中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題23.5 相似三角形的應(yīng)用【七大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc5000" 【題型1 相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】 PAGEREF _Tc5000 \h 1
\l "_Tc10329" 【題型2 相似三角形的應(yīng)用（影長(zhǎng)問(wèn)題）】 PAGEREF _Tc10329 \h 3
\l "_Tc19567" 【題型3 相似三角形的應(yīng)用（杠桿問(wèn)題）】 PAGEREF _Tc19567 \h 7
\l "_Tc26048" 【題型4 相似三角形的應(yīng)用（建筑物問(wèn)題）】 PAGEREF _Tc26048 \h 11
\l "_Tc16771" 【題型5 相似三角形的應(yīng)用（樹高問(wèn)題）】 PAGEREF _Tc16771 \h 16
\l "_Tc19910" 【題型6 相似三角形的應(yīng)用（河寬問(wèn)題）】 PAGEREF _Tc19910 \h 19
\l "_Tc17986" 【題型7 相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問(wèn)題）】 PAGEREF _Tc17986 \h 23
【知識(shí)點(diǎn) 相似三角形的應(yīng)用】
在實(shí)際生活中，我們面對(duì)不能直接測(cè)量物體的高度和寬度時(shí)，可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立相似三角形模型，再利用對(duì)應(yīng)邊的比相等來(lái)達(dá)到求解的目的。同時(shí)，需要掌握并應(yīng)用一些簡(jiǎn)單的相似三角形模型。
【題型1 相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】
【例1】（2021·北京大興·九年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問(wèn)：出南門幾步而見(jiàn)木？”用今天的話說(shuō)，大意是：如圖，DEFG是一座邊長(zhǎng)為200步（“步”是古代的長(zhǎng)度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點(diǎn)，南門K位于ED的中點(diǎn)，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點(diǎn)D在直線AC上）．
【答案】20003步
【分析】本題只需要證出△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性質(zhì)可以得到：CK100=10015，然后可以求出CK的值，得出答案．
【詳解】解：由題意可知：DE=DG=200，AH＝15
∵H為GD的中點(diǎn)，K為DE的中點(diǎn)
DH＝100，DK＝100
∵AH∥DK
∴∠CDK＝∠A
而∠CKD＝∠AHD
∴△CDK∽△DAH
∴CKDH=DKAH
即CK100=10015，
∴CK=20003
答：出南門20003步恰好看到位于A處的樹木．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：本題需要把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出物體的高度．
【變式1-1】（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（）米．
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出CD．
【詳解】解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∴1CD=0.41.6?0.4，
∴CD=3，
經(jīng)檢驗(yàn)，CD=3是所列方程的解，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·河北·二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見(jiàn)木．問(wèn)邑方幾何？”大意是：如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點(diǎn)，南門B位于EH的中點(diǎn)．從北門出去正北方向20步遠(yuǎn)的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見(jiàn)C處的樹木，則正方形小城的邊長(zhǎng)為（）
A．105步B．200步C．250步D．305步
【答案】C
【分析】此題文字?jǐn)⑹霰容^多，解題時(shí)首先要理解題意，找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．
【詳解】設(shè)小城的邊長(zhǎng)為x步，根據(jù)題意，
Rt△CAF∽R(shí)t△CDM，
∴CACD=FAMD，
即2020+14+x=0.5x1775，
去分母并整理，
得x2+34x-71000=0，
解得x1=250，x2=-284（不合題意，舍去），
∴小城的邊長(zhǎng)為250步．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過(guò)解方程即可求出小城的邊長(zhǎng)．
【變式1-3】（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）《海島算經(jīng)》是中國(guó)最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，由劉徽于三國(guó)魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術(shù)注》之第十卷，題為《重差》，所有問(wèn)題都是利用兩次或多次測(cè)望所得的數(shù)據(jù)來(lái)推算可望而不可及的目標(biāo)的高、深、廣、遠(yuǎn)，因首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)得名《海島算經(jīng)》，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．
