TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc4072" 【題型1 由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值（直接）】 PAGEREF _Tc4072 \h 1
\l "_Tc29428" 【題型2 由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值（代換）】 PAGEREF _Tc29428 \h 3
\l "_Tc3501" 【題型3 由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值（降次）】 PAGEREF _Tc3501 \h 4
\l "_Tc7704" 【題型4 由方程兩根滿足關(guān)系式求字母系數(shù)的值】 PAGEREF _Tc7704 \h 6
\l "_Tc1663" 【題型5 構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc1663 \h 9
\l "_Tc3588" 【題型6 已知方程根的情況判斷另一個方程】 PAGEREF _Tc3588 \h 11
\l "_Tc19513" 【題型7 根與系數(shù)關(guān)系中的新定義問題】 PAGEREF _Tc19513 \h 14
\l "_Tc3708" 【題型8 由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍】 PAGEREF _Tc3708 \h 19
【知識點 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系】
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根是，那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.
【題型1 由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值（直接）】
【例1】（2022?江安縣模擬）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的兩根，則αβ+βα的值是 ．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=?32，αβ=?52，再根據(jù)完全平方公式以及分式的加法法則即可求出代數(shù)式的值．
【解答】解：∵α+β=?32，αβ=?52，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ=294，
∴αβ+βα=α2+β2αβ=?2910，
故答案為：?2910．
【變式1-1】（2021秋?密山市校級期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的兩根，則（x1﹣1）（x2﹣1）的值為（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2、x1x2的值，再代入計算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的兩根，
∴x1+x2＝7；x1x2＝5．
則（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝5﹣7+1＝﹣1．
故選：B．
【變式1-2】（2022?漢川市模擬）已知實數(shù)a、b滿足a?2+|b+3|＝0，若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，則1x1+1x2的值是（ ）
A．?23B．23C．2D．16
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出a＝2，b＝3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝2，x1?x2＝3，將1x1+1x2變形為x1+x2x1x2，整體代入即可求得．
【解答】解：∵實數(shù)a、b滿足a?2+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，
∴x1+x2＝a＝2，x1?x2＝b＝﹣3，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=?23，
故選：A．
【變式1-3】（2022春?瑯琊區(qū)校級月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的兩個根，則α﹣β的值為（ ）
A．﹣9B．9C．﹣9或9D．﹣5或5
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出α+β＝5，α?β＝﹣14，將其代入（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α?β中可求出（α﹣β）2的值，開方后即可求出α﹣β的值．
【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的兩個根，
∴α+β＝5，α?β＝﹣14，
∴（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α?β＝52﹣4×（﹣14）＝81，
∴α﹣β＝±9．
故選：C．
【題型2 由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值（代換）】
【例2】（2022?乳山市模擬）若x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的兩個根，則3x12﹣3x1+x22＝（ ）
A．14B．54C．94D．34
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=32，x1x2=12，將3x12﹣3x1+x22變形后求值即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的兩個根，
∴x1+x2=32，x1x2=12，2x12﹣3x1+1＝0，
∴3x12﹣3x1+x22
＝2x12﹣3x1+x12+x22
＝﹣1+(x1+x2)2?2x1x2
＝﹣1+94?1
=14，
故選：A．
【變式2-1】（2022?牟平區(qū)一模）已知一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的兩個根分別為x1，x2，則x12?2022x2+1的值為（ ）
A．﹣1B．0C．﹣2022D．﹣2021
【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到x12+1＝2022x1，則x12?2022x2+1變形為2022×x1x2?1x2，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1x2＝1，然后利用整體的方法計算即可．
