中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題13.9 全等三角形的九大經(jīng)典模型（舉一反三）（華東師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc21418" 【題型1 平移模型】 PAGEREF _Tc21418 \h 1
\l "_Tc13938" 【題型2 軸對稱模型】 PAGEREF _Tc13938 \h 6
\l "_Tc32049" 【題型3 旋轉(zhuǎn)模型】 PAGEREF _Tc32049 \h 11
\l "_Tc11934" 【題型4 一線三等角模型】 PAGEREF _Tc11934 \h 19
\l "_Tc20622" 【題型5 倍長中線模型】 PAGEREF _Tc20622 \h 26
\l "_Tc12933" 【題型6 截長補(bǔ)短模型】 PAGEREF _Tc12933 \h 34
\l "_Tc13816" 【題型7 手拉手模型】 PAGEREF _Tc13816 \h 43
\l "_Tc28043" 【題型8 角平分線模型】 PAGEREF _Tc28043 \h 51
\l "_Tc1855" 【題型9 半角全等模型】 PAGEREF _Tc1855 \h 57
【知識點(diǎn)1 平移模型】
【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.
【常見模型】
【題型1 平移模型】
【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F在BC的延長線上，連接AD，AC、DE交于點(diǎn)O．下列結(jié)論一定正確的是（）
A．∠B=∠FB．AC⊥DEC．BC=DFD．AC、DE互相平分
【答案】D
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AC⊥DE；只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE，則可對A、B、C選項(xiàng)的進(jìn)行判斷；AC交DE于O點(diǎn)，如圖，證明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，則可對D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，
∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，
只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AC⊥DE；
只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE，所以A、B、C選項(xiàng)的結(jié)論不一定正確；
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，
而AD=CE，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，OA=OC
即AC、 DE互相平分，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等．
【變式1-1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，AB =CD，BC = DE．
(1)求證：△ABC≌△CDE；
(2)將△ABC沿射線AC方向平移得到△A′B′C′ ，邊B′C′與邊CD的交點(diǎn)為F ，連接EF，若EF將CDE分為面積相等的兩部分，且AB = 4，則 CF =
【答案】(1)見解析
(2)2
【分析】（1）首先由點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)得出AC=CE，再根據(jù)SSS證明△ABC≌△CDE即可；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得A′B′=CD=AB=4,再由EF將CDE分為面積相等的兩部分得CF=DF=12CD=2
【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，
∴AC=CE
在△ABC和△CDE中，
AB=CDBC=DEAC=CE
∴△ABC≌△CDE
（2）解：將△ABC沿射線AC方向平移得到ΔA′B′C′，且AB = 4，
∴A′B′=CD=AB=4,
∵邊B′C′與邊CD的交點(diǎn)為F ，連接EF，EF將CDE分為面積相等的兩部分，如圖
∴CF=DF=12CD=2,
故答案為：2
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及平移的性質(zhì)，根據(jù)SSS證明△ABC≌△CDE是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·重慶·八年級?？计谥校┤鐖D，將△ABC沿射線BC方向平移得到△DCE，連接BD交AC于點(diǎn)F．
(1)求證：△AFB≌ △CFD；
(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)1AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；
(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN．在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過程中，猜想線段BF,CF,CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】(1)60°
(2)BF+CF=2CN，理由見解析
【分析】（1）如圖1中，在射線CD上取一點(diǎn)K，使得CK=BE，證明ΔBCE?ΔCBK(SAS)，推出BK=CE,∠BEC=∠BKD，再證明∠ADF+∠AEF=180°，可得結(jié)論；
（2）結(jié)論：BF+CF=2CN．首先證明∠BFC=120°．如圖2中，延長CN到Q，使得NQ=CN，連接FQ，證明ΔCNM?ΔQNF(SAS)，推出FQ=CM=BC，延長CF到P，使得PF=BF，則ΔPBF是等邊三角形，再證明ΔPFQ?ΔPBC(SAS)，推出PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°，推出ΔPCQ是等邊三角形，可得結(jié)論
【詳解】（1）解：如圖1中，在射線CD上取一點(diǎn)K，使得CK=BE，
在ΔBCE和ΔCBK中，
BC=CB∠BCE=∠CBEBE=CK，
∴ΔBCE?ΔCBK(SAS)，
∴BK=CE,∠BEC=∠BKD，
∵CE=BD，
∴BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF=180°，
∴∠ADF+∠AEF=180°，
∴∠A+∠EFD=180°，
∵∠A=60°，
∴∠EFD=120°，
∴∠CFE=180°?120°=60°．
（2）結(jié)論：BF+CF=2CN．
理由：如圖2中，∵AB=AC,∠A=60°，
∴ΔABC是等邊三角形，
∴AB=CB,∠A=∠CBD=60°，
∵AE=BD，
∴ΔABE?ΔBCD(SAS)，
∴∠BCF=∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF=60°，
∴∠BFC=120°，
如圖2中，延長CN到Q，使得NQ=CN，連接FQ，
∵NM=NF,∠CNM=∠FNQ,CN=NQ，
∴ΔCNM?ΔQNF(SAS)，
∴FQ=CM=AC=BC，∠M=∠NFQ，
∴FQ ∥CM，
∴∠PFQ=∠FCM．
延長CF到P，使得PF＝BF，
∵∠BFP=180°?120°=60°，
∴ΔPBF是等邊三角形，
∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°，
∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC，
∵PB=PF，
∴ΔPFQ?ΔPBC(SAS)，
∴PQ=PC,∠CPB=∠QPF=60°，
∴ΔPCQ是等邊三角形，
∴BF+CF=PF+CF=PC=PQ=QC=2CN．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
【知識點(diǎn)4 一線三等角模型】
【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.

