TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc21946" 【題型1 用直接開平方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc21946 \h 1
\l "_Tc31454" 【題型2 用配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc31454 \h 2
\l "_Tc3019" 【題型3 用公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc3019 \h 4
\l "_Tc31779" 【題型4 用因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc31779 \h 5
\l "_Tc5424" 【題型5 用指定方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc5424 \h 6
\l "_Tc20857" 【題型6 用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?PAGEREF _Tc20857 \h 12
\l "_Tc30017" 【題型7 用換元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc30017 \h 14
\l "_Tc29487" 【題型8 配方法的應用】 PAGEREF _Tc29487 \h 17
【知識點1 直接開平方法解一元二次方程】
根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法，叫做直接開平方法.
直接降次解一元二次方程的步驟:①將方程化為x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接開平方化為兩個一元一次方程；③解兩個一元一次方程得到原方程的解.
【題型1 用直接開平方法解一元二次方程】
【例1】（2022?建華區(qū)二模）解方程：?13（x﹣2）2+34=0（開平方法）．
【分析】先把方程變形為（x﹣2）2=94，再兩邊開方得到x﹣2＝±32，然后解兩個一次方程即可．
【解答】解：?13（x﹣2）2+34=0，
?13（x﹣2）2=?34，
（x﹣2）2=94，
x﹣2＝±32，
所以x1=72，x2=12．
【變式1-1】（2022?齊齊哈爾）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（開平方法）．
【分析】方程開方轉化為一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
開方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
【變式1-2】（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（開平方法）．
【分析】直接開方，再解一元一次方程即可．
【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，
∴2（x+1）＝±3（x﹣2），
∴x1＝8，x2=45．
【變式1-3】（2022春?黃浦區(qū)校級期中）解關于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（開平方法）．
【分析】方程整理后，利用平方根定義開方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2=41?a，
當1﹣a＞0，即a＜1時，x＝±41?a=±21?a1?a；
當1﹣a＜0，即a＞1時，無解．
【知識點2 配方法解一元二次方程】
將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程兩邊同除以二
次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④
把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法
來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．
【題型2 用配方法解一元二次方程】
【例2】（2022春?淄川區(qū)期中）（1）請用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；
（2）請用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【分析】（1）方程二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移到右邊，兩邊加上一次項系數(shù)一半系數(shù)平方，利用完全平方公式變形，開方即可求出解；
（2）方程二次項系數(shù)化為1，常數(shù)項移到右邊，兩邊加上一次項系數(shù)一半系數(shù)平方，利用完全平方公式變形，開方即可求出解．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x=?32，
配方得：x2﹣3x+94=94?32，即（x?32）2=34，
開方得：x?32=±32，
解得：x1=32+32，x2=32?32；
（2）方程整理得：x2+bax=?ca，
配方得：x2+bax+b24a2=b24a2?ca，即（x+b2a）2=b2?4ac4a2，
開方得：x+b2a=±b2?4ac2a，
解得：x1=?b+b2?4ac2a，x2=?b?b2?4ac2a．
【變式2-1】（2022秋?松江區(qū)期末）用配方法解方程：x2?25x=4．
【分析】兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得．
【解答】解：∵x2?25x=4，
∴x2﹣25x+5＝4+5，即（x?5）2＝9，
∴x?5=3或x?5=?3，
∴x1＝3+5，x2＝﹣3+5．
【變式2-2】（2022秋?伊川縣期中）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0．
【分析】根據(jù)配方法的步驟先把二次項系數(shù)化為1，再在等式左右兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，然后開方即可．
【解答】解：4x2﹣8x﹣7＝0，
4x2﹣8x＝7，
x2﹣2x=74，
配方得x2﹣2x+12=74+1，
（x﹣1）2=114，
x﹣1＝±112，
x＝1±112，
∴x1＝1+112，x2＝1?112．
【變式2-3】（2022秋?潢川縣期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法）
【分析】將常數(shù)項移到右邊后把二次項系數(shù)化為1，再兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方求解可得．
