參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）
1．(3分)（2022春?溫州期中）若關(guān)于x的方程x2+2ax+4a＝0有一個(gè)根為﹣3，則a的值是（ ）
A．9B．4.5C．3D．﹣3
【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解關(guān)于a的一次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，
解得a＝4.5．
故選：B．
2．(3分)（2022春?張店區(qū)期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正確的是（ ）
A．(x?14)2=34B．(x?14)2=32
C．(x?12)2=34D．(x?12)2=32
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
整理得：x2﹣x=12，
配方得：x2﹣x+14=34，即（x?12）2=34．
故選：C．
3．(3分)（2022春?萊蕪區(qū)期末）以x=4±16+4c2為根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2﹣4x﹣c＝0B．x2+4x﹣c＝0C．x2﹣4x+c＝0D．x2+4x+c＝0
【分析】根據(jù)求根公式逐一判斷即可．
【解答】解：A．此方程的根為x=4±16+4c2，符合題意；
B．此方程的根為x=?4±16+4c2，不符合題意；
C．此方程的根為x=4±16?4c2，不符合題意；
D．此方程的根為x=?4±16?4c2，不符合題意；
故選：A．
4．(3分)（2022秋?沐川縣期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，則代數(shù)式2m2+2m﹣2022的值是（ ）
A．﹣2018B．2018C．﹣2026D．2026
【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2+m＝2，然后整體代入所求的代數(shù)式求值即可．
【解答】解：∵實(shí)數(shù)m是關(guān)于x的方程x2+x﹣2＝0的一個(gè)根，
∴m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
∴2m2+2m﹣2022＝2（m2+m）﹣2022＝﹣2018．
故選：A．
5．(3分)（2022春?淄川區(qū)期中）已知多項(xiàng)式P=12x﹣2，Q＝x2?32x（x為任意實(shí)數(shù)），試比較多項(xiàng)式P與Q的大小．（ ）
A．無(wú)法確定B．P＞QC．P＝QD．P＜Q
【分析】先求出Q﹣P的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性質(zhì)即可求出P與Q的大小．
【解答】解：∵P=12x﹣2，Q＝x2?32x，
∴Q﹣P＝x2?32x?12x+2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，
∴P＜Q．
故選：D．
6．(3分)（2022秋?雄縣期末）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x＝m時(shí)，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實(shí)數(shù)m，使得M1+M2＝0，則稱(chēng)函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”．以下函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”的是（ ）
A．y1=?1x和y2＝﹣x+1B．y1=x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1=?1x和y2＝﹣x﹣1D．y1=x2+2x和y2＝﹣x﹣1
【分析】根據(jù)題意，令y1+y2＝0，若方程有解，則稱(chēng)函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”，若無(wú)解，則稱(chēng)函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”．
【解答】解：A、令y1+y2＝0，
則?1x?x+1＝0，
整理得：x2﹣x+1＝0，
此方程無(wú)解，
∴函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”，
故A不符合題意；
B、令y1+y2＝0，
則x2+2x﹣x+1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程無(wú)解，
∴函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”，
故B不符合題意；
C、A、令y1+y2＝0，
則?1x?x﹣1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程無(wú)解，
∴函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”，
故C不符合題意；
D、A、令y1+y2＝0，
則x2+2x﹣x﹣1＝0，
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x1=?1+52，x2=?1?52，
∴函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”，
故D符合題意；
故選：D．
7．(3分)（2022秋?香洲區(qū)期末）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)是方程x2﹣9x+20＝0的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為（ ）
A．3B．41C．3或41D．5或41
【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再分情況討論求解即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0，
∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，
則x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝4，x2＝5，
若4、5均為直角邊長(zhǎng)度，則斜邊長(zhǎng)度為42+52=41，
若4、5有一邊是斜邊長(zhǎng)度，則斜邊長(zhǎng)度為5，
故選：D．
8．(3分)（2022?蜀山區(qū)一模）“穩(wěn)字當(dāng)頭”的中國(guó)經(jīng)濟(jì)是全球經(jīng)濟(jì)的“穩(wěn)定器”，穩(wěn)就業(yè)，保民生，防風(fēng)險(xiǎn)，守住“穩(wěn)”的基礎(chǔ)，才有更多“進(jìn)”的空間．2020，2021這兩年中國(guó)經(jīng)濟(jì)的年平均增長(zhǎng)率為5.1%，其中2021年的年增長(zhǎng)率為8.1%，若設(shè)2020年的年增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（ ）
A．8.1%（1﹣x）2＝5.1%
B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2
C．5.1%（1+x）2＝8.1%
D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）
【分析】增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量＝增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意可得：（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2．
故選：B．
