TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc674" 【題型1 成比例線段的概念】 PAGEREF _Tc674 \h 1
\l "_Tc7506" 【題型2 成比例線段的應用】 PAGEREF _Tc7506 \h 3
\l "_Tc2742" 【題型3 比例的證明】 PAGEREF _Tc2742 \h 5
\l "_Tc26402" 【題型4 利用比例的性質(zhì)求比值】 PAGEREF _Tc26402 \h 7
\l "_Tc3397" 【題型5 利用比例的性質(zhì)求參】 PAGEREF _Tc3397 \h 8
\l "_Tc11543" 【題型6 比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運用】 PAGEREF _Tc11543 \h 10
\l "_Tc2459" 【題型7 黃金分割】 PAGEREF _Tc2459 \h 13
【知識點1 成比例線段的概念】
1．比例的項：
在比例式（即）中，a，d稱為比例外項，b，c稱為比例內(nèi)項．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項，滿足．
2．成比例線段：
四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．
【題型1 成比例線段的概念】
【例1】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）不能與2，4，6組成比例式的數(shù)是（ ）
A．43B．3C．8D．12
【分析】利用表示兩個比相等的式子，叫做比例式，然后分別求出A、B、C、D選項的比值，即可判斷．
【解答】解：A、43：2＝4：6，故A不符合題意；
B、2：3＝4：6，故B不符合題意；
C、2：4≠6：8，故C符合題意；
D、2：4＝6：12，故D不符合題意；
故選：C．
【變式1-1】（2022秋?義烏市月考）已知線段a＝2，b＝6，則它們的比例中項線段為 23 ．
【分析】由題意線段c是a、b的比例中項，可知c2＝ab，由此即可解決問題．
【解答】解：∵線段c是a、b的比例中項，
∴c2＝ab，
∵a＝2，b＝6，
∴c2＝12，
∵c＞0，
∴c＝23，
故答案為：23．
【變式1-2】（2022秋?道里區(qū)期末）如圖，用圖中的數(shù)據(jù)不能組成的比例是（ ）
A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4
【分析】根據(jù)對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，進而分別判斷即可．
【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能組成比例，錯誤；
B、3：1.5＝2：1＝4：2，能組成比例，錯誤；
C、2：3≠1.5：4；不能組成比例，正確；
D、1.5：2＝3：4，能組成比例，錯誤；
故選：C．
【變式1-3】（2022秋?八步區(qū)期中）如圖所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．則線段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例線段嗎？
【分析】求出A'B'AB，B'C'BC的值判斷即可．
【解答】解：∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，
∴A'B'AB=48=12，B'C'BC=612=12，
∴A'B'AB=B'C'BC，
∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例線段．
【題型2 成比例線段的應用】
【例2】（2022秋?渭濱區(qū)期末）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，試判斷△ABC的形狀．
【分析】設a﹣c＝﹣2k，a+b＝7，c﹣b＝1，再利用k分別表示出a、b、c，然后利用勾股定理的逆定理進行判斷．
【解答】解：∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，
∴設a?c=?2ka+b=7kc?b=k，解得a=3kb=4kc=5k，
∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，
∴△ABC為直角三角形，∠C＝90°．
【變式2-1】（2022秋?青羊區(qū)校級月考）甲、乙兩地的實際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地圖上，甲乙兩地的距離是（ ）
A．0.8cmB．8cmC．80cmD．800cm．
【分析】設地圖上，甲乙兩地的距離是xcm，根據(jù)比例尺的定理列出方程，解之可得．
【解答】解：設地圖上，甲乙兩地的距離是xcm，
根據(jù)題意，得：x40000000=1500000，
解得：x＝80，
即地圖上，甲乙兩地的距離是80cm，