《海島算經(jīng)》中的第4道“望谷”的題目為：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．從勺端望谷底，入下股九尺一寸．又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈，更從勺端望谷底，入上股八尺五寸．問(wèn)谷深幾何？
大致意思是：望一個(gè)如圖所示的深谷，深谷的底部為線段MN，在山谷邊緣處放置一個(gè)直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一條直線上，CN⊥MN，從點(diǎn)A處望山谷底部M處時(shí)，視線經(jīng)過(guò)BC上的點(diǎn)E處，測(cè)得EC長(zhǎng)為9尺1寸；將三角尺沿著射線CA方向向上平移3丈得到△A'B'C'，從A'處望山谷底部M處時(shí)，視線經(jīng)過(guò)B'C'上的點(diǎn)F處，測(cè)得FC'長(zhǎng)為8尺5寸．求山谷深CN為幾丈．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）
【答案】山谷深CN為41.9丈．
【分析】根據(jù)題目中的條件，需要兩次利用三角形相似的判定定理及性質(zhì)，證明兩個(gè)三角形相似，再利用對(duì)應(yīng)邊成比例建立等式，進(jìn)行求解．
【詳解】：解：由題意知：AC=60寸，EC=91寸，F(xiàn)C'＝85寸，AA'＝300寸．
∵∠EAC=∠MAN,∠ACE=∠ANM，
∴△ACE～△ANM．
∴ACAN=ECMN．
∴60AN=91MN．
∴MN=9160AN．
∵∠FA'C'=∠MA'N,∠A'C'F=∠ANM，
∴△FA'C'～△MA'N．
∴A'C'A'N=FC'MN．
即A'C'A'A+AN=FC'MN．
∴60300+AN=859160AN，
解得：AN=4250
經(jīng)檢驗(yàn)：AN=4250符合題意，
∴CN=AN?AC=4190寸＝41.9丈．
答：山谷深CN為41.9丈．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例建立等式，再通過(guò)等量代換進(jìn)行求解．
【題型2 相似三角形的應(yīng)用（影長(zhǎng)問(wèn)題）】
【例2】（2022·浙江金華·九年級(jí)期末）如圖，小明在8：30測(cè)得某樹的影長(zhǎng)為16m，13：00時(shí)又測(cè)得該樹的影長(zhǎng)為4m，若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（）
A．10mB．8mC．6mD．4m
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，證明△EDC∽△FDC，進(jìn)而可得EDDC=DCFD，即DC2=ED?FD，代入數(shù)據(jù)可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，作△EFC，樹高為CD，且∠ECF=90°，ED=4m，F(xiàn)D=16m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又∠CDE=∠FDC
∴△EDC∽△CDF，
∴EDDC=DCFD，即DC2=ED?FD=4×16=64，
解得CD=8m（負(fù)值舍去）．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽(yáng)光下，小明觀察到在地面上的影長(zhǎng)為120cm，在坡面上的影長(zhǎng)為180cm．同一時(shí)刻，小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60cm的木桿的影長(zhǎng)為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
【答案】(170+603)cm
【分析】延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
則DF=12CD=90（cm），CF=CD?cs∠DCF=180×32=903（cm），
由題意得：DFEF=6090，即90EF=6090，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，
則AB255+903=6090，
解得：AB=170+603，
答：立柱AB的高度為(170+603)cm．
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計(jì)算．
【變式2-2】（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）如圖，河對(duì)岸有一路燈桿AB，在燈光下，小明在點(diǎn)D處，自己的影長(zhǎng)DF=4m，沿BD方向到達(dá)點(diǎn)F處再測(cè)自己的影長(zhǎng)FG=5m，如果小明的身高為1.6m，求路燈桿AB的高度．
【答案】8m
【分析】在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△ABF∽△CDF，△ABG∽△EFG，
∴ABCD=BFDF，ABEF=BGFG，
又∵CD=EF，
∴BFDF=BGFG
∵DF=4，F(xiàn)G=5，BF=BD+DF=BD+4，BG=BD+DF+FG=BD+9，
∴4+BD4=9+BD5，
∴BD=16,BF=16+4=20，
∴AB1.6=204，
解得AB=8．
答：路燈桿AB的高度為8米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，本題只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出結(jié)果．
【變式2-3】（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)八年級(jí)期末）如圖,小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)她走到P點(diǎn)時(shí),發(fā)現(xiàn)她身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部,當(dāng)她向前再步行12m到Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)她身前影子的頂端剛好接觸到路燈 B的底部.已知小萌的身高是1.6m，兩路燈的高度都是9.6m，且AP=QB=x m.