【解答】解：∵2x2﹣5x＝﹣1，
∴x2?52x=?12，
∴x2?52x+2516=?12+2516，即（x?54）2=1716，
則x?54=±174，
∴x=5±174．
【知識點3 公式法解一元二次方程】
當b2?4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通過配方，其實數(shù)根可寫為x=?b±b2?4ac2a的形式，這個
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各項系數(shù)的值直接代入這個公式，這種解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【題型3 用公式法解一元二次方程】
【例3】（2022春?通州區(qū)校級月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a．
【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式，再利用公式法進行計算即可解答．
【解答】解：2a2﹣3＝﹣4a，
整理得：2a2+4a﹣3＝0，
∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）
＝16+24
＝40，
∴a=?4±402×2=?4±2104=?2±102，
∴a1=?2+102，a2=?2?102．
【變式3-1】（2022秋?徐匯區(qū)校級月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．
【分析】整理成一般式，先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0，
∴x=?b±b2?4ac2a=1±9712，
∴x1=1+9712，x2=1?9712．
【變式3-2】（2022秋?金山區(qū)校級期中）用公式法解方程：x2﹣22x﹣3＝0．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣22x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣22，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣22）2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，
∴x=?b±b2?4ac2a=22±252，
∴x1=2+5，x2=2?5．
【變式3-3】（2022?市中區(qū)二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．
【分析】方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程2x2﹣7x+6＝0，
這里a＝2，b＝﹣7，c＝6，
∵Δ＝49﹣48＝1＞0，
∴x=7±14，
則x1＝2，x2＝1.5．
【知識點4 因式分解法概念】
當一個一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元二次方程
轉化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【題型4 用因式分解法解一元二次方程】
【例4】（2022秋?蓮湖區(qū)期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】移項后，利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，再進一步求解即可．
【解答】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
則（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
解得x1＝3，x2=23．
【變式4-1】（2022秋?徐匯區(qū)校級月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．
【分析】利用提取公因式（4﹣3x），將左邊因式分解，再進一步求解即可．
【解答】解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0，
∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0，
則4﹣3x＝0或5﹣3x＝0，
解得x1=43，x2=53．
【變式4-2】（2022秋?長白縣期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，
分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，
可得4﹣x＝0或3x+2＝0，
解得：x1＝4，x2=?23．
【變式4-3】（2022秋?簡陽市 月考）用因式分解法解方程：x2?3x+2x?6=0
【分析】利用因式分解法把方程化為x?3=0或x+2=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（x?3）（x+2）＝0，
x?3=0或x+2=0，
所以x1=3，x2=?2．
【題型5 用指定方法解一元二次方程】
【例5】（2022秋?興平市校級月考）按規(guī)定的方法解下列方程：
（1）（x+1）2﹣144＝0（直接開平方法）；
（2）x2＝8x+9（配方法）；
（3）2y2+7y+3＝0（公式法）；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）．
【分析】（1）移項，然后開平方即可求解；
（2）首先移項，然后配方，利用直接開平方法即可求解；
（3）利用公式法即可求解；
（4）移項，然后利用因式分解法即可求解．
【解答】解：（1）（x+1）2＝144，
則x+1＝12或x+1＝﹣12，
解得：x1＝﹣13，x2＝11；
（2）移項，得：x2﹣8x＝9，
配方，得x2﹣8x+16＝25，
則（x﹣4）2＝25，
即x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5，
解得：x1＝9，x2＝﹣1；
（3）a＝2，b＝7，c＝3，
△＝49﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0．
則x=?7±54，
則x1＝﹣3，x2=?12；
（4）原式即3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
因式分解得：（x﹣2）【3（x﹣2）﹣x】＝0，
即（x﹣2）（2x﹣6）＝0，
則x﹣2＝0或2x﹣6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
【變式5-1】（2022秋?寧縣校級月考）用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）
