TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27873" 【題型1 對頂角、鄰補角的識別】 PAGEREF _Tc27873 \h 1
\l "_Tc20418" 【題型2 由對頂角、鄰補角的性質(zhì)求角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc20418 \h 4
\l "_Tc1714" 【題型3 平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系】 PAGEREF _Tc1714 \h 8
\l "_Tc17621" 【題型4 作垂線】 PAGEREF _Tc17621 \h 11
\l "_Tc7303" 【題型5 由垂線求角度】 PAGEREF _Tc7303 \h 14
\l "_Tc28243" 【題型6 過一點有且只有一條直線垂直于已知直線】 PAGEREF _Tc28243 \h 18
\l "_Tc184" 【題型7 點到直線的距離】 PAGEREF _Tc184 \h 20
\l "_Tc15068" 【題型8 垂線段最短】 PAGEREF _Tc15068 \h 24
\l "_Tc24174" 【題型9 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別】 PAGEREF _Tc24174 \h 27
\l "_Tc19438" 【題型10 確定同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的對數(shù)】 PAGEREF _Tc19438 \h 30
【知識點1 對頂角、鄰補角的概念】
一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角.
有公共頂點和一條公共邊，另一邊互為反向延長線，并且互補的兩個角稱為鄰補角.
【題型1 對頂角、鄰補角的識別】
【例1】（2023下·遼寧盤錦·七年級校考期末）在下圖中，∠1和∠2是對頂角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)對頂角的定義進行判斷：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角，依次判定即可得出答案．
【詳解】解：A、∠1與∠2沒有公共頂點，不是對頂角，故A選項不合題意；
B、∠1與∠2的兩邊互為反向延長線，是對頂角，故B選項符合題意；
C、∠1與∠2沒有公共頂點，不是對頂角，故C選項不合題意；
D、∠1與∠2兩條邊不是互為反向延長線，不是對頂角，故D選項不合題意．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了對頂角的定義，對頂角是相對于兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它是在兩直線相交的前提下形成的．
【變式1-1】（2023下·湖北荊門·七年級統(tǒng)考期末）圖中∠1與∠2互為鄰補角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用鄰補角定義進行解答即可．
【詳解】解：A、∠1與∠2對頂角，故此選項不合題意；
B、∠1與∠2是鄰補角，故此選項符合題意；
C、∠1與∠2不是鄰補角，故此選項不合題意；
D、∠1與∠2是內(nèi)錯角，故此選項不合題意；
故選：B．
【點睛】此題主要考查了鄰補角，關(guān)鍵是掌握只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角．
【變式1-2】（2023下·上?！て吣昙壣虾Ｊ形膩碇袑W(xué)?？计谥校?條不重合的直線相交于一點，構(gòu)成的對頂角共有 對．
【答案】72
【分析】本題考查對頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角．
【詳解】解：①兩條直線相交共2對對頂角；
②三條直線相交，在2對的基礎(chǔ)上再加4對，共6對；
③四條直線相交，在6對的基礎(chǔ)上再加6對，共12對；
④五條直線相交，在12對的基礎(chǔ)上再加8對，共20對；
即對頂角的對數(shù)為，2，6，12，20……，
以此類推，當(dāng)n條直線相交時，對頂角的總對數(shù)為：n2?n ；
根據(jù)n條直線相交于一點，構(gòu)成n2?n對對頂角的規(guī)律可知，
當(dāng)n=9時，n2?n=（92-9）=72（對），
故答案為：72．
【點睛】本題考查了對頂角的定義及n條直線相交于一點，構(gòu)成對頂角的規(guī)律，注意對頂角是兩條直線相交而成的四個角中，沒有公共邊的兩個角．
【變式1-3】（2023下·安徽淮北·七年級校聯(lián)考期末）觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角）、鄰補角．
(1)如圖1，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；
(2)如圖2，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；
(3)如圖3，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；
(4)根據(jù)（1）-（3）中直線的條數(shù)與對頂角、鄰補角的對數(shù)之間的關(guān)系，探究：若有n條直線相交于一點，則可形成多少對對頂角？多少對鄰補角？
【答案】(1)2，4
(2)6，12
(3)12，24
(4)若有n條直線相交于一點，則可形成nn?1對對頂角，2nn?1對鄰補角
【分析】（1）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義，結(jié)合圖形，即可得到答案；
（2）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義，結(jié)合圖形，即可得到答案；
（3）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義，結(jié)合圖形，即可得到答案；
（4）由（1）-（3）中直線與對頂角、鄰補角的對數(shù)找到規(guī)律，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖1，2條直線相交于一點，共有2對對頂角，4對鄰補角；
故答案為：2，4；
（2）解：如圖2，3條直線相交于一點，共有6對對頂角，12對鄰補角；
故答案為：6，12；
（3）解：如圖3，4條直線相交于一點，共有12對對頂角，24對鄰補角；
故答案為：12，24；
（4）解：2條直線相交于一點，共有2×1=2對對頂角，2×2×1=4對鄰補角；
3條直線相交于一點，共有3×2=6對對頂角，2×3×2=12對鄰補角；
4條直線相交于一點，共有4×3=12對對頂角，2×4×3=24對鄰補角；
∴若有n條直線相交于一點，則可形成nn?1對對頂角，2nn?1對鄰補角．
【點睛】本題考查了對頂角、鄰補角的定義，圖形類規(guī)律的探索，熟練掌握知識點，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【知識點2 對頂角、鄰補角的性質(zhì)】
對頂角相等.
鄰補角互補.
【題型2 由對頂角、鄰補角的性質(zhì)求角的度數(shù)】
【例2】（2023下·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，射線OE把∠AOC分成兩部分．