(1)求兩路燈之間的距離.
(2)當(dāng)小萌在A，B之間走動(dòng)時(shí)，在兩燈光下的影子長(zhǎng)是變化的，那么兩個(gè)影子的長(zhǎng)的和變嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)18m
(2)兩個(gè)影子的長(zhǎng)的和不會(huì)變，一直都是3.6m
【分析】（1）連接AC，易證ΔAPD∽ΔABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出x的值，兩路燈間的距離等于PQ+2x；
（2）根據(jù)題意作出圖形，找出其中的相似三角形，根據(jù)三角形的相思筆即可求出影子的長(zhǎng)度和．
（1）
如圖，連接AC，
∵DP⊥AB，CB⊥AB，
∴DP∥CB，
∴ΔAPD∽ΔABC，
∴DPCB=APAB，即：+12，
解得：x=3，
∴AB=2×3+12=18（m）
（2）
如圖，當(dāng)小萌在A，B之間走動(dòng)時(shí)，在A路燈下的影子長(zhǎng)度為ON，在B路燈下的影子長(zhǎng)度為OM，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，OE⊥OB，
∴AD∥OE∥BC，
∴ΔAND∽ΔONE，ΔBMC∽ΔOME，
∴OEAD=ONAN，OECB=OMBM，
則，，整理得：ON=16AN，OM=16BM，
ON+OM=16(AN+BM)
MN=16(AB+MN)
由（1）得：AB=18m，
∴MN=16(18+MN)，解得：MN=3.6m，
故：兩個(gè)影子的長(zhǎng)的和不會(huì)變，一直都是3.6m
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等的原理解決求線段長(zhǎng)的問(wèn)題等，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．
【題型3 相似三角形的應(yīng)用（杠桿問(wèn)題）】
【例3】（2022·山東臨沂·二模）如圖，EF是一個(gè)杠桿，可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，若動(dòng)力F動(dòng)和阻力F阻的施力方向都始終保持豎直向下，當(dāng)阻力F阻不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)F動(dòng)的大小變化情況是（）

A．越來(lái)越小B．不變C．越來(lái)越大D．無(wú)法確定
【答案】B
【分析】由圖證明△MOE∽△NOF，從而得到MENF=MONO，即ME?NO=NF?MO，再根據(jù)題意得出答案．
【詳解】解：∵∠MOE=∠NOF，∠M=∠ONF，
∴△MOE∽△NOF，
∴MENF=MONO，即ME?NO=NF?MO，
∵阻力F阻不變，即ME不變，
又∵OM，ON不變，
∴由ME?NO=NF?MO得，NF不變，即F動(dòng)的大小不變．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，從實(shí)際問(wèn)題中抽離出數(shù)學(xué)圖形，是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2019·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)，現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿B端必須向上翹10cm，已知杠桿上的AC與BC長(zhǎng)度之比為5:1，則要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓多少厘米？
【答案】50厘米
【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得端點(diǎn)A向下壓的長(zhǎng)度．
【詳解】解：解：如圖；AM、BN都與水平線垂直，即AM∥BN；
易知：△ACM∽△BCN；
∴ACBC=AMBN
∵杠桿的動(dòng)力臂AC與阻力臂BC之比為5：1，
∴AMBN=51，即AM=5BN；
∴當(dāng)BN≥10cm時(shí)，AM≥50cm；
故要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的端點(diǎn)A向下壓50cm．
故答案為50
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確的構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】一根均勻的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O為支點(diǎn)，豎直向上將木棒的另一端A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動(dòng)，此時(shí)拉力為F，若點(diǎn)B為OA的中點(diǎn)，AC，BD分別垂直地面于點(diǎn)C，D，則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力F的大小為（）