9．(3分)（2022?周村區(qū)二模）已知a、b、m、n為互不相等的實(shí)數(shù)，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，則ab﹣mn的值為（ ）
A．4B．1C．﹣2D．﹣1
【分析】先把已知條件變形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，則可把a(bǔ)、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的兩實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到ab＝mn﹣2，從而得到ab﹣mn的值．
【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n為互不相等的實(shí)數(shù)，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的兩實(shí)數(shù)根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故選：C．
10．(3分)（2022?青縣二模）定義運(yùn)算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若關(guān)于x的方程a※x＝0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為（ ）
A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．a(chǎn)≥0或a≤﹣1D．a(chǎn)＞0或a≤﹣1
【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于x的方程，根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：由題意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，
當(dāng)a＝0時(shí)，原來(lái)方程變形為﹣1＝0，方程無(wú)解；
當(dāng)a≠0時(shí)，
∵關(guān)于x的方程a※x＝0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，
解得a≤﹣1或a＞0．
故選：D．
二．填空題（共6小題，滿(mǎn)分18分，每小題3分）
11．(3分)（2022秋?鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一個(gè)為 ﹣1 ．
【分析】將x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0中的左邊，得到a﹣b+c，由a﹣b+c＝0得到方程左右兩邊相等，即x＝﹣1是方程的解．
【解答】解：將x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左邊得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，
∵a﹣b+c＝0，
∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．
故答案為：﹣1．
12．(3分)（2022?成都模擬）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則(m2?2m)(m?3m?1)= 3 ．
【分析】將x＝m代入已知方程得到m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m；然后將其代入所求的代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：依題意得：m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m，
∴(m2?2m)(m?3m?1)
＝3×3+m?3m
＝3×1
＝3．
故答案是：3．
13．(3分)（2022?海曙區(qū)自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 3＜k≤4 ．
【分析】根據(jù)原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x+k4=0；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出②方程的x1+x2和x1﹣x2的表達(dá)式，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出k的取值范圍．
【解答】解：由題意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+k4=0；
設(shè)x2﹣2x+k4=0的兩根分別是m、n（m≥n）；則m+n＝2，mn=k4；
m﹣n=(m+n)2?4mn=4?k；
根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得：
m﹣n＜1＜m+n，即4?k＜1＜2；
∴4?k＜14?k≥0，解得3＜k≤4．
14．(3分)（2022秋?鹽湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A在數(shù)軸的負(fù)半軸，點(diǎn)B在數(shù)軸的正半軸，且點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是2x﹣1，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是x2+x，已知AB＝5，則x的值為 1?172 ．
【分析】先根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式列出關(guān)于x的方程，解之求出x的值，再結(jié)合A、B的位置取舍即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，
整理，得：x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
則x=?b±b2?4ac2a=1±172，
∴x1=1+172，x2=1?172，
∵點(diǎn)A在數(shù)軸的負(fù)半軸，
∴2x﹣1＜0，即x＜12，
∴x=1?172，
故答案為：1?172．
15．(3分)（2022?天府新區(qū)模擬）給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和面積的2倍，則我們稱(chēng)這個(gè)矩形是給定矩形的“加倍矩形”，當(dāng)已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為3和1時(shí)，其“加倍矩形”的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為 213 ．
【分析】設(shè)“加倍矩形”的長(zhǎng)為x，則寬為[2×（3+1）﹣x]，根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)“加倍”矩形的長(zhǎng)為x，則寬為[2×（3+1）﹣x]，
依題意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，
整理，得：x2﹣8x+6＝0，
解得：x1＝4+10，x2＝4?10，
當(dāng)x＝4+10時(shí)，2×（3+1）﹣x＝4?10＜4+10，符合題意；
當(dāng)x＝4?10時(shí)，2×（3+1）﹣x＝4+10＞4?10，符不符合題意，舍去．
∴“加倍矩形”的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為(4+10)2+(4?10)2=213．
故答案為：213．
16．(3分)（2022秋?昌江區(qū)校級(jí)期末）若實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，則a+b+c＝ ?52 ．
【分析】利用配方法將原式變形，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a，b，c的值，最后代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，
∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0．
∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0．
∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0．
∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0，
∴2a?|b|=02b+|c|=0c+2=0．
解得：a=12b=?1c=?2．
∴a+b+c=12?1﹣2=?52．
故答案為：?52．
三．解答題（共7小題，滿(mǎn)分52分）
17．(6分)（2022春?道里區(qū)期末）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移項(xiàng)后配方，開(kāi)方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0，
（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝4；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
配方，得x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
開(kāi)方得：x﹣2=±5，
解得：x1＝2+5，x2＝2?5．
18．(6分)（2022秋?海淀區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若m＜0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，求m的值．
【分析】（1）利用根的判別式進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)方程的較大的實(shí)數(shù)根為x1，較小的實(shí)數(shù)根為x2，則有x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，從而可進(jìn)行求解．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0，
∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
即該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的較大的實(shí)數(shù)根為x1，較小的實(shí)數(shù)根為x2，依題意得：
x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，
∴（x1﹣x2）2＝32，
x12﹣2x1x2+x22＝9，
x12+x22＝9+2x1x2＝9+2（1﹣m）＝11﹣2m，
∵（x1+x2）2＝（m﹣2）2，
∴x12+2x1x2+x22＝m2﹣4m+4，
∴11﹣2m+2（1﹣m）＝m2﹣4m+4，
整理得：m2＝9，
解得：m＝3或m＝﹣3，
∵m＜0，
∴m＝﹣3．
19．(8分)（2022秋?安居區(qū)期末）為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1視為一個(gè)整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
當(dāng)y＝1時(shí)，x2﹣1＝1，所以x=±2；
當(dāng)y＝4時(shí)，x2﹣1＝4，所以x=±5．
所以原方程的根為x1=2，x2=?2，x3=5，x4=?5．
以上解方程的方法叫做換元法，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．運(yùn)用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【分析】（1）設(shè)x2﹣x＝a，原方程可化為a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；
（2）設(shè)x2＝y(tǒng)，原方程化為y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y(tǒng)求出x即可．
【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
設(shè)x2﹣x＝a，則原方程可化為a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a1＝a2＝2，
當(dāng)a＝2時(shí)，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x4+x2﹣12＝0，
設(shè)x2＝y(tǒng)，則原方程化為y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣4，
當(dāng)y＝3時(shí)，x2＝3，解得：x=±3；
當(dāng)y＝﹣4時(shí)，x2＝﹣4，無(wú)實(shí)數(shù)根，
所以原方程的解是x1=3，x2=?3．
20．(8分)（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿(mǎn)足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因?yàn)?2＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．
（1）已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫(xiě)出a，b，c所滿(mǎn)足的關(guān)系式 b2﹣4ac＝0 ；判斷241 不是 “喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫(xiě)出一個(gè)“喜鵲數(shù)” 121 ；
（2）利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個(gè)根，x＝n是方程②的一個(gè)根，求m與n滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（3）在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的所有k的值．
【分析】（1）根據(jù)喜鵲數(shù)的定義解答即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式解答即可；
（3）求出m與n互為倒數(shù)，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，結(jié)合喜鵲數(shù)的定義即可得出答案．
【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鵲數(shù)，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鵲數(shù)；
∵各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，
∴十位上的數(shù)字的平方最小為4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鵲數(shù)”是121．
故答案為：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一個(gè)根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
將cn2+bn+a＝0兩邊同除以n2得：a（1n）2+b（1n）+c＝0，
∴將m、1n看成是方程ax2+bx+c的兩個(gè)根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴m=1n，即mn＝1；
故答案為：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴滿(mǎn)足條件的所有k的值為121，242，363，484．