(1)圖中∠AOC=∠______，∠AOE+∠______=180°；
(2)若∠AOC=80°，∠AOE=3∠COE，求∠DOE的度數(shù)．
【答案】(1)∠DOB，∠BOE
(2)160°
【分析】（1）觀察圖象，根據(jù)對頂角和補角的定義找角；
（2）設(shè)∠COE=x°，則∠AOE=3x°，可得x+3x=80，求得∠COE=20°，再結(jié)合∠DOE=180°?∠COE即可求解．
【詳解】（1）解：∵直線AB，CD相交于點O，
∴∠AOC和∠BOD是對頂角．
∴∠AOC=∠BOD，
∵∠AOE的補角是∠BOE．
∴∠AOE+∠BOE=180°，
故答案為：∠DOB，∠BOE．
（2）∵∠AOE=3∠COE，
∴設(shè)∠COE=x°，則∠AOE=3x°，
∵∠AOC=80°，
∴x+3x=80，
∴x=20，即∠COE=20°，
∴∠DOE=180°?∠COE=180°?20°=160°．
【點睛】本題主要考查角的相關(guān)定義以及角度的和差倍分，要結(jié)合圖象找隱藏的角度關(guān)系．
【變式2-1】（2023下·湖南長沙·七年級校考期末）已知∠1與∠2是對頂角，∠1與∠3是鄰補角，則∠2+∠3的度數(shù)為（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【答案】B
【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)：對頂角相等，鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，進行求解即可.
【詳解】解：∵∠1與∠2是對頂角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1與∠3是鄰補角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°．
故選B．
【點睛】本題主要考查了對頂角與鄰補角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握對頂角與鄰補角的性質(zhì).
【變式2-2】（2023下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級統(tǒng)考期末）已知直線AB與CD相交于點O．