A．5NB．10NC．15ND．20N
【答案】A
【分析】依據(jù)BD∥AC，B是AO的中點(diǎn)，即可得到D是OC的中點(diǎn)，再根據(jù)杠桿平衡原理，可得G×OD=F×OC，進(jìn)而得出拉力F的大?。?br>【詳解】解：∵BD⊥OC，AC⊥OC，
∴BD∥AC，
∴OBBA=ODDC，
又∵B是AO的中點(diǎn)，即OB=BA，
∴OD=DC，
∴OD=12OC，
根據(jù)杠桿平衡原理，可得G×OD=F×OC，
∴10×12OC=F×OC，
解得F=5(N)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及杠桿平衡原理，熟練掌握平行線分線段成比例定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
【變式3-3】（2021·甘肅白銀·九年級(jí)期末）如圖，以點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時(shí)，拉力為F1，過(guò)點(diǎn)B1作B1C⊥OA，過(guò)點(diǎn)A1作A1D⊥OA，垂足分別為點(diǎn)C、D．在下列結(jié)論中：
①△OB1C∽△OA1D；②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?F1；④F=F1，正確的是（）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判斷出①正確；
根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到②正確；
根據(jù)杠桿平衡原理：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂列式判斷出③正確；
求出F的大小不變，判斷出④正確．
【詳解】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，
∴B1C∥A1D，
∴△OB1C∽△OA1D，故①正確；
∴OCOD=OB1OA1，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=OB1，OA=OA1，
∴OA?OC=OB?OD，故②正確；
由杠桿平衡原理，OC?G=OD?F1，故③正確；
∴F1G=OCOD=OB1OA1=OBOA是定值，
∴F1的大小不變，
∴F=F1，故④正確．
綜上所述，說(shuō)法正確的是①②③④．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，杠桿平衡原理，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
【題型4 相似三角形的應(yīng)用（建筑物問(wèn)題）】
【例4】（2019·四川·成都市雙流區(qū)立格實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）劉徽，公元3世紀(jì)人，是中國(guó)歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一．《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．《海島算經(jīng)》第一個(gè)問(wèn)題的大意是：如圖，要測(cè)量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高3丈的標(biāo)桿BC和DE，兩桿之間的距離BD＝1000步，點(diǎn)D、B、H成一線，從B處退行123步到點(diǎn)F處，人的眼睛貼著地面觀察點(diǎn)A，點(diǎn)A、C、F也成一線，從DE退行127步到點(diǎn)G處，從G觀察A點(diǎn)，A，E，G三點(diǎn)也成一線，試計(jì)算山峰的高度AH及BH的長(zhǎng)（這里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，結(jié)果用步來(lái)表示）．
【答案】AH為1255步，HB為30750步
【分析】根據(jù)題意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．
【詳解】解：由題意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，
∴∠AHF＝90°，∠CBF＝90°，
∴∠AHF＝∠CBF，
∵∠AFB＝∠CFB，
∴△CBF∽△AHF，
∴BCAH=BFHF
同理可得DEHA=DGHG
∵BF＝123，BD＝1000，DG＝127，
∴HF＝HB+123，HG＝HB+1000+127＝HB+1127，BC＝DE＝3丈＝3×53＝5步，
∴5HA=123HB+123,5HA=127HB+1127
解得HB＝30750，HA＝1255步，
答：AH為1255步，HB為30750步．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．