（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解）
（3）x2+5x+1＝0（用公式法解）
（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接開平方法）
【分析】（1）先提取公因式（x﹣2）因式分解，再求解即可；
（2）先利用完全平方公式配方，然后開平方求解即可；
（3）寫出a、b、c的值，然后利用求根公式法求解；
（4）直接開平方求解即可．
【解答】解：（1）因式分解得，（x﹣2）（x+1）＝0，
由此得，x﹣2＝0，x+1＝0，
所以，x1＝2，x2＝﹣1；
（2）配方得，x2﹣4x+4﹣4+3＝0，
即（x﹣2）2＝1，
所以，x﹣2＝±1，
所以，x1＝3，x2＝1；
（3）a＝1，b＝5，c＝1，
Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×1＝25﹣1＝24，
x=?5±242×1=?5±262，
x1=?5+262，x2=?5?262；
（4）開平方得，x﹣4＝±（5﹣2x），
所以，x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5，
解得x1＝3，x2＝1．
【變式5-2】（2022秋?簡陽市月考）解下列方程
（1）（2x﹣1）2＝7（直接開平方法）
（2）2x2﹣7x﹣4＝0（用配方法）
（3）2x2﹣10x＝3（公式法）
（4）（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2（因式分解法）
（5）x2+4?x2+8=26（用換元法解）
（6）（2x2+1）2﹣2x2﹣3＝0（用換元法解）
【分析】（1）用直接開平方法求解就可以了；
（2）先將常數(shù)項移到等號的右邊，再將二次項系數(shù)化為1，然后配方為完全平方公式后直接用開平方法求解就可以；
（3）先化為一般形式，然后確定a、b、c的值，最后代入求根公式求解就可以了；
（4）先移項，然后用平方差公式分解因式就可以求出結論；
（5）設x2+8=a，將原方程變形為a2﹣a＝30，再解一個關于a的一元二次方程求解；
（6）將原方程變形為：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，再設2x2+1＝a，就可以變?yōu)閍2﹣a﹣2＝0，最后可以運用因式分解法求解．
【解答】解：（1）開平方，得
2x﹣1＝±7，
∴x1=7+12，x2=?7+12；
（2）移項，得
2x2﹣7x＝4，
化二次項的系數(shù)為1，得
x2?72x＝2，
配方，得
x2?72x+4916=2+4916，
（x?74）2=8116
開平方，得
x?74=±94，
∴x1＝4，x2=?12；
（3）移項，得
2x2﹣10x﹣3＝0，
∴a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，
∴△＝100+24＝124＞0，
∴x=10±1244，
∴x1=5+312，x2=5?312；
（4）移項，得
（3x﹣4）2﹣（3﹣4x）2＝0
分解因式，得
（3x﹣4+3﹣4x）（3x﹣4﹣3+4x）＝0，
∴﹣x﹣1＝0或7x﹣7＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1；
（5）原方程變形為：
x2+8?x2+8=30，
設x2+8=a，將原方程變形為：
a2﹣a＝30，
移項，得
a2﹣a﹣30＝0，
因式分解，得
（a+5）（a﹣6）＝0，
∴a+5＝0或a﹣6＝0，
∴a1＝﹣5（舍去），a2＝6，
∴x2+8=6，
解得：x＝±27，
經(jīng)檢驗，x＝±27是原方程的根；
（6）原方程變形為：
（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，
設2x2+1＝a，則原方程變?yōu)椋?br>a2﹣a﹣2＝0，
解得：
a1＝﹣1，a2＝2，
當a＝﹣1時，
2x2+1＝﹣1，
Δ＜0，原方程無解，
當a＝2時，
2x2+1＝2，
解得：x＝±22
【變式5-3】（2022秋?恩陽區(qū)月考）解方程：
①x2+（3+2）x+6=0（因式分解法）
②5x2+2x﹣1＝0（公式法）
③y2+6y+2＝0（配方法）
④9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接開平方法）
⑤x+1x2?2x2x+1=1（換元法）
⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（適當方法）
【分析】①根據(jù)方程特點，采用因式分解法解答．
②根據(jù)方程的系數(shù)特點，應準確確定各個項系數(shù)，利用求根公式求得．
③可以先移項，然后利用配方法解答．
④利用直接開平方法解答；
⑤移項整理，利用換元法求得未知數(shù)的解即可．
⑥利用換元法解答．
【解答】解：①x2+（3+2）x+6=0，
（x+2）（x+3）＝0，
∴x+2=0或x+3=0，
∴x1=?2，x2=?3；
②5x2+2x﹣1＝0，
a＝5，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝4+20＝24，
x=?2±242×5=?2±2610=?1±65，
所以x1=?1+65，x2=?1?65；
③y2+6y+2＝0，
y2+6y＝﹣2，
y2+6y+9＝﹣2+9，即（y+3）2＝7，
∴y+3=±7，
∴y1＝﹣3+7，y2＝﹣3?7；
④9（x﹣2）2＝121（x+1）2，
3（x﹣2）＝±11（x+1），
∴3（x﹣2）＝11（x+1）或3（x﹣2）＝﹣11（x+1），
∴x1=?178，x2=?514；
⑤x+1x2?2x2x+1=1，
x+1x2?2x2x+1?1＝0，
設y=x+1x2，
則原方程為y?2y?1＝0，
y2﹣y﹣2＝0，
解得：y＝﹣1，或y＝2，
當y＝﹣1，x+1x2=?1，此方程無解；
當y＝2，x+1x2=2，解得：x1＝1，x2=?12，
經(jīng)檢驗，x1＝1，x2=?12是原分式方程的解，
所以原方程的解為x1＝1，x2=?12．
⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，
設y＝x2﹣x，
則原方程為y2﹣5y+6＝0，
解得：y＝3，或y＝2，
當y＝3，x2﹣x＝3，x1=1+132，x2=1?132；
當y＝2，x2﹣x＝2，解得：x3＝2，x4＝﹣1；
所以原方程的解為x1=1+132，x2=1?132，x3＝2，x4＝﹣1．
【題型6 用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?br>【例6】（2022春?富陽區(qū)校級期中）用適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?br>（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；
（2）x2﹣2x﹣15＝0．
【分析】（1）等式左邊可提取公因式（x+4），轉化為（x+4）（x﹣1）＝0求解；
