考情分析:1.函數(shù)模塊是高考考查的核心內(nèi)容之一,主要以基本初等函數(shù)或者由基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)為載體,考查函數(shù)的定義域、值域、性質(zhì)、圖象、零點(diǎn)等相關(guān)知識(shí),重點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性、周期性與單調(diào)性等,常與導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等交匯命題,考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,以客觀題的形式出現(xiàn),難度中等,分值5分~10分.2.高考對(duì)函數(shù)知識(shí)的考查,重在交匯融合,還存在隱性考查,滲透在整張?jiān)嚲碇?
復(fù)習(xí)策略:1.明晰重要概念,熟練掌握常見基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì):定義域、值域、最值、奇偶性、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)等概念是解決函數(shù)問題的基礎(chǔ),應(yīng)明確二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)貫穿在解決函數(shù)問題的全過程,應(yīng)熟練掌握.2.強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練:數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法在解決函數(shù)問題中具有重要應(yīng)用,應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).3.注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升:在解決函數(shù)問題的過程中,代數(shù)推理、變形化簡、數(shù)值計(jì)算等貫穿其中,是解題成敗的關(guān)鍵因素,因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的訓(xùn)練與提升.4.善于運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)的二級(jí)結(jié)論快速、簡潔地解決相關(guān)問題.5.涉及抽象函數(shù)問題,注意尋找函數(shù)原型幫助分析和解決問題.
第1節(jié) 函數(shù)的概念及其表示
研考點(diǎn) 精準(zhǔn)突破
強(qiáng)基礎(chǔ) 固本增分
2.函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有__________、圖象法、列表法.?
微思考直線x=a(a為常數(shù))與函數(shù)f(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是多少?
提示 直線x=a(a為常數(shù))與函數(shù)f(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或0.若設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈,則當(dāng)a∈D時(shí),有1個(gè)交點(diǎn),當(dāng)a?D時(shí),有0個(gè)交點(diǎn).
3.分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù),在其定義域內(nèi),對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,則稱其為分段函數(shù).
微點(diǎn)撥1.分段函數(shù)只是在定義域的不同區(qū)間上解析式不同,但它表示的是同一個(gè)函數(shù).2.分段函數(shù)的定義域是各段區(qū)間的并集,值域是各段區(qū)間值域的并集.3.在解析式中含有絕對(duì)值的函數(shù)一般都可以化為分段函數(shù).4.在分段函數(shù)的圖象中,橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上.
題組一 思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.對(duì)于函數(shù)f:A→B,其值域是集合B.(　　)
題組二 回源教材5.(人教B版必修第一冊(cè)3.1.1節(jié)練習(xí)B第8題)已知函數(shù)f(x+1)=2x-3,求f(4),f(x).
解 令x+1=4,得x=3,代入得f(4)=3;設(shè)x+1=t,則x=t-1,代入得f(t)=2t-5,因此f(x)=2x-5.
6.(人教A版必修第一冊(cè)習(xí)題3.1第17題)探究是否存在函數(shù)f(x),g(x)滿足條件:(1)定義域相同,值域相同,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同;
解 存在,例如f(x)=2x+1與g(x)=3x-1的定義域和值域均為R,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同.
解 存在,例如f(x)=x2,x∈R與g(x)=x2,x∈[0,+∞)的值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,但定義域不同.
(2)值域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,但定義域不同.
(-∞,0)∪(0,1]
考點(diǎn)一 函數(shù)的概念及應(yīng)用
例1(1)(多選題)(2024·江西臨川模擬)下列函數(shù)中,與函數(shù)y=2-x是同一函數(shù)的是(　　)
規(guī)律方法函數(shù)概念的應(yīng)用技巧(1)判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù),關(guān)鍵在于兩點(diǎn):一是定義域相同;二是對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.其中定義域要在解析式化簡之前求得,在定義域的限制條件下可以對(duì)解析式進(jìn)行化簡.(2)函數(shù)定義中要求對(duì)于x 的每一個(gè)確定值,y 應(yīng)有唯一的值與之對(duì)應(yīng),否則就不能確定函數(shù)關(guān)系,據(jù)此可通過取特殊值驗(yàn)證的方法判斷給出的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù).若存在x1, x2使得g(x1)=g(x2),但h(x1)≠h(x2),那么就不存在函數(shù)f(x)滿足f(g(x))=h(x).(3)對(duì)于抽象函數(shù)的求值問題,一般采用賦值法,即通過將函數(shù)滿足的等式中的變量取適當(dāng)?shù)闹?即可獲得特殊函數(shù)值之間的等量關(guān)系,從而求出相應(yīng)的函數(shù)值
考點(diǎn)二 函數(shù)的定義域
(3)(2024·江西南昌模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域是(-1,3),則函數(shù)y=f(x+1)-lg(x-1)的定義域是__________.?
規(guī)律方法函數(shù)定義域的求解方法(1)給定解析式的函數(shù)定義域的求法:①根據(jù)解析式有意義的條件列出自變量滿足的不等式(組);②解不等式(組)的解集即為定義域;③注意不要輕易化簡解析式,并且定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式.
(2)復(fù)合函數(shù)定義域的求法:
由題意可知上式的解集為[1,+∞),所以x=1為方程x2+2x+a=0的一個(gè)根,所以1+2+a=0,得a=-3,故選A.
考點(diǎn)三 函數(shù)的解析式
例3根據(jù)下列條件求函數(shù)的解析式:(1)已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x)-2f(x-1)=2x+5,求f(x)的解析式;
(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(cs x-1)=cs 2x-1,求f(x)的解析式;
解 依題意設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則由3f(x)-2f(x-1)=2x+5可得3(ax+b)-2[a(x-1)+b]=2x+5,
解 函數(shù)f(x)滿足f(cs x-1)=cs 2x-1=2cs2x-1-1=2cs2x-2,設(shè)cs x-1=t,則cs x=t+1,由cs x∈[-1,1],知t∈[-2,0],故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為f(t)=2(t+1)2-2=2t2+4t,t∈[-2,0],即f(x)的解析式為f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).
(4)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.
解 因?yàn)閒(x)+2f(-x)=x2+2x,①所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
考點(diǎn)四 分段函數(shù)(多考向探究預(yù)測(cè))
考向1 分段函數(shù)的求值問題
所以f(f(-1))=f(2)=22=4,故選D.
解析 當(dāng)m≥0時(shí),由f(m)=-m得m2+1=-m,此方程無實(shí)數(shù)解;當(dāng)m0時(shí),由f(x)=f(x-2)得f(x)=f(x+2),即當(dāng)x>0時(shí),f(x)的周期為2,所以f(2 023)=f(2×1 010+1)=f(1),則f(1)=f(-1)=(-1)2+1=2.
規(guī)律方法分段函數(shù)求值問題的求解策略(1)已知自變量的值求函數(shù)值時(shí),應(yīng)先判斷自變量的值屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)求f(f(a))的值時(shí),應(yīng)由內(nèi)到外依次求值;(2)若分段函數(shù)某一段的解析式形如f(x)=f(x-m)(m ≠0)的形式,則應(yīng)由此得出函數(shù)的周期,利用周期將自變量的值進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后代入另一段解析式求值;(3)已知函數(shù)值求自變量的值時(shí),需要結(jié)合分段區(qū)間對(duì)自變量的值分類討論,解方程求值,并注意求得的值需要滿足自變量相應(yīng)的取值范圍,否則應(yīng)舍去.
考向2 分段函數(shù)與不等式
(-∞,-3)∪(3,+∞)
變式探究1將本例中的不等式“f(x)

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