【變式4-1】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室一模）千佛鐵塔位于陜西省咸陽(yáng)市之北杜鎮(zhèn)，用純鐵鑄成，中空有梯可攀登，四角柱鑄成金剛力士像，頂立層樓，各層環(huán)周鑄鐵佛多尊，故名“千佛塔”，此塔為中國(guó)現(xiàn)存鐵塔中最高的一座．某數(shù)學(xué)興趣小組本著用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的想法，欲測(cè)量該塔的高度．如圖，在點(diǎn)C處有一建筑物，小麗同學(xué)站在建筑物上，眼睛位于點(diǎn)D處，她手拿一支長(zhǎng)0.5米的竹竿EF，邊觀察邊移動(dòng)竹竿（竹竿EF始終與地面垂直），當(dāng)移動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，眼睛D與竹竿、塔的頂端E、A共線，同時(shí)眼睛D與它們的底端F、B也恰好共線，此時(shí)測(cè)得∠BDC=63°，小麗的眼睛距竹竿的距離為0.5米，小麗的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC⊥BC．請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果計(jì)算該塔的高度AB．【參考數(shù)據(jù)：tan63°≈2】
【答案】該塔的高度AB為34米
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，交EF于點(diǎn)H，再根據(jù)EF∥AB可得出△DAB∽△DEF，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AB的長(zhǎng)．
【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，交EF于點(diǎn)H，如圖．
易得DG=BC，DH⊥EF，DH=0.5米．
∵CD=17米，∠BDC=63°，∠C=90°，tan63°≈2，
∴BCCD=2，∴BC=34米，即DG=34米．
∵EF∥AB，
∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，
∴△DAB∽△DEF，
∴ABEF=DGDH，即AB0.5=340.5，
解得AB=34米，
即該塔的高度AB為34米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)）延安寶塔，是歷史名城延安的標(biāo)志，是革命圣地的象征，坐落在陜西省延安市主城東南的寶塔山景區(qū)內(nèi)．周末，數(shù)學(xué)實(shí)踐小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具測(cè)量延安寶塔的高度．測(cè)量方案如下：首先，在A處豎立一根高4m的標(biāo)桿AB，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)D、標(biāo)桿頂端B與寶塔頂端M在一條直線上，測(cè)得AD=4.3m；然后，移開標(biāo)桿，在A處放置測(cè)角儀，調(diào)整測(cè)角儀的高度，當(dāng)測(cè)角儀高AC為1m時(shí)，恰好測(cè)得點(diǎn)M的仰角為45°已知MN⊥ND，AB⊥ND，點(diǎn)D、A、N在一條直線上，點(diǎn)A，C、B在一條直線上，求延安寶塔的高M(jìn)N．
【答案】延安寶塔的高M(jìn)N為44m．
【分析】根據(jù)已知條件推出ΔMND～ΔBAD，得到MNAB=DNDA，即可求得．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，則CE=AN，EN=AC=1，
∵∠MCE=45°，
∴ME=CE．
∴ME=CE=AN=MN?1，
∠MND=∠BAD，∠MDN=∠BDA，
∴ΔMND～ΔBAD，
∴MNAB=DNDA，即MN4=MN?1+4.34.3，
∴MN=44
∴延安寶塔的高M(jìn)N為44m．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，證明ΔMND～ΔBAD是解決本題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022·陜西西安·一模）“攬?jiān)麻w”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的標(biāo)志性建筑，陽(yáng)光明媚的一天，某校九年級(jí)一班的興趣小組去測(cè)量攬?jiān)麻w的高度．?dāng)堅(jiān)麻w前面有個(gè)高1米的平臺(tái)，身高1.8米的小強(qiáng)在臺(tái)上走動(dòng)，當(dāng)小強(qiáng)走到點(diǎn)C處，小紅蹲在臺(tái)下點(diǎn)N處，其視線通過(guò)邊緣點(diǎn)M和小強(qiáng)頭頂點(diǎn)D正好看到塔頂A點(diǎn)，測(cè)得CM=0.9米，然后小強(qiáng)從正前方跳下后，往前走到點(diǎn)E處，此時(shí)發(fā)現(xiàn)小強(qiáng)頭頂F在太陽(yáng)下的影子恰好和塔頂A在地面上的影子重合于點(diǎn)P處，測(cè)得NE=5米，EP=1米．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)幫助興趣小組求出攬?jiān)麻w的高度．