（2）根據(jù)十字相乘法可將方程變形為（x+3）（x﹣5）＝0，由此可得同解方程x+3＝0或x﹣5＝0，據(jù)此求解．
【解答】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
將方程變形，得（x+4）（x﹣1）＝0，
即x+4＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1．
（2）x2﹣2x﹣15＝0，
將方程變形，得（x+3）（x﹣5）＝0，
則x+3＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝5．
【變式6-1】（2022春?大觀區(qū)校級期中）用適當?shù)姆椒ń夥匠?br>（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，
x=1±52×1，
所以x1=1+52，x2=1?52；
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
（x+1）（x+1﹣3）＝0，
x+1＝0或x+1﹣3＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝2．
【變式6-2】（2022春?蕭山區(qū)期中）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）x2﹣x﹣6＝0；
（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2．
【分析】（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，再進一步求解即可；
（2）先移項，再利用公式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，再進一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣6＝0，
∴（x﹣3）（x+2）＝0，
則x﹣3＝0或x+2＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2；
（2）∵4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2，
∴4（x﹣1）2﹣9（x﹣5）2＝0，
∴[2（x﹣1）+3（x﹣5）][2（x﹣1）﹣3（x﹣5）]＝0，
則2（x﹣1）+3（x﹣5）＝0或2（x﹣1）﹣3（x﹣5）＝0，
解得x1＝13，x2=175．
【變式6-3】（2022春?柯橋區(qū)期中）選用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）12x2+22x﹣5＝0．
【分析】（1）方程移項后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移項得：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
所以x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2=32；
（2）方程整理得：x2+42x＝10，
配方得：x2+42x+8＝18，即（x+22）2＝18，
開方得：x+22=±32，
解得：x1=2，x2＝﹣52．
【題型7 用換元法解一元二次方程】
【例7】（2022秋?安居區(qū)期末）為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1視為一個整體，然后設x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
當y＝1時，x2﹣1＝1，所以x=±2；
當y＝4時，x2﹣1＝4，所以x=±5．
所以原方程的根為x1=2，x2=?2，x3=5，x4=?5．
以上解方程的方法叫做換元法，利用換元法達到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉化思想．運用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【分析】（1）設x2﹣x＝a，原方程可化為a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；
（2）設x2＝y(tǒng)，原方程化為y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y(tǒng)求出x即可．
【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
設x2﹣x＝a，則原方程可化為a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a1＝a2＝2，
當a＝2時，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x4+x2﹣12＝0，
設x2＝y(tǒng)，則原方程化為y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣4，
當y＝3時，x2＝3，解得：x=±3；
當y＝﹣4時，x2＝﹣4，無實數(shù)根，
所以原方程的解是x1=3，x2=?3．
【變式7-1】（2021春?龍口市月考）閱讀下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是設x2＝y(tǒng)，則x4＝y(tǒng)2，∴原方程可化為y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，進而得到原方程的四個根x1=2，x2=?2，x3＝2，x4＝﹣2．
以上方法叫做換元法，通過換元達到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉化思想，運用上述方法解答下列問題．
（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；
（2）已知實數(shù)a滿足（a2+3）2﹣3a2＝10+33，請直接寫出?3a2的值．
【分析】（1）先設y＝x2+3x，則原方程變形為2y2﹣3y﹣2＝0，運用因式分解法解得y1＝2，y2=?12，再把y＝2和?12分別代入y＝x2+3x得到關于x的一元二次方程，然后解兩個一元二次方程，最后確定原方程的解；
（2）設y＝a2+3，則y2﹣3y﹣10＝0，運用因式分解法解得y1＝﹣2，y2＝5，再把y＝5代y＝a2+3得到a2+3=5，即可求得a2＝5?3，進而即可求得?3a2的值．
【解答】解：（1）設y＝x2+3x，則2y2﹣3y﹣2＝0，
則（y﹣2）（2y+1）＝0，
解得y1＝2，y2=?12，
當x2+3x＝2，即x2+3x﹣2＝0時，解得x=?3±172；
當x2+3x=?12，即x2+3x+12=0時，解得x=?3±72；
綜上所述，原方程的解為x1=?3+172，x2=?3?172，x3=?3+72，x4=?3?72；