故選：C．
【變式2-2】（2022秋?杜爾伯特縣期末）一個班有30名學生，男、女生人數(shù)的比可能是（ ）
A．3：2B．1：3C．4：5D．3：1
【分析】根據(jù)人數(shù)必須是整數(shù)，所以男、女生人數(shù)占的總分數(shù)必須能被30整除，然后進行計算即可解答．
【解答】解：A、30÷（3+2）＝6，能得出整數(shù)的結果，故A符合題意；
B、30÷（1+3）＝7.5，不能得出整數(shù)的結果，故B不符合題意；
C、30÷（4+5）=103，不能得出整數(shù)的結果，故C不符合題意；
D、30÷（3+1）＝7.5，不能得出整數(shù)的結果，故D不符合題意；
故選：A．
【變式2-3】（2022?臺灣）某校每位學生上、下學期各選擇一個社團，下表為該校學生上、下學期各社團的人數(shù)比例．若該校上、下學期的學生人數(shù)不變，相較于上學期，下學期各社團的學生人數(shù)變化，下列敘述何者正確？（ ）
A．舞蹈社不變，溜冰社減少
B．舞蹈社不變，溜冰社不變
C．舞蹈社增加，溜冰社減少
D．舞蹈社增加，溜冰社不變
【分析】若甲：乙：丙＝a：b：c，則甲占全部的aa+b+c，乙占全部的ba+b+c，丙占全部的ca+b+c．
【解答】解：由表得知上、下學期各社團人數(shù)占全部人數(shù)的比例如下：
∴舞蹈社增加，溜冰社不變．
故選：D．
【知識點2 比例的性質(zhì)】
【題型3 比例的證明】
【例3】（2022秋?汝州市校級月考）已知線段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求證：a?cb?d=a+cb+d．
【分析】根據(jù)比例線段的性質(zhì)證明即可．
【解答】證明：由ab=cd=k，
可得：a＝bk，c＝dk，
把a＝bk，c＝dk代入a?cb?d=bk?dkb?d=k，
把a＝bk，c＝dk代入a+cb+d=bk+dkb+d=k，
可得：a?cb?d=a+cb+d．
【變式3-1】（2022春?江陰市期中）如圖，點B，C在線段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求證：1AB+1AD=2AC．
【分析】由已知條件得到BCAB=CDAD，即AC?ABAB=AD?ACAD，兩邊同除以AC，即可得到結論．
【解答】證明：∵ABBC=ADCD，
∴BCAB=CDAD，即AC?ABAB=AD?ACAD，
∴ACAB?1＝1?ACAD，
∴1AB+1AD=2AC．
【變式3-2】（2022秋?秦都區(qū)校級期中）已知：如圖，點O為三角形ABC內(nèi)部的任意一點，連接AO并延長交BC于點D．
證明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．
【分析】（1）由等高模型可知：S△ABOS△BOD=AOOD，S△ACOS△COD=AOOD，由此即可解決問題．
（2）利用等高模型以及比例的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】證明：（1）∵S△ABOS△BOD=AOOD，S△ACOS△COD=AOOD，
∴S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD．
（2）∵S△ABDS△ADC=S△OBDS△ODC=BDCD，
∴S△ABD?S△OBDS△ADC?S△ODC=BDCD，
∴S△ABOS△ACO=BDCD．
【變式3-3】（2022秋?岳陽縣期中）若a，b，c，d是非零實數(shù)且ab=cd，求證a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．
【分析】由于（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，根據(jù)比例的基本性質(zhì)得到ad＝bc，可得（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），從而得證．
【解答】證明：∵ab=cd，
∴ad＝bc，
∵（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，
（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，
∵2abcd＝c2b2+a2d2
∴（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），
∴a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．
【題型4 利用比例的性質(zhì)求比值】
【例4】（2022秋?炎陵縣期末）已知2b3a?b=34，則ab= 119 ．
【分析】根據(jù)2b3a?b=34，可得3a?b2b=43，再根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵2b3a?b=34，
∴3a?b2b=43，
∴3a2b?12=43，
∴ab=119．
故答案為：119．
【變式4-1】（2022春?霍邱縣期末）若a?ba=34，那么ba的值等于（ ）