【答案】99米
【分析】過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥AB于點(diǎn)Q，則四邊形QBNM為矩形，設(shè)AB的長(zhǎng)為x，則AQ=x?1，根據(jù)DC⊥MQ,AQ⊥MQ，可得△AQM∽△DCM，進(jìn)而求得MQ的長(zhǎng)度，即BN的長(zhǎng)度，根據(jù)AB∥EF，可得△PEF∽△PBA，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，解方程求解即可求出攬?jiān)麻w的高度．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥AB于點(diǎn)Q，
∵AB⊥BN,MN⊥BN
∴四邊形QBNM為矩形，
設(shè)AB的長(zhǎng)為x，則AQ=x?1，
∵ DC⊥MQ,AQ⊥MQ
∴AQ∥DC
∴ △AQM∽△DCM
∴ AQDC=QMCM
∵AQ=x?1,DC=1.8,CM=0.9
∴QM=AQ?CMDC=x?1×?12
∴BN=QM=x?12
∵ AB∥EF
∴ △PEF∽△PBA
∴ABEF=PBPE
∵EF=1.9,PB=PE+NE+BN=1+5+x?12=x+112
∴x1.8=x+1121
解得x=99
∴攬?jiān)麻w的高度為99米
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【題型5 相似三角形的應(yīng)用（樹高問(wèn)題）】
【例5】（2011·遼寧大連·中考真題）為了測(cè)量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案：把鏡子放在離樹(AB)8.7m的點(diǎn)E處，然后觀測(cè)考沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得DE＝2.7m，觀測(cè)者目高CD＝1.6m，則樹高AB約是____．（精確到0.1m）
【答案】5.2
【詳解】如圖容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，這樣可以得到△CED∽△AEB，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出AB．
解：由題意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，
∴△CED∽△AEB．
∴CDDE=ABBE，∴，
∴AB≈5.2米．
故答案為5.2m．
【變式5-1】（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問(wèn)山高幾何？”
大意如下：如圖，今有山AB位于樹CD的西面.山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的F處，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，問(wèn)山AB的高約為多少丈？(1丈=10尺，結(jié)果精確到個(gè)位)
【答案】由AB的高約為165丈.
【分析】由題意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，得 BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出.
【詳解】解：由題意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里.
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H.
則BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，
∵CD//AB，
∴ △ ECH∽ △ EAG，
∴CHAG=EHEG，
∴95?7AG=33+53
∴AG≈164.3丈，AB=AG+0.7≈165丈.
答：由AB的高約為165丈.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相似三角形是解題的關(guān)鍵.
【變式5-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）小明想用鏡子測(cè)量一棵松樹的高度，但因樹旁有一條河，不能測(cè)量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點(diǎn)，人在F點(diǎn)時(shí)正好在鏡子中看到樹尖A；第二次把鏡子放在D點(diǎn)，人在G點(diǎn)正好看到樹尖A．已知小明的眼睛距離地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．請(qǐng)你求出松樹的高．
【答案】這棵古松的高約為10.2米.