【解答】解：∵x＝x1為方程x2﹣2022x+1＝0的根，
∴x12﹣2022x1+1＝0，
∴x12+1＝2022x1，
∴x12?2022x2+1＝2022x1?2022x2=2022×x1x2?1x2，
∵方程x2﹣2022x+1＝0的兩個根分別為x1，x2，
∴x1x2＝1，
∴x12?2022x2+1＝2022×1?1x2=0．
故選：B．
【變式2-2】（2022?東港區(qū)校級一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016B．2018C．2020D．2022
【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2﹣5m﹣1＝0，則m2﹣5m＝1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n＝5，再將其代入整理后的代數(shù)式計算即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，
∴m2﹣5m﹣1＝0，
∴m2﹣5m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩個根，
∴m+n＝5，
∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．
故選：B．
【變式2-3】（2022春?海門市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則2m2+4n2﹣4n+2022的值為 ．
【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個實數(shù)根可得：m2＝2m+1，n2＝2n+1，m+n＝2，代入所求式子即可得到答案．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，
∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，
∴2m2+4n2﹣4n+2022
＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2022
＝4m+2+8n+4﹣4n+2022
＝4（m+n）+2028
＝4×2+2028
＝2036，
故答案為：2036．
【題型3 由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值（降次）】
【例3】（2022?呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式x13﹣2022x1+x22的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
【分析】把x＝x1代入方程表示出x12﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化簡，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出所求即可．
【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，
則原式＝x1（x12﹣2022）+x22
＝x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故選：A．
【變式3-1】（2022?硚口區(qū)模擬）已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的兩根，則代數(shù)式﹣a3+5a?5b的值是（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【分析】利用一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系可得出a2﹣a＝5，ab＝﹣5，變形后可得出a2﹣5＝a，a=?5b，將其代入﹣a3+5a?5b=?a（a2﹣5）?5b中可得出原式＝﹣a2+a，再結(jié)合a2﹣a＝5，即可求出原式＝﹣5．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的兩根，
∴a2﹣a＝5，ab＝﹣5，
∴a2﹣5＝a，a=?5b，
∴﹣a3+5a?5b=?a（a2﹣5）?5b=?a2+a＝﹣（a2﹣a）＝﹣5．
故選：B．
【變式3-2】（2022?松山區(qū)模擬）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則m3﹣4n2+17的值為（ ）
A．﹣2B．6C．﹣4D．4
【分析】根據(jù)m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，可以得到m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，然后變形得到m3和4n2，再代入所求式子，計算即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故選：A．
【變式3-3】（2022春?漢陽區(qū)校級月考）已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的兩根，則代數(shù)式2m3+5n2?16n+4的值是（ ）
A．57B．58C．59D．60
【分析】將代數(shù)式的次數(shù)化為一次，然后將m，n的值代入求解即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的兩根，
∴m2﹣4m+2＝0，n2﹣4n+2＝0，m+n＝4
∴m2＝4m﹣2，n2＝4n﹣2，
∴n＝4?2n，即2n=4﹣n，m3＝4m2﹣2m＝14m﹣8，
∴原式＝2（14m﹣8）+5（4n﹣2）﹣8（4﹣n）+4
＝28（m+n）﹣54
＝58．
故選：B．
【題型4 由方程兩根滿足關(guān)系式求字母系數(shù)的值】
【例4】（2021秋?畢節(jié)市期末）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足1x1+1x2=1，則m的值為（ ）
A．﹣3或1B．﹣1或3C．﹣1D．3
【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出：x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，代入1x1+1x2=1中，求出m的值，再進行檢驗即可．
【解答】解：∵x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，
∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m+3m2=1，