(1)如圖1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，則∠AOD=_________．
(2)如圖2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小
【答案】(1)135°
(2)54°
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC=45°，然后根據(jù)鄰補角的定義求解即可；
（2）設(shè)∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根據(jù)角平分線的定義表示出∠COM=∠MON=12∠CON，再根據(jù)∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【詳解】（1）解：∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=12∠AOM=12×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°?∠AOC=180°?45°=135°，
即∠AOD的度數(shù)為135°；
（2）解：∵∠BOC=4∠NOB
∴設(shè)∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB?∠BON=4x°?x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=12∠CON=32x°，
∵∠BOM=32x+x=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=32x°=32×36°=54°，
即∠MON的度數(shù)為54°．
【點睛】本題考查了對頂角、鄰補角，角平分線的定義，此類題目熟記概念并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023下·云南曲靖·七年級統(tǒng)考期末）直線AB,CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．
(1)①當(dāng)OE、OF在如圖1所示位置時，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度數(shù)；
②當(dāng)OE、OF在如圖2所示位置時，若OF平分∠BOE，證明：OC平分∠AOE；
(2)若∠AOF=2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)①∠EOF的度數(shù)為60°；②見解析；
(2)3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
【分析】（1）①利用余角的定義以及角之間的關(guān)系可求出∠EOF=60°；②利用OF平分∠BOE，可得：∠EOF=∠FOB=12∠EOB，再利用垂直得到：∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，即可證明∠COE=∠AOC，OC平分∠AOE．
（2）需要分類討論，當(dāng)點E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)和點E，F(xiàn)在直線AB的異側(cè)兩種情況，再分別表示出∠BOE與∠AOC，再消去α即可．
【詳解】（1）解：①∵OF⊥CD于點O，
∴∠COF=90°，
∵∠BOD=20°,∠BOE=130°，
∴∠COE=180°?∠BOE?∠BOD=180°?130°?20°=30°，
∴∠EOF=∠COF?∠COE=90°?∠COE=90°?30°=60°；
∴∠EOF的度數(shù)為60°；
②∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF=∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，
∴∠COE=∠AOC，
∴OC平分∠AOE．
（2）解：設(shè)∠COE=α，則∠AOF=2α，
當(dāng)點E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)時，如圖：
∠EOF=90°?α，
∴∠AOC=∠AOF?∠COF=2α?90°，①
∠BOE=180°?∠COE?∠AOC=180°?α?90°?α=270°?3α，②
令①×3+②×2可得：3∠AOC+2∠BOE=270°，
當(dāng)點E，F(xiàn)在直線AB的異側(cè)時，如圖：
∠EOF=90°+α，
∴∠AOC=∠AOF?∠COF=2α?90°，①
∠BOE=180°?∠AOE?∠BOD=180°?α?∠AOC?∠AOC=180°?α，②
令①+②×2可得：∠AOC+2∠BOE=270°，
綜上所述：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
【點睛】本題考查幾何圖形角度的計算，與余角有關(guān)的計算，對頂角，角平分線的定義，（2）稍有難度，關(guān)鍵是對E點的位置進行討論，考查學(xué)生的計算能力．
【題型3 平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系】
【例3】（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）l1、l2、l3為同一平面內(nèi)的三條直線，若l1與l2不平行，l2與l3不平行，那么下列判斷正確的是（ ）
A．l1與l3一定不平行B．l1與l3一定平行
C．l1與l3一定互相垂直D．l1與l3可能相交或平行
【答案】D
【分析】根據(jù)關(guān)鍵語句“若l1與l2不平行, l2與l3不平行,”畫出圖形，圖形有兩種情況，根據(jù)圖形可得答案．
【詳解】根據(jù)題意可得圖形：
根據(jù)圖形可知：若l1與l2不平行,l2與l3不平行,則l1與l3可能相交或平行，
故選：D.
【點睛】本題主要考查了直線的位置關(guān)系，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交.
【變式3-1】（2023上·黑龍江佳木斯·七年級?？奸_學(xué)考試）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（ ）
A．相交或垂直B．垂直或平行
C．平行或相交D．相交或垂直或平行
【答案】C
【分析】根據(jù)兩條直線有一個交點的直線是相交線，沒有交點的直線是平行線，可得答案．
【詳解】在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個交點，兩條直線相交；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點，兩條直線平行．
故選：C
【點睛】本題主要考查了同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系，注意垂直是相交的一種特殊情況，不能單獨作為一類．
【變式3-2】（2023上·七年級單元測試）在下列4個判斷中：
①在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條線段一定平行；②在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條直線一定平行；③在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條線段一定相交；④在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條直線一定相交．正確判斷的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的三種位置關(guān)系：平行或相交或重合進行判斷．
【詳解】解：在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條直線一定平行，故①錯誤，②正確；
在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條直線一定相交，故③錯誤，④正確．
故正確判斷的個數(shù)是2．
故選：C．
【點睛】本題考查了平面內(nèi)兩條直線的三種位置關(guān)系，平行、相交或重合，熟練掌握這三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023下·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線m外一點O的四條直線中，與直線m相交的直線最少有（ ）

