TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10965" 【題型1 線段中的動(dòng)點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc10965 \h 1
\l "_Tc10173" 【題型2 利用線段的條數(shù)解決實(shí)際問題】 PAGEREF _Tc10173 \h 8
\l "_Tc15899" 【題型3 直線、射線、線段的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc15899 \h 11
\l "_Tc495" 【題型4 線段的和差的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc495 \h 15
\l "_Tc22296" 【題型5 三角板中角度探究】 PAGEREF _Tc22296 \h 18
\l "_Tc5472" 【題型6 探究角度之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc5472 \h 23
\l "_Tc558" 【題型7 角度中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc558 \h 31
\l "_Tc25090" 【題型8 動(dòng)角旋轉(zhuǎn)問題】 PAGEREF _Tc25090 \h 35
【題型1 線段中的動(dòng)點(diǎn)問題】
【例1】（2023下·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知OA+OB=20cm，點(diǎn)C、D分別為線段OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)以1cm/s的速度沿OA方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)以3cm/s的速度沿BO方向運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，求AC+OD的值；
(2)如圖1，若在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持OD=3AC，求OA的長(zhǎng)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，延長(zhǎng)BO到點(diǎn)M，使OM=OA，點(diǎn)P是直線OB上一點(diǎn)，且MP?BP=OP，求OPMB的值．
【答案】(1)AC+OD=12
(2)OA=5cm
(3)OPMB=1或12
【分析】（1）先求出OC=1×2=2cm，BD=3×2=6cm，根據(jù)OA=20?OB，求出AC=OA?OC=20?OB?OC=20?OB?2=18?OB，OD=OB?BD=OB?6，最后求出結(jié)果即可；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則OC=t，BD=3t，求出OD=OB?3t，AC=OA?t，根據(jù)OD=3AC，得出OB?3t=3OA?t，求出OB=3OA，再根據(jù)OA+OB=20cm求出結(jié)果即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，根據(jù)OA=5cm，得出MO=5cm，BO=15cm，求出BM=20cm，根據(jù)求出OP=MP?BP=MO+OP?BP=5+OP?BP，根據(jù)OP=OB?BP=15?BP，得出5+OP?BP=15?BP，求出OP=10cm，最后求出比值即可；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，可得OP=MB，進(jìn)而可得結(jié)果．
【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，
OC=1×2=2cm，
BD=3×2=6cm，
∵OA+OB=20cm，
∴OA=20?OB，
∴AC=OA?OC=20?OB?OC=20?OB?2=18?OB，
∵OD=OB?BD=OB?6，
∴AC+OD=18?OB+OB?6=12cm；

（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則OC=t，BD=3t，
∴OD=OB?3t，AC=OA?t，
∵OD=3AC，
∴OB?3t=3OA?t，
∴OB=3OA
∵OA+OB=20cm，
∴OA+3OA=20cm，
∴OA=5cm．
（3）解：∵OA=5cm，
∴MO=5cm，BO=15cm，BM=20cm，
∵M(jìn)P?BP=OP，
∴點(diǎn)P在點(diǎn)O右邊，
當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，
∴OP=MP?BP=MO+OP?BP=5+OP?BP，
∵OP=OB?BP=15?BP，
∴5+OP?BP=15?BP，
∴OP=10cm，
∴OPMB=1020=12．

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，
∵M(jìn)P?BP=OP，MP?BP=MB，
∴OP=MB，
∴OPMB=1；
綜上，OPMB=1或12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果．
【變式1-1】（2023上·山西太原·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm．