故答案為：121，242，363，484．
21．(8分)（2022春?南海區(qū)月考）閱讀材料題：
我們知道a2≥0，所以代數(shù)式a2的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2來(lái)求一些多項(xiàng)式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值問(wèn)題．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣6≥﹣6，
∴x2+6x+3的最小值為﹣6．
請(qǐng)應(yīng)用上述思想方法，解決下列問(wèn)題：
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣ 2 ）2+ 1 ；
（2）代數(shù)式x2+x有最 小 （填“大”或“小”）值為 ?14 ；
（3）應(yīng)用：若A＝x2﹣1與B＝2x﹣3，試比較A與B的大??；
【分析】（1）利用配方法將多項(xiàng)式變形即可得出結(jié)論；
（2）利用配方法將多項(xiàng)式變形，利用非負(fù)數(shù)的意義即可得出結(jié)論；
（3）計(jì)算A﹣B的值，將結(jié)果利用配方法變形即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
故答案為：2；1；
（2）∵x2+x＝x2+x+14?14=(x+12)2?14，
又∵(x+12)2≥0，
∴(x+12)2?14≥?14．
∴代數(shù)式x2+x有最小值為?14．
故答案為：??；?14；
（3）A﹣B＝（x2﹣1）﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴A﹣B＞0，
∴A＞B．
22．(8分)（2022秋?黔江區(qū)期末）火鍋是重慶人民鐘愛(ài)的美食之一．解放碑某火鍋店為抓住“十一”這個(gè)商機(jī)，于九月第一周推出了A、B兩種火鍋套餐，5桌A套餐與10桌B套餐的總售價(jià)為1600元，其中A套餐比B套餐每桌貴20元．
（1）求A套餐的售價(jià)是多少元？
（2）第一周A套餐的銷(xiāo)售量為800桌，B套餐的銷(xiāo)售量為1300桌．為了更好的了解市場(chǎng)，火鍋店決定從第二周開(kāi)始，對(duì)A，B套餐的銷(xiāo)售價(jià)格都進(jìn)行調(diào)整，其中A套餐的銷(xiāo)售價(jià)格比第一周的價(jià)格下調(diào)a%，發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售量比第一周增加了13a%，B套餐的銷(xiāo)售價(jià)格比第一周的價(jià)格下調(diào)了12a%，發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售量比第一周增加了140桌，最終第二周A套餐的銷(xiāo)售總額比B套餐的銷(xiāo)售總額少了48000元．求a的值．
【分析】（1）設(shè)A套餐的售價(jià)是x元，則B套餐的售價(jià)是（x﹣20）元，根據(jù)5桌A套餐與10桌B套餐的總售價(jià)為1600元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)銷(xiāo)售總額＝銷(xiāo)售單價(jià)×銷(xiāo)售數(shù)量，結(jié)合第二周A套餐的銷(xiāo)售總額比B套餐的銷(xiāo)售總額少了48000元，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)A套餐的售價(jià)是x元，則B套餐的售價(jià)是（x﹣20）元，
依題意得：5x+10（x﹣20）＝1600，
解得：x＝120．
答：A套餐的售價(jià)是120元．
（2）依題意得：（120﹣20）（1?12a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+13a%）＝48000，
整理得：3.2a2﹣80a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合題意，舍去）．
答：a的值為25．
23．(8分)（2022春?新昌縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始沿射線(xiàn)CA方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)C開(kāi)始沿射線(xiàn)CB方向以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．
（1）幾秒后△PCQ的面積為3cm2？此時(shí)PQ的長(zhǎng)是多少？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）
（2）幾秒后以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形的面積為22cm2？
【分析】（1）設(shè)出運(yùn)動(dòng)所求的時(shí)間，可將PC和CQ的長(zhǎng)表示出來(lái)，代入三角形面積公式，列出等式，可將時(shí)間求出；
（2）需要對(duì)點(diǎn)P的不同位置進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)P在線(xiàn)段AC上，Q在線(xiàn)段BC上時(shí)，0＜t＜2S四邊形APQB＝S△ABC﹣S△PQC12×6×8?12×t×3t=22t2=43，得t1=233，t2=?233(舍去)，
②當(dāng)P在線(xiàn)段AC上，Q在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，2＜t＜8，S四邊形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC；
③當(dāng)P在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，Q在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，t＞8，S四邊形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC．
【解答】解：（1）設(shè)t秒后△PCQ的面積為3平方厘米，
則有PC＝t cm，CQ＝3t cm，
依題意，得：12t×3t＝3，
t2＝2t1=2，t2=?2（舍去），
由勾股定理，得：PQ=PC2+QC2=25．
答：2秒后△PCQ的面積為3平方厘米，此時(shí)PQ的長(zhǎng)是25；
（2）①當(dāng)P在線(xiàn)段AC上，Q在線(xiàn)段BC上時(shí)，0＜t＜2
S四邊形APQB＝S△ABC﹣S△PQC
12×6×8?12×t×3t=22
t2=43，
解得t1=233，t2=?233(舍去)，
②當(dāng)P在線(xiàn)段AC上，Q在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，2＜t＜8，
S四邊形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC
12×8×3t?12×6×t=22
9t＝22，
解得t=229；
③當(dāng)P在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，Q在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，t＞8，
S四邊形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC
12×t×3t?12×6×8=22
t2=923（不符合題意，舍去），（或者得t1=2693，t2=?2693，都不符合題意，舍去），
綜上：t=233或t=229．
答，經(jīng)過(guò)233秒或229秒，以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形的面積為22cm2

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