【分析】根據(jù)反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠DGH，所以可得△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．
【詳解】解：根據(jù)反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，
∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDF，
設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)
∴1.70x=+12，
解得x=10.2y=10.8．
答；這棵古松的高約為10.2米
【變式5-3】（2021·陜西寶雞·一模）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發(fā)現(xiàn)公園的一路燈旁有一棵古老的大樹，小華激動(dòng)地說(shuō)：媽媽，我可以通過(guò)測(cè)量您的影長(zhǎng)，測(cè)得媽媽的影長(zhǎng)DF＝1.6m．媽媽沿BD的方向到達(dá)點(diǎn)F處，此時(shí)小華測(cè)得媽媽的影長(zhǎng)FG＝2m．已知媽媽的身高為1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求這棵大樹的高度．
【答案】8米
【分析】在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴CDAB=DFBF，EFAB=FGBG，
又∵CD＝EF，CD=DF
∴EFAB=GFAB+GF
∵DF＝1.6m，F(xiàn)G＝2m，
∴1.6AB=2AB+2
解得，AB＝8．
答：這棵大樹的高度是8m．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的有關(guān)知識(shí)，能夠借助兩組三角形相似求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【題型6 相似三角形的應(yīng)用（河寬問(wèn)題）】
【例6】（2021·河北·石家莊市第四十一中學(xué)九年級(jí)期中）為了估計(jì)河的寬度，我們可以在河對(duì)岸的岸邊選定一個(gè)目標(biāo)記為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和點(diǎn)C，使得AB⊥BC，CE⊥BC，設(shè)BC與AE交于點(diǎn)D，如圖所示測(cè)得BD=120m，DC=40m，EC=30m，那么這條河的大致寬度是（）
A．60mB．90mC．100mD．120m
【答案】B
【分析】證明△DEC∽△DAB即可．
【詳解】∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴∠DBA=∠DCE，
∵∠BDA=∠CDE，
∴△DEC∽△DAB,
∴DC：DB=EC：AB，
∵BD=120m，DC=40m，EC=30m，
∴40：120=30：AB，
∴AB=90（m）,
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2019·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，為了估計(jì)河的寬度，在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，E，使點(diǎn)A，B，D在一條直線上，且AD⊥DE，點(diǎn)A，C，E也在一條直線上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，則河的寬度AB約為( )
A．20mB．18mC．28mD．30m
【答案】B
【分析】證明△ABC∽△ADE，利用相似比得到BCDE=ABAB+BD，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求AB的長(zhǎng)度．
【詳解】∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAB+BD，
即2440=ABAB+12，
∴AB=18m．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度；利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）；借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．
【變式6-2】（2022·貴州畢節(jié)·二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵樹，小華站在離南岸20m的點(diǎn)P處看北岸，在兩棵樹之間的空隙中，恰好看見(jiàn)一條龍舟的龍頭和龍尾（假設(shè)龍頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內(nèi)），已知龍舟的長(zhǎng)為18.5m，若龍舟行駛在河的中心，且龍舟與河岸平行，則河寬為_______m．
【答案】108
【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，證明△PAB∽△PCD，再借助相似三角形的性質(zhì)計(jì)算PF的長(zhǎng)，再由題意計(jì)算河寬即可．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出示意圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，
由題意可知，兩樹之間的距離AB=5m，龍舟的長(zhǎng)CD=18.5m，點(diǎn)P到南岸的距離PE=20m，
∵AB//CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴PEPF=ABCD，即20PF=518.5，
∴PF=74m，
∴EF=PF?PE=74?20=54m，
∵龍舟行駛在河的中心，
∴河寬為54×2=108m．
故答案為：108．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意作出示意圖，構(gòu)建相似三角形．
【變式6-3】（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中九年級(jí)期中）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過(guò)自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算該橋AF的長(zhǎng)．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC＝120米，DE＝210米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長(zhǎng)度．
【答案】橋AF的長(zhǎng)度為80米．
【分析】過(guò)E作EG⊥BC于G，依據(jù)△ABC∽△ADE，即可得出ACEC=43，依據(jù)△ACF∽△ECG，即可得到AFEG=ACEC，進(jìn)而得出AF的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)E作EG⊥BC于G，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ACAE＝BCDE =120210=47，
∴ACEC=43，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF∥EG，
∴△ACF∽△ECG，
∴AFEG=ACEC，即AF60=43，
解得AF=80，