A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】C
【分析】根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行進行求解即可．
【詳解】解：根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，得出過點O的4條直線中至多只有一條直線與直線m平行
即與直線m相交的直線至少有3條．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【知識點3 垂線】
①兩條直線相交所成的四個角內(nèi)有一個角是90°稱這兩條直線 互相垂直.
②垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的 垂線.
③它們的交點叫做 垂足.
④垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短.
⑤點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.
【題型4 作垂線】
【例4】（2023下·北京密云·七年級統(tǒng)考期末）下列利用三角板過點P畫直線AB的垂線CD，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)垂線的定義判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)垂線的定義可知選項B中，直線CD經(jīng)過點P，CD⊥AB，符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查作圖-簡單作圖，垂線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解，垂線的定義．
【變式4-1】（2023上·七年級課時練習(xí)）在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在練習(xí)過點B作線段AC所在直線的垂線段時，有一部分同學(xué)畫出下列四種圖形，正確的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】滿足兩個條件：①經(jīng)過點B．②垂直AC；由此即可判斷.
【詳解】解：根據(jù)垂線段的定義可知，圖①線段BE，是點B作線段AC所在直線的垂線段，
故選A．
【點睛】本題考查作圖-復(fù)制作圖，垂線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
【變式4-2】（2022上·福建泉州·七年級泉州七中校考期末）在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點都叫做格點，已知點A、B、C都在格點上，按下列要求畫圖：
（1）連結(jié)AC，畫射線BC，則三角形ABC的面積是
（2）過點C畫直線CD，使CD∥AB；過點C畫AB的垂線CE，垂足為F；
（3）線段 的長度是點C到AB的距離；
（4）直線CD、CE的位置關(guān)系為________
【答案】（1）作圖見解析，3；（2）作圖見解析；（3）CF；（4）垂直.
【分析】（1）按要求畫圖，求出三角形面積即可；
（2）直接利用網(wǎng)格作圖即可；
（3）根據(jù)點到直線的距離的定義即可判斷；
（4）直接利用網(wǎng)格得出直線CD、CE的位置關(guān)系.
【詳解】（1）如圖：
三角形ABC的面積=12×2×3=3，
故答案為：3；
（2）如圖：
（3）由（2）可知線段CF的長度是點C到AB的距離，
故答案為：CF；
（4）兩直線CD、CE的位置關(guān)系為：垂直，
故答案為：垂直.
【點睛】本題考查復(fù)雜作圖以及三角形的面積，正確借助網(wǎng)格作圖是解題關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023下·河南許昌·七年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格線的交點叫格點，格點P是∠AOB的邊OB上的一點（請利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點畫圖）．

(1)過點P畫OB的垂線，交OA于點E；過點P畫OA的垂線，垂足為F；
(2)線段PF的長度是點P到______的距離，線段______的長度是點E到直線OB的距離，所以線段PE、PF、OE這三條線段大小關(guān)系是______（用“＜”號連接），理由是______．
【答案】(1)圖見解析
(2)OA，PE，PF

相關(guān)試卷

數(shù)學(xué)七年級下冊第五章 相交線與平行線5.1 相交線5.1.1 相交線課后練習(xí)題：

這是一份數(shù)學(xué)七年級下冊第五章 相交線與平行線5.1 相交線5.1.1 相交線課后練習(xí)題，共46頁。

人教版七年級下冊第五章 相交線與平行線5.1 相交線5.1.1 相交線達(dá)標(biāo)測試：

這是一份人教版七年級下冊第五章 相交線與平行線5.1 相交線5.1.1 相交線達(dá)標(biāo)測試，文件包含專題51相交線十大題型舉一反三人教版原卷版docx、專題51相交線十大題型舉一反三人教版解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共31頁， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題24.1 銳角的三角函數(shù)【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題24.1 銳角的三角函數(shù)【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版），共48頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題14.1 勾股定理【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題14.1 勾股定理【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題12.3 乘法公式【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題12.3 乘法公式【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題5.3 平行線的性質(zhì)【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題5.3 平行線的性質(zhì)【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題2.2 相反數(shù)、絕對值【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題2.2 相反數(shù)、絕對值【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部