解得：m＝3或m＝﹣1，
把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此時方程有解；
把m＝﹣1代入方程得：x2﹣x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此時方程無解，即m＝﹣1舍去．
故選：D．
【變式4-1】（2021秋?黔西南州期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．且x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2＝16，則a的值為（ ）
A．﹣6B．﹣1C．1或﹣6D．6或﹣1
【分析】先根據(jù)判別式的意義得到a＜3，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，利用x12+x22﹣x1x2＝16得到4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解關(guān)于a的方程，然后利用a的范圍確定滿足條件的a的值．
【解答】解：根據(jù)題意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得a＜3，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
整理得a2﹣5a﹣6＝0，
解得a1＝﹣1，a2＝6，
而a＜3，
∴a的值為﹣1．
故選：B．
【變式4-2】（2022春?倉山區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．
（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若此方程的兩個實數(shù)根x1，x2，滿足x1﹣x2＝3，求k的值．
【分析】（1）通過計算根的判別式的值得到Δ＝4k2≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；
（2）設(shè)方程的兩實數(shù)解為a、b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得a+b＝4k，ab＝3k2，再利用|a﹣b|＝3得到（a+b）2﹣4ab＝9，則16k2﹣4×3k2＝9，然后解方程，從而得到滿足條件的k的值．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣4k）2﹣4×3k2＝4k2≥0，
∴該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：設(shè)方程的兩實數(shù)解為a、b，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝4k，x1x2＝3k2，
∵|x1﹣x2|＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴16k2﹣4×3k2＝9，
即k2=94，
解得k1=32，k2=?32．
故k的值為32或?32．
【變式4-3】（2022?內(nèi)江）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，且x2x1+x1x2=x12+2x2﹣1，則k的值為 ．
【分析】根據(jù)x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，可得x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把x2x1+x1x2=x12+2x2﹣1變形再整體代入可得22?2(k?1)k?1=4﹣k，解出k的值，并檢驗即可得k＝2．
【解答】解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，
∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵x2x1+x1x2=x12+2x2﹣1，
∴(x1+x2)2?2x1x2x1x2=2（x1+x2）﹣k，
∴22?2(k?1)k?1=4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
當k＝2時，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；
當k＝5時，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實數(shù)解，不符合題意；
∴k＝2，
故答案為：2．
【題型5 構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】
【例5】（2022?鄞州區(qū)模擬）已知實數(shù)a≠b，且滿足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，則bba+aab的值為（ ）
A．23B．﹣23C．﹣2D．﹣13
【分析】根據(jù)（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，把a、b可看成是關(guān)于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的兩個根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．
【解答】解：∵a、b是關(guān)于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的兩個根，
整理此方程，得x2+5x+1＝0，
∵Δ＝25﹣4＞0，
∴a+b＝﹣5，ab＝1．
故a、b均為負數(shù)．
因此bba+aab=?baab?abab=?a2+b2abab=?(a+b)2?2abab=?23．
故選：B．
【變式5-1】（2021秋?鄞州區(qū)校級期末）已知實數(shù)α，β滿足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且1β2+αβ?52α的值為（ ）
A．254B．?254C．?174D．334
【分析】方法1：2β2﹣5β﹣2＝0，可得2（1β）2+5×1β?2＝0，那么α、1β是方程2x2+5x﹣2＝0的兩實根，由根與系數(shù)關(guān)系得α+1β=?52，α?1β=?1，再把1β2+αβ?52α變形?52（α+1β）+α?1β，然后利用整體代入的方法計算；
方法2：代數(shù)式先提取前兩項中的1β，再提取?52即可．
【解答】解：方法1：∵2β2﹣5β﹣2＝0，
∴β≠0，
方程兩邊同時除以﹣β2，可得2（1β）2+5×1β?2＝0，
又2α2+5α﹣2＝0，
∴α、1β是方程2x2+5x﹣2＝0的兩實根，
∴α+1β=?52，α?1β=?1，
∴1β2+αβ?52α
