中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題22.10 一元二次方程章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（華東師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc2359" 【題型1 利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求值】 PAGEREF _Tc2359 \h 1
\l "_Tc11610" 【題型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 PAGEREF _Tc11610 \h 3
\l "_Tc5857" 【題型3 利用一元二次方程求最值】 PAGEREF _Tc5857 \h 8
\l "_Tc22316" 【題型4 利用一元二次方程的根求取值范圍】 PAGEREF _Tc22316 \h 11
\l "_Tc25497" 【題型5 一元二次方程中的新定義問題】 PAGEREF _Tc25497 \h 14
\l "_Tc19093" 【題型6 一元二次方程中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc19093 \h 20
\l "_Tc21578" 【題型7 一元二次方程在幾何中的動點問題】 PAGEREF _Tc21578 \h 25
\l "_Tc4319" 【題型8 一元二次方程與幾何圖形的綜合問題】 PAGEREF _Tc4319 \h 33
【題型1 利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求值】
【例1】（2023春·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的兩個根，則α2+2024α+2β2+2024β+2的值為（）
A．?2021B．2021C．?2023D．2023
【答案】A
【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的兩個根，根據(jù)根于系數(shù)關(guān)系可得，α?β=1，α+β=?2023，由一元二次方程根的定義可得α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，即可求解；
【詳解】∵ α和β是方程x2+2023x+1=0的兩個根，
∴α2+2023α+1=0，
β2+2023β+1=0，
α?β=1，α+β=?2023，
∴α2+2024α+2β2+2024β+2
=α2+2023α+1+α+1β2+2023β+1+β+1
=α+1β+1
=α?β+α+β+1
=1?2023+1
=?2021
故選A．
【點睛】該題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，熟記一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系公式是解答該題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·四川南充·九年級四川省營山中學(xué)校校考期中）已知a，b是方程x2?x?1=0的兩根，則代數(shù)式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（）
A．19B．20C．14D．15
【答案】D
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得：a+b=1，再由a與b是方程的兩根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3與b3采用降次的方法即可求得結(jié)果的值．
【詳解】∵a與b是方程x2?x?1=0的兩根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵a3=a2·a=(a+1)a=a2+a=a+1+a=2a+1，同理：b3=2b+1
∴2a3+5a+3b3+3b+1
=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1
=9a+9b+6
=9(a+b)+6
=9×1+6
=15
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解的概論、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，靈活進行整式的運算是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）已知a是方程x2?2021x+1=0的一個根，則a3?2021a2?2021a2+1= ．
【答案】?2021
【分析】由方程根的定義可得a2?2021a+1=0，變形為a2+1=2021a．再將a2?2021a+1=0等號兩邊同時乘a并變形得a3?2021a2=?a，代入a3?2021a2?2021a2+1逐步化簡即可．
【詳解】∵a是方程x2?2021x+1=0的一個根．
∴a2?2021a+1=0，即a2+1=2021a．
將a2?2021a+1=0等號兩邊同時乘a得：
a(a2?2021a+1)=0，即a3?2021a2=?a．
∴a3?2021a2?2021a2+1=?a?20212021a=?a?1a=?a2+1a=?2021aa=?2021．
故答案為：-2021．
【點睛】本題考查一元二次方程解的定義以及代數(shù)式求值．熟練掌握整體代入的思想是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·四川自貢·九年級統(tǒng)考期末）若m、n是一元二次方程x2+2x?1=0的兩個實數(shù)根，則n3+n2m2n?1的值為（）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】C
【分析】利用方程根的定義和根與系數(shù)關(guān)系得到n2+2n?1=0，m+n=?2， n3+n2m2n?1分子進行因式分解后，利用整體代入即可得到答案．
【詳解】解：∵m，n是x2+2x?1=0的兩個實數(shù)根
∴n2+2n?1=0，m+n=?2
∴n2=1-2n
∴n3+n2m2n?1
=n2(n+m)2n?1
=?2(1?2n)2n?1
=2
故選：C
【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，根與系數(shù)關(guān)系等知識，關(guān)鍵在于利用因式分解正確變形，用整體代入方法解決．
【題型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】
【例2】（2023春·上海青浦·九年級校考期末）解方程：
(1)x+2?8?x=2；
(2)2xx2?2x?3?1x?3=1；
(3)2x2?32x2?1+1=0
【答案】(1)x=7
(2)x1=3+172，x2=3?172；
(3)x1=?102，x2=102，x3=?1，x4=1．
【分析】（1）移項后兩邊平方得出x+2=4+48?x+8?x，求出x?5=28?x，再方程兩邊平方得出x2?10x+25=48?x，求出x，再進行檢驗即可；
（2）觀察可得最簡公分母是x?3x+1，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；
（3）令t=2x2?1，則2x2?1?32x2?1+2=0，代入原方程，得t2?3t+2=0，所以t1=2，t2=1，然后分兩種情況分別解方程即可．
【詳解】（1）x+2?8?x=2
解：移項得，x+2=2+8?x，
兩邊平方得，x+2=4+48?x+8?x，
合并同類項得，2x?10=48?x，
∴x?5=28?x，
兩邊平方得，x2?10x+25=48?x，
整理得，x2?6x?7=0，
∴x+1x?7=0，
解得：x1=?1，x2=7，
經(jīng)檢驗，x1=?1，不是原方程的解，
∴原方程的解為：x=7．
（2）2xx2?2x?3?1x?3=1
解：方程兩邊同時乘以x?3x+1得， 2x?x+1=x2?2x?3
整理得，x2?3x?2=0，
解得，x=3±32?4×1×?22=3±172，
∴x1=3+172，x2=3?172，
經(jīng)檢驗，x1=3+172，x2=3?172時，x?3x+1≠0，
∴原方程的根為：x1=3+172，x2=3?172．
（3）2x2?32x2?1+1=0
解：2x2?1?32x2?1+2=0
令t=2x2?1，代入原方程得，t2?3t+2=0，
∴t?2t?1=0，
解得：t1=2，t2=1，
當(dāng)t1=2時，2x2?1=2，即： 2x2?1=4，
∴x2=52，解得：x1=?102，x2=102，
當(dāng)t2=1時，2x2?1=1，即： 2x2?1=1，
∴x2=1，解得：x3=?1，x4=1，
經(jīng)檢驗x1，x2，x3，x4都為原方程的解
∴原方程的解為：x1=?102，x2=102，x3=?1，x4=1．
【點睛】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵；還考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要驗根．
【變式2-1】（2023春·上?！ぞ拍昙壠谥校┙夥匠蹋簃x2?3=x2+2 m≠1
【答案】當(dāng)m>1時，原方程的解是x=±5(m?1)m?1，當(dāng)m1時，原方程的解是x=±5m?1=±5(m?1)m?1
當(dāng)m