考情分析:1.函數(shù)模塊是高考考查的核心內(nèi)容之一,主要以基本初等函數(shù)或者基本初等函數(shù)組成的復合函數(shù)為載體,考查定義域、值域、性質(zhì)、圖象、零點等相關知識,近幾年高考對抽象函數(shù)考查的頻率明顯增加,重點考查函數(shù)的奇偶性、周期性與單調(diào)性等,常與導數(shù)、不等式、方程等交匯命題,考查數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學思想,以客觀題的形式出現(xiàn),難度中等,分值5~10分.2.高考對函數(shù)知識的考查,重在交匯融合,還多有隱性考查,滲透在整卷的考查中.
復習策略:1.明晰重要概念,熟練掌握常見基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì):定義域、值域、最值、奇偶性、周期性、單調(diào)性、零點等概念是解決函數(shù)問題的基礎,應明確;二次函數(shù)、指對冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)貫穿在解決函數(shù)問題的全過程,應熟練掌握.2.強化數(shù)學思想方法的訓練:數(shù)形結合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學思想方法在解決函數(shù)問題中具有重要應用,應強化應用意識.3.注重數(shù)學運算能力的提升:解決函數(shù)問題的過程中,代數(shù)推理、變形化簡、數(shù)值計算等貫穿其中,是影響解題成敗的關鍵因素,因此在復習中應重視運算能力的訓練與提升.4.善于運用函數(shù)性質(zhì)的二級結論快速、簡潔地解決相關問題.5.涉及抽象函數(shù)問題,注意尋找函數(shù)原型幫助分析和解決問題.
1.了解構成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.2.理解函數(shù)的三種表示方法:圖象法、列表法、解析法.會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?3.通過具體實例,了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應用.
微思考定義域與值域相同的兩個函數(shù)一定是同一個函數(shù)嗎?值域與對應關系相同的兩個函數(shù)一定相等嗎?
提示 不一定是同一個函數(shù).如函數(shù)y=3x和y=2x-1,二者的定義域均為R,值域也均為R,但兩個函數(shù)不同.值域與對應關系相同的兩個函數(shù)也不一定相等.如函數(shù)y=x2,x∈[0,2)和函數(shù)y=x2,x∈(-1,2),兩函數(shù)解析式相同,值域也相同,但定義域不同,所以不是相等函數(shù).
2.函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有　　　　　　、圖象法、列表法.?微思考直線x=a(a為常數(shù))與函數(shù)f(x)的圖象的交點個數(shù)是多少?
提示 直線x=a(a為常數(shù))與函數(shù)f(x)的圖象的交點個數(shù)是1或0.若設f(x)的定義域為D,則當a∈D時,有1個交點,當a?D時,有0個交點.
3.分段函數(shù)如果一個函數(shù),在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的對應方式,則稱其為分段函數(shù).
微點撥1.分段函數(shù)只是在定義域的不同區(qū)間上解析式不同,但它表示的是同一個函數(shù).2.分段函數(shù)的定義域是各段區(qū)間的并集,值域是各段值域的并集.3.分段函數(shù)定義域的各段區(qū)間的交集一定是空集.4.解析式中含有絕對值的函數(shù)一般都可以化為分段函數(shù).5.分段函數(shù)的圖象中,橫坐標相同的地方不能有兩個或兩個以上的點.
常用結論常見函數(shù)的定義域如下:(1)分式中分母不能等于0;(2)偶次根式的被開方數(shù)大于或等于0;(3)零次冪的底數(shù)不能為0;(4)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)、正弦函數(shù)y=sin x、余弦函數(shù)y=cs x的定義域均為R;(5)對數(shù)函數(shù)y=lgax(a>0,a≠1)的定義域為(0,+∞);
題組一思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.對于函數(shù)f:A→B,其值域是集合B.(　　)
題組二回源教材5.(人教B版必修第一冊3.1.1節(jié)練習B第8題)已知函數(shù)f(x+1)=2x-3,求f(4),f(x).
解 令x+1=4,解得x=3,代入得f(4)=3;設x+1=t,則x=t-1,代入得f(t)=2t-5,因此f(x)=2x-5.
6.(人教A版必修第一冊74頁習題3.1第17題)探究是否存在函數(shù)f(x),g(x)滿足條件:(1)定義域相同,值域相同,但對應關系不同;(2)值域相同,對應關系相同,但定義域不同.
解 (1)存在,例如f(x)=2x+1與g(x)=3x-1的定義域和值域均為R,但對應關系不同.(2)存在,例如f(x)=x2,x∈R與g(x)=x2,x∈[0,+∞)的值域和對應關系相同,但定義域不同.
(-∞,0)∪(0,1]　
考點一函數(shù)的概念及應用
例1(1)(多選題)(2024·浙江衢州模擬)已知函數(shù)f(x)與g(x),若存在f(x)使得f(g(x))=x2,則g(x)不可能為(　　)A.x2-2 023xB.sin xC.2x-1D.|x|
解析 對于A選項,若g(x)=x2-2 023x,當x=0時,f(0)=0,當x=2 023時,f(0)=2 0232,相當于1個x值對應兩個y值,不符合函數(shù)定義,即A錯誤;對于B選項,取x=0和x=π,有f(g(0))=f(0)=0,f(g(π))=f(0)=π2,不符合函數(shù)定義,所以B
(2)(2024·浙江寧波模擬)已知函數(shù)f(x)滿足:對任意的非零實數(shù)x,y,都有f(x+y)=( )f(x)f(y)成立,且f(1)=2,若f(n)=f(n+1),n∈Z,n≠0,則n=(　　)A.-3B.-2C.2D.3
[對點訓練1](多選題)(2024·廣東深圳模擬)下列式子中,不存在函數(shù)f(x)使其對任意x∈R都成立的是(　 　)A.f(x)=xB.f(sin x)=xC.f(cs x)=xD.f(sin x)=cs x
解析 對于A,對任意x∈R,f(x)=x都成立;對于B,取x=0和x=π,得到f(0)=0,
函數(shù)的定義;對于D,取x=0和x=π,得到f(0)=1,f(0)=0,不符合函數(shù)的定義,故選BCD.
解析 要使函數(shù)有意義,應滿足 解得-10,所以得a>0.綜上,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2]∪[0,+∞).
變式探究1 (變條件)本例中,函數(shù)解析式不變,將“f(a)≥0”改為“f(a-1)≤3”,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　　.?
解析 當a-1≤0即a≤1時,f(a-1)=(a-1)2+2(a-1),由f(a-1)≤3得(a-1)2+2(a-1) ≤3,解得-2≤a≤2,又因為a≤1,所以得-2≤a≤1;當a-1>0即a>1時,f(a-1)
變式探究2(變條件)本例中,函數(shù)解析式不變,將“f(a)≥0”改為“f(f(m))

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