A．25B．14C．?25D．?14
【分析】把a?ba=34化成1?ba=34，即可求出ba的值．
【解答】解：∵a?ba=34，
∴1?ba=34，
∴ba=14，
故選：B．
【變式4-2】（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）若ab=cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，則a?2c+3eb?2d+3f的值為（ ）
A．16B．13C．12D．56
【分析】先利用分式的基本性質(zhì)得到ab=?2c?2d=3e3f=13，然后根據(jù)等比性質(zhì)解決問題．
【解答】解：∵ab=cd=ef=13，
∴ab=?2c?2d=3e3f=13，
而b﹣2d+3f≠0
∴a?2c+3eb?2d+3f=13．
故選：B．
【變式4-3】（2022春?棲霞市期末）下列結論中，錯誤的是（ ）
A．若a4=c5，則ac=45
B．若a?bb=16，則ab=76
C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），則a?cb?d=23
D．若ab=34，則a＝3，b＝4
【分析】分別利用比例的基本性質(zhì)分析得出答案．
【解答】解：A、若a4=c5，則ac=45，正確，不合題意；
B、若a?bb=16，則6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，則ab=76，正確，不合題意；
C、若ab=cd=23（b﹣d≠0），則a?cb?d=23，正確，不合題意；
D、若ab=34，無法得出a，b的值，故此選項錯誤，符合題意．
故選：D．
【題型5 利用比例的性質(zhì)求參】
【例5】（2022秋?蜀山區(qū)校級期中）已知：y+zx=x+zy=x+yz=k，則k＝ 2或﹣1 ．
【分析】能夠根據(jù)比例的基本性質(zhì)熟練進行比例式和等積式的互相轉換．
【解答】解：此題要分情況考慮：
當x+y+z≠0時，則根據(jù)比例的等比性質(zhì)，得k=2x+2y+2zx+y+z=2；
當x+y+z＝0時，即x+y＝﹣z，則k＝﹣1，故填2或﹣1．
【變式5-1】（2022秋?灌云縣期末）已知x3=y5，且x+y＝24．則x的值是（ ）
A．15B．9C．5D．3
【分析】設x3=y5=k，根據(jù)比例的性質(zhì)求出x＝3k，y＝5k，根據(jù)x+y＝24得出3k+5k＝24，求出k，再求出x即可．
【解答】解：設x3=y5=k，則x＝3k，y＝5k，
∵x+y＝24．
∴3k+5k＝24，
解得：k＝3，
∴x＝3×3＝9，
故選：B．
【變式5-2】（2022秋?高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．
【分析】由若x3=y5=z6，可設x3=y5=z6=k，這樣用k分別表示x、y、z，即x＝3k，y＝5k，z＝6k，再利用3y＝2z+6，可得到關于k的方程，解方程得到k的值，從而可確定x的值．
【解答】解：設x3=y5=z6=k，
則x＝3k，y＝5k，z＝6k，
∵3y＝2z+6，
∴3×5k＝2×6k+6，
解得：k＝2，
∴x＝3k＝6，y＝5k＝10．
【變式5-3】（2022?雨城區(qū)校級開學）我們知道：若ab=cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．
（1）若b+d＝0，那么a、c滿足什么關系？
（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．
【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結果；
（2）根據(jù)比例的性質(zhì)求得t的值，把t的值代入代數(shù)式即可得到結論．
【解答】解：（1）∵ab=cd，b+d＝0，
∴a+c＝0；
（2）①當a+b+c≠0時，b+ca=a+cb=a+bc=t=2(a+b+c)a+b+c=2，
∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，
②當a+b+c＝0時，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴b+ca=a+cb=a+bc=t=?1，
∴t2﹣t﹣2＝0．
【題型6 比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運用】
【例6】（2022秋?渝中區(qū)期末）閱讀理解：
已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且ab=cd，求證：a+bb=c+dd．
證明：∵ab=cd，
∴ab+1=cd+1．
∴a+bb=c+dd．
根據(jù)以上方法，解答下列問題：
（1）若ab=35，求a+bb的值；
（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，證明a?ba+b=c?dc+d．
【分析】（1）把要求的式子化成a+bb=ab+1，再進行計算即可得出答案；