=?52×1β+1+α?1β?52α
=?52（α+1β）+α?1β+1
=?52×（?52）+（﹣1）+1
=254．
方法2：1β2+αβ?52α
=1β（1β+α）?52α
=?52×1β?52α
=?52×（1β+α）
=?52×（?52）
=254．
故選：A．
【變式5-2】（2022?周村區(qū)二模）已知a、b、m、n為互不相等的實數(shù)，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，則ab﹣mn的值為（ ）
A．4B．1C．﹣2D．﹣1
【分析】先把已知條件變形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，則可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的兩實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到ab＝mn﹣2，從而得到ab﹣mn的值．
【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n為互不相等的實數(shù)，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的兩實數(shù)根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故選：C．
【變式5-3】（2022春?杭州期中）若xy+x≠1，且5x2+300x+9＝0，9y2+318y+314＝0，則xy+1的值是 ．
【分析】方程9y2+318y+314＝0可變形為9（y+1）2+300（y+1）+5＝0，把9（y+1）2+300（y+1）+5＝0兩邊都除以（y+1）2得5×（1y+1）2+300×1y+1+9＝0，結(jié)合xy+x≠1可得出x，1y+1是方程5x2+300x+9＝0的兩個不相等的實數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得答案．
【解答】解：∵9y2+318y+314＝0，
∴9（y+1）2+300（y+1）+5＝0．
把9（y+1）2+300（y+1）+5＝0兩邊都除以（y+1）2，得5×（1y+1）2+300×1y+1+9＝0．
∵xy+x≠1，
∴x≠1y+1，
∴x，1y+1是方程5x2+300x+9＝0的兩個不相等的實數(shù)根，
∴xy+1=95．
故答案為：95．
【題型6 已知方程根的情況判斷另一個方程】
【例6】（2022?新華區(qū)校級一模）已知關(guān)于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q為常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論：
①1和一1都是方程x2+qx+p＝0的根
②0可能是方程x2+qx+p＝0的根
③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根
④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根
其中正確的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
【分析】根據(jù)根的判別式可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，進一步可得q＝±（p+1），可知x＝1或x＝﹣1可能是但不能同時是方程x2+qx+p＝0的根；當x＝0時，可得p和q的值且符合題意，即可進行判斷．
【解答】解：根據(jù)題意，可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，且p+1≠0，
∴q＝±（p+1），
當q＝p+1時，q﹣p﹣1＝0，
此時x＝﹣1是方程x2+qx+p＝0的根，
當q＝﹣（p+1）時，q+p+1＝0，
此時x＝1是方程x2+qx+p＝0的根，
∵p+1≠0，
∴p+1≠﹣（p+1），
∴x＝1和x＝﹣1不能同時是方程x2+qx+p＝0的根，
故①④不符合題意，③選項符合題意；
當x＝0時，p＝0，
∴q＝±1，
∴當p＝0，q＝±1時，x＝0是方程x2+qx+p＝0的根，
故②符合題意，
故選：C．
【變式6-1】（2022春?余杭區(qū)月考）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0與cx2+bx+a＝0，且ac≠0，a≠c．下列說法正確的是（ ）
A．若方程ax2+bx+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則方程cx2+bx+a＝0沒有實數(shù)根
B．若方程ax2+bx+c＝0的兩根符號相同，則方程cx2+bx+a＝0的兩根符號也相同
C．若5是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則5也是方程cx2+bx+a＝0的一個根
D．若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一個相同的根，則這個根必是x＝1
【分析】利用根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系判斷即可．
【解答】解：A、若方程ax2+bx+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，
則有b2﹣4ac＝0，可得方程cx2+bx+a＝0也有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意；
B、若方程ax2+bx+c＝0的兩根符號相同，即ca＞0，
則方程cx2+bx+a＝0的兩根符號也相同，符合題意；
C、把x＝5代入方程得：25a+5b+c＝0，
而25c+5b+a不一定為0，即x＝5不一定是方程cx2+bx+a＝0的一個根，不符合題意；
D、若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一個相同的根，
則有ax2+bx+c＝cx2+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c，
由a≠c，得到x2＝1，即x＝±1，不符合題意．
故選：B．
【變式6-2】（2022春?倉山區(qū)校級期末）已知兩個關(guān)于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c．下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．若方程M有兩個相等的實數(shù)根，則方程N也有兩個相等的實數(shù)根
B．若方程M有一個正根和一個負根，則方程N也有一個正根和一個負根
C．若5是方程M的一個根，則15是方程N的一個根
D．若方程M和方程N有一個相同的根，則這個根一定是x＝1