(1)線段AB=______cm
(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A點(diǎn)，D點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AC以3cm/秒的速度，向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后立即按原速向A點(diǎn)返回；點(diǎn)Q沿線段DA以1cm/秒的速度，向左運(yùn)動(dòng)；P點(diǎn)再次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）
①求P，Q兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
②求P，Q兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離．
【答案】(1)20cm
(2)8、20cm
【分析】（1）根據(jù)BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm算出BC,AD，再根據(jù)AB=AD?BC?CD即可解答；
（2）①根據(jù)P，Q兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，P，Q兩點(diǎn)所走的路程之和是DA的長(zhǎng)列方程即可求解；
②根據(jù)P，Q兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，P點(diǎn)所走的路程與AC的差和Q所走的路程與CD的差相等列方程即可求解；
【詳解】（1）∵CD=4cm,BC=2CD,AD=8CD
∴BC=2×4=8cm,AD=8×4=32cm
∴AB=AD?BC?CD=32?8?4=20cm
故線段AB的長(zhǎng)為20cm．
（2）①P，Q兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)根據(jù)題意可得：3t+t=32
解得： t=8 秒
故P，Q兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值是8秒；
②由（1）得 AC=AB+BC=28cm
當(dāng)P，Q兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)： 3t?28=t?4
解得： t=12 秒
∴ PC=3×12?AC=36?28=8 cm
∴ AP=28?8=20 cm
故P，Q兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離是20cm
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023上·浙江衢州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，A，B在數(shù)軸上按順序從左到右依次排列，點(diǎn)B表示的數(shù)為7，AB=12.
(1)直接寫出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù).
(2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒32個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng).
①經(jīng)過多少秒，點(diǎn)P是線段OQ的中點(diǎn)？
②在P、Q兩點(diǎn)相遇之前，點(diǎn)M為PO的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OQ上，且QN=23OQ.
問：經(jīng)過多少秒，在P、M、N三個(gè)點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)為以另外兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn)(把一條線段分成1:2的兩條線段的點(diǎn)叫做這條線段的三等分點(diǎn).)？
【答案】(1)-5;(2)①349秒;②7433秒或10339秒或349秒或134或 112.
【分析】（1）根據(jù)AB=12，點(diǎn)B表示的數(shù)是7，即可確定OA的長(zhǎng)度，得到點(diǎn)A表示的數(shù)；（2）①根據(jù)題意得到OP=PQ，列式計(jì)算即可；②先求得MN、MP的長(zhǎng)度，再分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，或當(dāng)點(diǎn)N是線段MP的三等分點(diǎn)時(shí)，分別求出t的值.
【詳解】(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是-5；
(2) ①由題意得：OP=3t-5，OQ=7+32t，
∵點(diǎn)P是線段OQ的中點(diǎn)，
∴OP=12OQ,
∴3t?5=12(7+32t),
t=349,
經(jīng)過349秒，點(diǎn)P是線段OQ的中點(diǎn)；
②由①知OP=3t?5,OQ=7+32t,
∵點(diǎn)M為PO的中點(diǎn)，
∴OM=MP= 12OP=32t?52,
∵QN=23OQ,
∴QN=23(7+32t)=32t+143,
∴MN=OQ-OM-QN=196?t,
分兩種情況：
i：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，得MP=13MN 或MP=23MN,
∴32t?52=13(296?t)或32t?52=23(296?t)，
得t=7433或t=10339
當(dāng)P在O左側(cè)時(shí)，MP=13PN
2×?52+32t??5+3t=73+12t??52+32t
得t=112
ii：如圖2，當(dāng)點(diǎn)N是線段MP的三等分點(diǎn)時(shí)，得MN=13MP或MN=23MP,
∴296?t=13(32t?52)或296?t=23(32t?52)，
得t=349或t=134，
綜上，經(jīng)過7433秒或10339秒或349秒或134h或 112秒時(shí)，在P、M、N三個(gè)點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)為以另外兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn).
【點(diǎn)睛】此題是一道有理數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題,根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,確定線段間的數(shù)量關(guān)系,從而求得t的值,注意②中應(yīng)分情況求值.
【變式1-3】（2023上·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，圖中的三條線段AB，AC和BC．若其中一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”．
(1)填空：線段的中點(diǎn)________這條線段的巧點(diǎn)；（填“是”或“不是”或“不確定是”）
(2)【問題解決】如圖②，點(diǎn)A和B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是?20和40，點(diǎn)C是線段AB的巧點(diǎn)，求點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)．
(3)【應(yīng)用拓展】在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，A，P，Q三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)？并求出此時(shí)巧點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)．（直接寫出答案）．
【答案】(1)是
(2)10或0或20
(3)t=12或607或454，“巧點(diǎn)”P表示的數(shù)為：?5或?8或?207；“巧點(diǎn)”Q表示的數(shù)為：?8或?807或?5
【分析】（1）根據(jù)新定義，結(jié)合中點(diǎn)把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關(guān)系，進(jìn)行判斷便可；
（2）設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，再根據(jù)新定義列出合適的方程便可；
（3）先用t的代數(shù)式表示出線段AP，AQ，PQ，再根據(jù)新定義列出方程，得出合適的解便可．
【詳解】（1）解：因原線段是中點(diǎn)分成的短線段的2倍，所以線段的中點(diǎn)是這條線段的巧點(diǎn)，
故答案為：是；
（2）解：設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，則AC=x+20，BC=40?x，AB=40+20=60，
根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義可知：
①當(dāng)AB=2AC時(shí)，有60=2x+20，
解得，x=10；
②當(dāng)BC=2AC時(shí)，有40?x=2x+20，
解得，x=0；
③當(dāng)AC=2BC時(shí)，有x+20=240?x，
解得，x=20．
綜上，點(diǎn)C表示的數(shù)為10或0或20；
（3）解：由題意得，AP=2t，AQ=60?4t，PQ=60?6t(0?t?10)6t?60(10

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