（2）根據(jù)比例的性質(zhì)得出a?bb=c?dd，a+bb=c+dd，再分別相除即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ab=35，
∴a+bb=ab+1=35+1=85．
（2）∵ab=cd，
∴ab?1=cd?1，
∴a?bb=c?dd，
∵a+bb=c+dd，
∴a?bb÷a+bb=c?dd÷c+dd，
∴a?ba+b=c?dc+d．
【變式6-1】閱讀材料：
已知x3=y4=z6≠0，求x+y?zx?y+z的值．
解：設x3=y4=z6=k（k≠0），則x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）
∴x+y?zx?y+z=3k+4k?6k3k?4k+6k=k5k=15．（第二步）
（1）回答下列問題：
①第一步運用了 等式 的基本性質(zhì)，
②第二步的解題過程運用了 代入消元 的方法，
由k5k得15利用了 分式 的基本性質(zhì)．
（2）模仿材料解題：
已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx?2y+3z的值．
【分析】（1）利用等式的基本性質(zhì)，代入消元法，分式的基本性質(zhì)，即可解答；
（2）仿照例題的思路，進行計算即可解答．
【解答】解：（1）①第一步運用了等式的基本性質(zhì)，
②第二步的解題過程運用了代入消元的方法，
由k5k得15利用了分式的基本性質(zhì)，
故答案為：等式，代入消元，分式；
（2）∵x：y：z＝2：3：4，
∴設x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴x+y+zx?2y+3z=2k+3k+4k2k?6k+12k
=9k8k
=98．
【變式6-2】（2022秋?椒江區(qū)校級月考）閱讀下列解題過程，然后解題：
題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：設xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k?0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列問題：
a，b，c為非零實數(shù)，且a+b+c≠0，當a+b?cc=a?b+cb=?a+b+ca時，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
【分析】設a+b?cc=a?b+cb=?a+b+ca=k，利用比例的性質(zhì)得到a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+b+c＝ka，將三式相加可以求得k＝1，所以利用等量代換和約分可以求得所求代數(shù)式的值．
【解答】解：設a+b?cc=a?b+cb=?a+b+ca=k，
所以a+b﹣c＝kc①，
a﹣b+c＝kb②，
﹣a+b+c＝ka③，
由①+②+③，得
a+b+c＝k（a+b+c）．
∵a+b+c≠0，
∴k＝1．
∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．
∴(a+b)(b+c)(c+a)abc=2c×2a×2babc=8．
【變式6-3】（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）閱讀下面的解題過程，然后解題：
題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：設xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k?0＝0，
依照上述方法解答下列問題：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x?y?zx+y+z的值．
【分析】設y+zx=z+xy=x+yz=k，根據(jù)比例的性質(zhì)得到x＝y(tǒng)＝z，計算即可．
【解答】解：設y+zx=z+xy=x+yz=k，
則y+z＝xk，z+x＝y(tǒng)k，x+y＝zk，
∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），
解得，k＝2，
∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，
解得，x＝y(tǒng)＝z，
則x?y?zx+y+z=?13．
【知識點3 黃金分割】
如圖，若線段AB上一點C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項（即），則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）
【題型7 黃金分割】
【例7】（2022?青羊區(qū)校級模擬）如圖，點R是正方形ABCD的AB邊上線段AB的黃金分割點，且AR＞RB，S1表示以AR為邊長的正方形面積；S2表示以BC為長，BR為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面積，則S1：S2的值為 1 ．