【分析】A、一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則Δ＝b2﹣4ac＝0，對于方程cx2+bx+a＝0，Δ＝b2﹣4ac＝0，則方程N也有兩個相等的實數(shù)根；
B、利用ac＜0和根的判別式進行判斷即可；
C、把x＝5代入ax2+bx+c＝0得：25a+5b+c＝0，等式的兩邊同除以25得到125c+15b+a＝0，于是得到15是方程N的一個根，無法得到5是方程N的一個根；
D、如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根可能是x＝±1．
【解答】解：A、∵方程M有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
∵方程N的Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程N也有兩個相等的實數(shù)根，故不符合題意；
B、∵方程M的兩根符號相同，
∴ca＜0，且b2﹣4ac＞0，
∴ac＞0，且b2﹣4ac＞0，
∴方程N也有一個正根和一個負根，故不符合題意；
C、∵把x＝5代入ax2+bx+c＝0得：25a+5b+c＝0，
∴125c+15b+a＝0，
∴15是方程N的一個根，故不符合題意；
D、∵方程M和方程N有一個相同的根，
∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，
∴（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a≠c，
∴x2＝1，
∴x＝±1，
即這個根可能是x＝±1；故符合題意．
故選：D．
【變式6-3】（2022春?瑤海區(qū)校級期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個同號非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個同號非零整數(shù)根，則下列說法正確的是（ ）
A．p是正數(shù)，q是負數(shù)B．（p﹣2）2+（q﹣2）2＜8
C．q是正數(shù)，p是負數(shù)D．（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8
【分析】設(shè)方程x2+px+q＝0的兩根為x1、x2，方程y2+qy+p＝0的兩根為y1、y2．根據(jù)方程解的情況，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1?x2＝q＞0，y1?y2＝p＞0，即可判斷A與C；②由方程有兩個實數(shù)根結(jié)合根的判別式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性質(zhì)以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判斷B與D．
【解答】解：設(shè)方程x2+px+q＝0的兩根為x1、x2，方程y2+qy+p＝0的兩根為y1、y2．
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個同號非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個同號非零整數(shù)根，
∴x1?x2＝q＞0，y1?y2＝p＞0，
故選項A與C說法均錯誤，不符合題意；
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個同號非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個同號非零整數(shù)根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同時為2，否則兩個方程均無實數(shù)根），
故選項B說法錯誤，不符合題意；選項D說法正確，符合題意；
故選：D．
【題型7 根與系數(shù)關(guān)系中的新定義問題】
【例7】（2022秋?武侯區(qū)校級期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，且滿足數(shù)軸上x1，x2所表示的點到2所表示的點的距離相等，則稱這樣的方程為“關(guān)于2的等距方程”以下“關(guān)于2的等距方程”的說法，正確的有 ．（填序號）
①方程x2﹣4x＝0是關(guān)于2的等距方程；
②當5m＝﹣n時，關(guān)于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是關(guān)于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是關(guān)于2的等距方程，則必有b＝﹣4a（a≠0）；
④當兩根滿足x1＝3x2，關(guān)于x的方程px2﹣x+34=0是關(guān)于2的等距方程．
【分析】①解得方程的解后即可利用關(guān)于2的等距方程的定義進行判斷；
②解得方程的解后即可利用關(guān)于2的等距方程的定義進行判斷；
③根據(jù)方程ax2+bx+c＝0是關(guān)于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，當x1＝x2時，x1＝x2=?b2a，不能判斷a與b之間的關(guān)系，當x1+x2＝4時，即?ba=4，得到b＝﹣4a，據(jù)此即可判斷；
④根據(jù)韋達定理和x1＝3x2，得出3x22=34（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用關(guān)于2的等距方程的定義進行判斷．
【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
則|x1﹣2|＝|x2﹣2|，①正確；
②當m≠0，n≠0時，（x+1）（mx+n）＝0，則x1＝﹣1，x2=n?m，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，滿足2的等距方程；
當m＝n＝0時，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②錯誤；
③對于方程ax2+b+c＝0（a≠0），
由韋達定理得：x1+x2=?ba，
∵方程是2的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
則x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
當x1＝x2時，x1＝x2=?b2a，不能判斷a與b之間的關(guān)系，
當x1+x2＝4時，即?ba=4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程時，b不一定等于﹣4a，故③錯誤；
④對于方程px2﹣x+34=0有兩根滿足x1＝3x2，
