＝a， ∴BF＝2AF＝2a，∴AB＝eq \r(BF2－AF2)＝eq \r(3)a. 又∵AB＝AE，MA＝MB＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(\r(3),2)a， ∴AE＝AB＝eq \r(3)a. 又∵M(jìn)N⊥AB， ∴在Rt△AME中，∠AME＝90°，MA＝eq \f(\r(3),2)a，AE＝eq \r(3)a， ∴ME＝eq \r(AE2－MA2)＝eq \f(3,2)a, ∴MN＝ME＋EN＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b， 易知MN＝AD＝a＋b， ∴eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b＝a＋b，∴a＝b， ∴AD＝AF＋FD＝a＋b＝2a， ∴BC＝AD＝2a， ∵BF＝2a，∴BF＝BC. 又∵∠FBC＝60°， ∴△BCF為等邊三角形． 22．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABE＝90°. ∵AF＝BE，∴△DAF≌△ABE，∴AE＝DF. (2)解：DG＝eq \r(2)PD. 理由：如圖，連接GP并延長至點H，使PH＝PG，連接DH，CH. ∵PM＝PC，∠MPG＝∠CPH，PG＝PH， ∴△MPG≌△CPH， ∴∠PMG＝∠PCH，GM＝CH＝AG， ∴DF∥CH，∴∠FDC＝∠DCH. ∵△ABE≌△DAF， ∴∠BAE＝∠ADF. ∴∠DAG＋∠ADF＝∠DAG＋∠BAE＝∠BAD＝90°. ∵∠ADG＋∠CDF＝90°， ∴∠DAG＝∠CDG＝∠DCH. ∵DA＝DC，∴△DAG≌△DCH. ∴DG＝DH，∠ADG＝∠CDH， ∴∠GDH＝∠ADC＝90°， ∴△GDH是等腰直角三角形． ∵GP＝PH，∴PD＝PG，PD⊥GH， ∴DG＝eq \r(2)PD. (3)1 老師的問題： 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AG是△ABC的外角∠FAC的平分線． 求作：矩形ADCE，使點D，E分別在BC，AG上． 小張的作法：如圖， (1)作∠BAC的平分線交BC于點D； (2)以A為圓心，DC長為半徑畫弧，交AG于點E； (3)連接CE. 四邊形ADCE就是所求作的矩形. 

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