【分析】設AB＝a，根據(jù)黃金比值用a表示出AR、BR，根據(jù)矩形的面積公式計算，得到答案．
【解答】解：設AB＝a，
∵點R是邊AB邊上的黃金分割點，AR＞RB，
∴AR=5?12AB=5?12a，
則BR＝AB﹣AR＝a?5?12a=3?52a，
∴S1：S2＝（5?12a）2：a×3?52a＝1，
故答案為：1．
【變式7-1】（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知點P是線段AB上的一點，線段AP是PB和AB的比例中項，下列結論中，正確的是（ ）
A．PBAP=5+12B．PBAB=5+12C．APAB=5?12D．APPB=5?12
【分析】根據(jù)黃金分割的定義判斷即可．
【解答】解：∵點P是線段AB上的一點，線段AP是PB和AB的比例中項，
∴AP2＝PB?AB，
∴點P是AB的黃金分割點，
∴APAB=5?12，
故選：C．
【變式7-2】（2022秋?江都區(qū)校級月考）已知，點D是線段AB的黃金分割點，若AD＞BD．
（1）若AB＝10cm，則AD＝ （55?5）cm ；
（2）如圖，請用尺規(guī)作出以AB為腰的黃金三角形ABC；
（3）證明你畫出的三角形是黃金三角形．
【分析】（1）根據(jù)黃金分割的概念計算即可；
（2）根據(jù)黃金三角形的概念和尺規(guī)作圖的一般步驟作圖；
（3）根據(jù)黃金分割的概念和黃金三角形的概念證明即可．
【解答】解：（1）∵點D是線段AB的黃金分割點，若AD＞BD，
∴AD=5?12AB＝（55?5）cm，
故答案為：（55?5）cm；
（2）以A圓心，以AB的長為半徑作弧，再以點B為圓心，AD的長為半徑作弧，兩弧交于點C，
連接BC，則△ABC即為所求；
（3）證明：由（1）得，點D是線段AB的黃金分割點，
∴底邊AD=5?12乘腰AB，
∴三角形ABC是黃金三角形．
郵箱：18256007168；學號：20699374
【變式7-3】（2022春?兗州區(qū)期末）再讀教材：
寬與長的比是5?12（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．
第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．
第三步，折出內(nèi)側矩形的對角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．
第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形．
問題解決：
（1）圖③中AB＝ 5 （保留根號）；
（2）如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說明理由；
（3）請寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個說明理由．
【分析】（1）連接AB，由折疊的性質(zhì)，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的長度．
（2）由折疊可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，結合平行線的性質(zhì)可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四邊形BADQ為菱形；
（3）首先求出CD，ND，再由黃金矩形的定義即可作出判斷．
【解答】解：（1）∵四邊形MNCB是正方形，
∴NC＝MN＝2，
由折疊的性質(zhì)得：AC=12NC＝1，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=12+22=5；
故答案為5；
（2）四邊形BADQ是菱形．
證明：由折疊可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，
∵BQ∥AD，
∴∠AQB＝∠DAQ，
∴∠AQB＝∠BAQ，
∴AB＝BQ，
即AD＝AB＝BQ＝BD，
∴四邊形BADQ為菱形；
（3）圖④中的黃金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；
理由：∵AD＝AB=5，AN＝AC＝1，
∴CD=5?1，ND=5+1，
∴CDBC=5?12，
故矩形BCDE是黃金矩形；
∴MNND=25+1=5?12，
故矩形MNDE是黃金矩形．舞蹈社
溜冰社
魔術社
上學期
3
4
5
下學期
4
3
2
舞蹈社
溜冰社
魔術社
上學期
312=936
412=1236
512=1536
下學期
49=1636
39=1236
29=836
比例的性質(zhì)
示例剖析
（1）基本性質(zhì)：
（2）反比性質(zhì)：
（3）更比性質(zhì)：或
或
（4）合比性質(zhì)：
（5）分比性質(zhì)：
（6）合分比性質(zhì)：
（7）等比性質(zhì)：
已知，則當時，.

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