【題型4 一線三等角模型】
【例4】（2023春·山東菏澤·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．
【答案】（1）見詳解；（2）成立，理由見詳解；（3）見詳解
【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷ΔADB≌ΔCEA；
（2）利用∠BDA=∠BAC=α，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，得出∠CAE=∠ABD，然后問題可求證；
（3）由題意易得BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°，由（1）（2）易證ΔADB≌ΔCEA，則有AE=BD，然后可得∠FBD=∠FAE，進(jìn)而可證ΔDBF≌ΔEAF，最后問題可得證．
【詳解】（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在ΔADB和ΔCEA中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，
∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)；
解：（2）成立，理由如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在ΔADB和ΔCEA中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，
∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)；
（3）證明：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，
∴BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?120°，
∴∠CAE=∠ABD，
∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)，
∴AE=BD，
∵∠FBD=∠FBA+∠ABD,∠FAE=∠FAC+∠CAE，
∴∠FBD=∠FAE，
∴ΔDBF≌ΔEAF（SAS），
∴FD=FE,∠BFD=∠AFE，
∴∠BFA=∠BFD+∠DFA=∠AFE+∠DFA=∠DFE=60°，
∴△DFE是等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）
A．3B．2C．94D．92
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，
∴AD＝ED，
在△ABD與△DCE中，
∠BAD=∠CDE∠B=∠CAD=ED，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
【變式4-2】（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：
[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．求證：BC=AE．
[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為________________．
[深入探究]如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．若BC=21，AF=12，則△ADG的面積為_____________．
【答案】[模型呈現(xiàn)]見解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63
【分析】[模型呈現(xiàn)]證明△ABC≌△DAE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BC=AE；
[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BG=3，AG=EP=6,CG=DH=4，CG=BG=3，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案；
[深入探究]過點(diǎn)D作DP⊥AG于P，過點(diǎn)E作EQ⊥AG交AG的延長線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，證明△DPG≌△EQG，得到PG=GQ.，進(jìn)而求出AG，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°，
∵BC⊥AC,DE⊥AC，
∴∠ACB=∠DEA=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠DAE，
在△ABC和△DAE中，
∠ABC=∠DAE∠ACB=∠DAEBA=AD，
∴△ABC≌△DAE(AAS)，
∴BC=AE；
[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，△AEP≌△BAG,△CBG≌△DCH，
∴AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3，
則S實(shí)線圍成的圖形=12(4+6)×(3+6+4+3)?12×3×6?12×3×6?12×3×4?12×3×4=50，
故答案為：50；
[深入探究]過點(diǎn)D作DP⊥AG于P，過點(diǎn)E作EQ⊥AG交AG的延長線于Q，
由[模型呈現(xiàn)]可知，△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA，
∴DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，
在△DPG和△EQG中，
∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQDP=EQ，
∴△DPG≌△EQG(AAS)，
∴PG=GQ，
∵BC=21，
∴AQ+AP=21，
∴AP+AP+PG+PG=21，
∴AG=AP+PG=10.5，
∴S△ADQ=12×10.5×12=63，
故答案為：63．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為________．
（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM、AN上，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求證：ΔABE≌ΔCAF．
（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面積為15，則ΔACF與ΔBDE的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）
【答案】（1）0.8cm；（2）見解析（3）5
【分析】（1）利用AAS定理證明△CEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）由條件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根據(jù)AAS可證明△ABE≌△CAF；
（3）先證明△ABE≌△CAF，得到ΔACF與ΔBDE的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)CD=2BD故可求解．
【詳解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，{∠E=∠ADC∠EBC=∠DCABC=AC
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．
∵DC＝CE?DE，DE＝1.7cm，
∴DC＝2.5?1.7＝0.8cm，
∴BE＝0.8cm
故答案為：0.8cm；
（2）證明：∵∠1＝∠2，
∴∠BEA＝∠AFC．
∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，
∴∠4＝∠ABE．
∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
（3）∵∠BED=∠CFD=∠BAC
∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF
又AB=AC
∴△ABE≌△CAF，
∴S△ABE=S△CAF
∴ΔACF與ΔBDE的面積之和等于ΔABE與ΔBDE的面積之和，即為△ABD的面積，
∵CD=2BD，△ABD與△ACD的高相同
則S△ABD=13S△ABC=5
故ΔACF與ΔBDE的面積之和為5
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【知識點(diǎn)5 倍長中線模型模型】
【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．
【常見模型】

【題型5 倍長中線模型】
【例5】（2023春·甘肅慶陽·八年級?？计谀┬∶饔龅竭@樣一個(gè)問題，如圖1，△ABC中，AB=7，AC=5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個(gè)問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE=AD，連接BE，構(gòu)造△BED?△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請回答：
(1)小明證明△BED?△CAD用到的判定定理是： (用字母表示)；
(2)AD的取值范圍是；
(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AD平分∠BAC，求證：AB=AC．
【答案】(1)SAS
(2)1

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