由韋達定理得：x1x2=34p，x1+x2=1p，
∴x1x2=34×1p=34（x1+x2），
∴3x22=34（3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x+34=0是關(guān)于2的等距方程，故④正確，
故正確的有①④，
故答案為①④．
【變式7-1】（2021秋?金牛區(qū)期末）將兩個關(guān)于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）與方程（x+1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個根為x1、x2，則b﹣2c＝ 4 ，ax1+x1x2+ax2的最大值是 ．
【分析】根據(jù)新的定義可知b＝2a，c＝a﹣2，即可得到b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，由根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2＝﹣2，x1x2=a?2a，代入變形后的代數(shù)式得到ax1+x1x2+ax2＝a（x1+x2）+x1x2＝﹣2a+a?2a=?2（a+1a）+1，設(shè)a+1a=t（t＞0），得a2﹣t?a+1＝0，根據(jù)題意解得t≥2，即a+1a≥2，即可得到ax1+x1x2+ax2＝﹣2（a+1a）+1≤﹣3．
【解答】解：根據(jù)新的定義可知，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可變形為a（x+1）2﹣2＝0，
∴a（x+1）2﹣2＝ax2+bx+c，
∴ax2+2ax+a﹣2＝ax2+bx+c，
∴b＝2a，c＝a﹣2，
∴b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，
∵x1+x2＝﹣2，x1x2=a?2a
∴ax1+x1x2+ax2＝a（x1+x2）+x1x2＝﹣2a+a?2a=?2（a+1a）+1，
∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個根為x1、x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2a）2﹣4a（a﹣2）＝8a≥0，且a≠0，
∴a＞0，
設(shè)a+1a=t（t＞0），得a2﹣t?a+1＝0，
∵方程a2﹣t?a+1＝0有正數(shù)解，
∴Δ＝t2﹣4≥0，解得t≥2，即a+1a≥2，
∴ax1+x1x2+ax2＝﹣2（a+1a）+1≤﹣3，
∴ax1+x1x2+ax2的最大值是﹣3．
故答案為：4，﹣3．
【變式7-2】（2021秋?章貢區(qū)期末）我們定義：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．
（1）請說明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，則m，n具有怎樣的關(guān)系？
（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，則a，b，c的等量關(guān)系是 ．（直接寫出結(jié)果）
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根據(jù)“倍根方程”可判斷方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）利用因式分解法解方程得x1＝2，x2=?nm，再利用“倍根方程”的定義得到?nm=2×2或?nm=12×2，從而得到m、n的關(guān)系式；
（3）設(shè)方程的兩根分別為t，2t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得t+2t=?ba，t?2t=ca，然后消去t得到a、b、c的關(guān)系．
【解答】解：（1）（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝2，x2＝1，
∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）∵（x﹣2）（mx+n）＝0，
∴x1＝2，x2=?nm，
當?nm=2×2時，n＝﹣4m，即4m+n＝0；
當?nm=12×2時，n＝﹣m，即m+n＝0；
綜上所述，m、n的關(guān)系式為4m+n＝0或m+n＝0．
（3）∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，
∴設(shè)方程的兩根分別為t，2t，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得t+2t=?ba，t?2t=ca，
∴t=?b3a，
∴2（?b3a）2=ca，
∴2b2＝9ac．
故答案為：2b2＝9ac．
【變式7-3】（2022春?宜秀區(qū)校級月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：
（1）通過計算，判斷下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣23x+1＝0；
（2）已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．
【分析】（1）據(jù)“差根方程”定義判斷即可；
（2）根據(jù)x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，從而得到a＝±12；
（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到(?ba)2?4?1a=1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝4，x1?x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2?4x1x2=42?4×(?5)=6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②設(shè)x1，x2是一元二次方程2x2﹣23x+1＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2=3，x1?x2=12，
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2?4x1x2=(3)2?4×12=1，
∴方程2x2﹣23x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±12；
（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2=?ba，x1?x2=1a，
∵關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2?4x1x2=1，即(?ba)2?4?1a=1，