（2）（a2+3）2﹣3a2＝10+33整理得：（a2+3）2﹣3（a2+3）﹣10＝0，
設y＝a2+3，則y2﹣3y﹣10＝0，
則（y+2）（y﹣5）＝0，
解得y1＝﹣2，y2＝5，
當y＝﹣2時，則a2+3=?2，無意義，舍去；
當y＝5時，則a2+3=5，得到a2＝5?3，
∴?3a2=?3（5?3）＝3﹣53．
故?3a2的值為3﹣53．
【變式7-2】（2022秋?邵東市期末）請你先認真閱讀下列材料，再參照例子解答問題：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．
解：設t＝x+y，則原方程變形為（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0
∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1
已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
【分析】根據(jù)舉例進行解答即可．
【解答】解：設t＝x2+y2＞0
∴（t﹣4）（t+2）＝7
t2﹣2t﹣15＝0，
解得：t1＝5，t2＝﹣3（舍去）
∴x2+y2＝5．
【變式7-3】（2022秋?甘井子區(qū)月考）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
解：設x﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4．
當y＝1時，即x﹣1＝1，解得x＝2；
當y＝4時，即x﹣1＝4，解得x＝5．
所以原方程的解為x1＝2，x2＝5．
上述解法稱為“整體換元法”．
（1）請運用“整體換元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0；
（2）已知x2﹣xy﹣y2＝0，求xy的值．
【分析】（1）先設y＝2x﹣5，則原方程變形為y2﹣y﹣2＝0，運用因式分解法解得y1＝2，y2＝﹣1，再把y＝2和﹣1分別代y＝2x﹣5得到關于x的一元二次方程，然后解兩個一元二次方程，最后確定原方程的解；
（2）x2﹣xy﹣y2＝0，方程兩邊同時除以y2，可得x2?xy?y2y2=0，設xy=m，方程可化為m2﹣m﹣1＝0，類似（1）的減法可得xy的值．
【解答】解：（1）設y＝2x﹣5，則原方程變形為y2﹣y﹣2＝0，
解得y1＝2，y2＝﹣1，
當y＝2時，即2x﹣5＝2，解得x＝3.5；
當y＝﹣1時，2x﹣5＝﹣1，解得x＝2．
所以原方程的解為x1＝3.5，x2＝2；
（2）x2﹣xy﹣y2＝0，
方程兩邊同時除以y2，得x2?xy?y2y2=0，
設xy=m，方程可化為m2﹣m﹣1＝0，
解得m1=1+52，m2=1?52，
∴xy的值為1+52或1?52．
【題型8 配方法的應用】
【例8】（2022秋?饒平縣期末）已知a，b，c滿足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b﹣c的值為（ ）
A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7
【分析】題目中的式子相加，然后利用配方法變形為完全平方的形式，再利用非負數(shù)的性質即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，
∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），
∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，
∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，
解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，
∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．
故選：A．
【變式8-1】（2022?武漢模擬）若實數(shù)a，b，x滿足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，則多項式a2+ab﹣b2的值可能為（ ）
A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8
【分析】將多項式a2+ab﹣b2進行變形，利用配方法可得（b+3）2﹣5，再根據(jù)偶次方的非負數(shù)性質解答即可．
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∴a2+ab﹣b2
＝（b+2）2+b（a﹣b）
＝b2+4b+4+2b
＝b2+6b+4
＝（b+3）2﹣5，
∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．
故選：A．
【變式8-2】（2022春?儀隴縣校級月考）已知a+b+c+3＝2a+4b?1+2c?2，則a+b+c的值是 ．
【分析】先將條件配方成(a?1)2+(b?1?2)2+(c?2?1)2=0，根據(jù)完全平方式的非負性求出a、b和c的值即可．
【解答】解：∵a+b+c+3＝2a+4b?1+2c?2，
∴(a?2a+1)+b?1?4b?1+4+c?2?2c?2+1=0，
即(a?1)2+(b?1?2)2+(c?2?1)2=0，
∴a?1＝0，b?1?2=0，c?2?1=0，
解得a＝1，b＝5，c＝3．
∴a+b+c＝1+5+3＝9．
故答案為：9．
【變式8-3】（2022春?臨湘市期中）閱讀材料
例：求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根據(jù)上面的方法解決下列問題：
（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．
（2）多項式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．
【分析】（1）將多項式加4再減4，利用配方法后可得結論；
（2）將多項式重新分組，改寫成（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得結論．
【解答】解：（1）∵m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣9，
∴當m＝2時，m2﹣4m﹣5有最小值，最小值是﹣9．
故答案為：﹣9；
（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18
＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴當a＝2，b＝﹣3時，多項式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，最小值是5．
故答案為：5．

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