∴橋AF的長(zhǎng)度為80米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）．測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形．方法是通過(guò)測(cè)量易于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．
【題型7 相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問(wèn)題）】
【例7】（2020·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期中）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AC長(zhǎng)為1cm，面積為1cm2，甲、乙兩人分別按圖①、②把它加工成一個(gè)正方形桌面，則①、②中正方形的面積較大的是( )
A．①B．②C．一樣大D．無(wú)法判斷
【答案】A
【分析】分別利用平行線分線段成比例及相似三角形的判定及性質(zhì)求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后利用正方形的面積公式求出面積，然后進(jìn)行比較即可．
【詳解】解：由AC長(zhǎng)為1cm，△ABC的面積為1cm2，可得BC=2cm，
如圖①，設(shè)加工桌面的邊長(zhǎng)為xc m，
∵DE//CB，
∴ DEBC=ADAC，
即x2=1?x1，
解得：x=23(cm)；
如圖②，設(shè)加工桌面的邊長(zhǎng)為y cm，
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB，分別交DE、AB于點(diǎn)N、M，
∵AC=1cm，BC=2cm，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵△ABC的面積為1cm2，
∴CM=255cm，
∵DE//AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴ DEAB=CNCM，
即y5=255?y255，
解得：y=257cm，
∵x2=49=2045，y2=2049，
∴x2>y2，
即S1>S2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)正方形（加工中的損耗忽略不計(jì)），則正方形的邊長(zhǎng)為（）
A．67B．3037C．127D．6037
【答案】D
【分析】過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q，三角形的面積公式求出BP的長(zhǎng)度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，設(shè)邊長(zhǎng)DE＝x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出x的長(zhǎng)度可得．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝12?AB?BC＝12?AC?BP，
∴BP＝AB?BCAC＝3×45＝125．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC＝BQBP．
設(shè)DE＝x，則有：x5＝125?x125，
解得x＝6037，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過(guò)解方程即可求出邊長(zhǎng)，熟練掌握對(duì)應(yīng)高的比等于相似比是關(guān)鍵．
【變式7-2】（2019·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖，已知在RtΔABC中，∠C為直角，AC=5，BC=12，在RtΔABC內(nèi)從左往右疊放邊長(zhǎng)為1的正方形小紙片，第一層小紙片的一條邊都在AB上，依次這樣往上疊放上去，則第二層最多能疊放_(tái)__個(gè)正方形小紙片.
【答案】7
【分析】求出AB的長(zhǎng)后，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF的長(zhǎng)度，從而判定可放置的正方形的個(gè)數(shù).
【詳解】
解：由勾股定理得：AB=52+122=13．
由三角形的面積計(jì)算公式可知：△ABC的AB邊上的高=5×1213=6013．
如圖所示：根據(jù)題意有：△CAB∽△CEF
∴EFAB=6013?26013=1730
∴EF=13×1730=71130
∴第二層可放置7個(gè)小正方形紙片．
故答案為7.
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)等問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是在掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，要具有綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．
【變式7-3】（2021·浙江臺(tái)州·九年級(jí)期末）一塊材料的形狀是等腰△ABC，底邊 BC=120 cm，高 AD=120 cm．
(1)若把這塊材料加工成正方形零件，使正方形的一邊在 BC 上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC 上（如圖 1），則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為多少？
(2)若把這塊材料加工成正方體零件（如圖 2，陰影部分為正方體展開圖），則正方體的表面積為多少？
【答案】(1)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為60cm；
(2)正方體的表面積為3456cm2
【分析】（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，證明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到AKAD=EHBC，然后代值求出x值即可；
（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為acm，同樣證明△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到APAD=MNBC，然后代值求出a值即可．
(1)
解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，
∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，
∴△AEH∽△ABC，
∴AKAD=EHBC，
∵BC=120 cm， AD=120 cm，
∴120?x120=x120，
解得：x=60，
答：方形的邊長(zhǎng)為60cm；
(2)
解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為acm，
由題意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，
∴△AMN∽△ABC，
∴APAD=MNBC，即120?4a120=a120，
解得：a=24
∴正方體的表面積為6×242=3456cm2．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，涉及正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方體的展開圖和表面積等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

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