∴b2＝a2+4a．
【題型8 由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍】
【例8】（2021秋?錦江區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求證：該一元二次方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若該方程有一個小于5的根，另一個根大于5，求m的取值范圍；
【分析】（1）首先計算△，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可判斷出Δ≥0，進而得到結(jié)論；
（2）當兩根一個大于5一個小于5時，得到方程有兩個不相等的實數(shù)根其兩根與5的差的積小于零，列出不等式解之即可；
【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝（m﹣4）2≥0，
∴不論m取何實數(shù)，該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）設(shè)兩個實數(shù)根為x1，x2，
則x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣4，
∵方程的一個根大于5，另一個根小于5，
∴（x1﹣5）（x2﹣5）＝x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，
∴2m﹣4﹣5m+25＜0，
解得：m＞7，
∴方程的一個根大于5，另一個根小于5，m的取值范圍是m＞7；
【變式8-1】（2022春?臨平區(qū)月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）試判斷方程根的情況．
（2）若m＜0時方程的兩根x1，x2滿足x1?x2＞1，且n＝1，求m的取值范圍．
【分析】（1）通過一元二次方程根的判別式求解．
（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出x1?x2=?m+1m＞1，進而求解．
【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2+nx?（m+n）＝0，
∴m≠0，Δ＝n2?4m×[?（m+n）]＝（n+2m）2≥0，
∴該方程有兩個實數(shù)根．
（2）將n＝1代入方程mx2+nx?（m+n）＝0，得mx2+x?（m+1）＝0，
∵方程的兩根x1，x2滿足x1?x2＞1，
∴x1?x2=?m+1m＞1，
當m＜0時，可得?12＜m＜0，
即m的取值范圍是?12＜m＜0．
【變式8-2】（2022秋?新都區(qū)校級月考）實數(shù)k取何值時，關(guān)于x的一元二次方程x2+（3k﹣1）x+3k﹣2＝0
（1）有兩個負根？
（2）兩根異號，且負根絕對值較大？
（3）一根大于5，一根小于5？
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程有兩個實根，則判別式△≥0，并且兩根的和小于0，且兩根的積大于0，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于k的不等式組，即可求得k的范圍；
（2）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實根，則判別式Δ＞0，并且負根的絕對值較大，則兩根的和小于0，且兩根的積小于0，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于k的不等式組，即可求得k的范圍；
（3）設(shè)方程的兩個根分別是x1、x2，根據(jù)題意，得（x1﹣5）（x2﹣5）＜0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求得k的取值范圍，再根據(jù)Δ＞0確定k的范圍．
【解答】解：（1）設(shè)方程的兩個負根為x1、x2，則：
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2≥0 ①，
x1+x2＝1﹣3k＜0，x1x2＝3k﹣2＞0 ②，
解①得：k為任意實數(shù)，
解②得：k＞23，
所以k的取值范圍是k＞23；
（2）設(shè)方程的兩個根為x1、x2，則：
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2＞0 ①，
x1+x2＝1﹣3k＜0，x1x2＝3k﹣2＜0 ②，
解①得：k≠1，
解②得：13＜k＜23，
所以k的取值范圍是13＜k＜23；
（3）設(shè)方程的兩個根為x1、x2，則：
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2＞0 ①，
（x1﹣5）（x2﹣5）＜0 ②，
解①得：k≠1，
由②得：x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，
又x1+x2＝1﹣3k，x1x2＝3k﹣2，
代入整理，得18k+18＜0，
解得k＜﹣1．
則k＜﹣1．
【變式8-3】（2022春?越秀區(qū)校級月考）設(shè)關(guān)于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的兩個實數(shù)根分別為α、β．
（1）證明：無論實數(shù)m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）當|α|+|β|≤6時，試確定實數(shù)m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求解；
（2）根據(jù)x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的實根為α、β，由根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式即可解出m的取值范圍．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣5）2﹣4（﹣m2+1）＝4m2+21＞0，
∴無論實數(shù)m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：∵α+β＝5，αβ＝1﹣m2，|α|+|β|≤6，
∴α2+β2+2|αβ|≤36，
即（α+β）2﹣2αβ+2|αβ|≤36．
∴25﹣2（1﹣m2）+2|1﹣m2|≤36，
當1﹣m2≥0時，25≤36成立，
∴﹣1≤m≤1①．
當1﹣m2＜0時，
得25﹣4（1﹣m2）≤36，
∴?152≤m≤152②．
由①、②得?152≤m≤152．

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