研考點(diǎn) 精準(zhǔn)突破
強(qiáng)基礎(chǔ) 固本增分
常用結(jié)論1.關(guān)于函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的常用結(jié)論(1)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.(2)當(dāng)函數(shù)圖象具有對(duì)稱中心時(shí),在對(duì)稱中心兩側(cè)的單調(diào)性相同;當(dāng)函數(shù)圖象具有對(duì)稱軸時(shí),在圖象的對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反.2.關(guān)于函數(shù)奇偶性與周期性的常用結(jié)論(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)為偶函數(shù),則f(x)的周期為a;(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)為奇函數(shù),則f(x)的周期為2a;(3)若f(x+a)與f(x+b)(a≠b)都是偶函數(shù),則f(x)的周期是2|a-b|;(4)若f(x+a)與f(x+b)(a≠b)都是奇函數(shù),則f(x)的周期是2|a-b|;(5)若f(x+a)與f(x+b)(a≠b)中一個(gè)是奇函數(shù),另一個(gè)是偶函數(shù),則f(x)的周期是4|a-b|.
題組一 思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.若f(x)是偶函數(shù),且在(-∞,0]上單調(diào)遞增,則有f(2)>f(-3).(　　)2.若函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù),則有f(-x-1)=-f(x+1).(　　)3.若f(3-x)=-f(x),則f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱.(　　)4.若函數(shù)f(x)的周期為2,且圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則f(x)為偶函數(shù).(　　)
題組二 回源教材5.(人教A版必修第一冊(cè)復(fù)習(xí)參考題3第9題改編)已知奇函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,那么f(x)在[-b,-a]上單調(diào)__________;若偶函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,那么f(x)在[-b,-a]上單調(diào)__________.?
解析 奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.
題組三 連線高考7.(2020·全國(guó)Ⅱ,理9)設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,則f(x)(　　)
8.(2021·新高考Ⅱ,14)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x):______________________________________________.?①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0;③f'(x)是奇函數(shù).
f(x)=x4(答案不唯一,f(x)=x2n(n∈N*)均滿足)
解析 令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).從而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),從而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期為6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,
考點(diǎn)一 函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合
例1(1)(2024·北京房山模擬)已知函數(shù)f(x)=2x-sin x,則下列選項(xiàng)正確的是(　　)A.f(2.7)

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