【知識(shí)與技能】
掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，及在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)便運(yùn)算和應(yīng)用因式分解解決數(shù)學(xué)問題的能力.
【過程與方法】
通過尋求乘法公式與因式分解的關(guān)系，理解因式分解的含義.
【情感態(tài)度】
通過因式分解的學(xué)習(xí)，體會(huì)整體數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
【教學(xué)重點(diǎn)】
熟練運(yùn)用各種方法來進(jìn)行因式分解.
【教學(xué)難點(diǎn)】
因式分解各種方法的綜合運(yùn)用，利用因式分解解決數(shù)學(xué)問題.
一.知識(shí)結(jié)構(gòu)
【教學(xué)說明】
引導(dǎo)學(xué)生回顧本章知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生系統(tǒng)地了解本章知識(shí)及它們之間的關(guān)系
二、釋疑解惑，加深理解
1.因式分解的定義
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.
2.提公因式法
如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．
3.公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這個(gè)數(shù)的差的積.
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
【教學(xué)說明】
(1)因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆的運(yùn)算;
(2)因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗(yàn).
三、典例精析，復(fù)習(xí)新知
1.下列變形是否是因式分解？為什么，
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
【解析】
(1)不是因式分解，提公因式錯(cuò)誤，可以用整式乘法檢驗(yàn)其正確性.
(2)不是因式分解，不滿足因式分解的含義;
(3)不是因式分解，因?yàn)橐蚴椒纸馐呛愕茸冃味绢}不恒等;
(4)不是因式分解，是整式乘法.
2.下列變形是否正確？為什么？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
【解析】
(1)不正確，目前在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解.
(2)不正確，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能進(jìn)行分解.
(3)不正確，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式進(jìn)行分解，而且在有理數(shù)范圍內(nèi)也不能分解.
3.用提公因式法將下列各式因式分解.
(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2；
(3)-x3z+x4y； (4)36aby-12abx+6ab；
(5)3x(a-b)+2y(b-a)； (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).
【解析】
(1)～(4)題直接提取公因式分解即可，(5)題和(6)題首先要適當(dāng)?shù)淖冃危渲?5)題把b-a化成-(a-b)的，(6)題把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.
解：(1)ax-ay=a(x-y); (2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z);
(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy); (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1);
(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y);
(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)
=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)
=(m-x)(m-y)(x-m)
=-(m-x)2(m-y).
4.用公式法分解因式.
(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；
(4)(m+n)2-6(m+n)+9;（5）4x2-9.
解：(1) m2+2m+1=(m+1)2; (2) 9x2-12x+4=(3x-2)2;
(3) 1-10x+25x2=(1-5x)2;
(4) (m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2;
(5) 4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
5.分解因式.
(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；
(4)x2(x-y)+y2(y-x)；(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.
解：
(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2;
(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a);
(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y);
(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2;
(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2=［(a+b+c)+(a-b-c)］［(a+b+c)-(a-b-c)］
=2a·(2b+2c)=4a(b+c).
【教學(xué)說明】
基礎(chǔ)習(xí)題的練習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于上面知識(shí)點(diǎn)的理解，也有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的學(xué)習(xí)漏洞，及時(shí)彌補(bǔ)，同時(shí)也為本節(jié)課做了一個(gè)很好的知識(shí)鋪墊.
四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，鞏固提高
1.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，則k=_______.
分析： 完全平方式是形如：a2±2ab+b2即兩數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍的和(或差).
解析：∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，
∴kxy=±2·3x·6y=±36xy. ∴k=±36.
2.利用因式分解計(jì)算下列各題.
(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；
(2)20022-4006×2002+20032；
(3)5652×11-4352×11；(4)(5)2-(2)2.
解：(1)原式=1999；(2)原式=1；
(3)原式=1430000； (4)原式=28.
3. 計(jì)算
4.解方程組
分析：本題是一個(gè)二元二次方程組，就目前的知識(shí)水平來說，用代入消元法或加減消元法來解是困難的.但是我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程組有一個(gè)特點(diǎn)是方程x2-4y2=5可以通過因式分解為(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程組就可以化成一個(gè)二元一次方程組而解出.
解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③把②代入③中得x+2y=5，④
∴原方程組化為
②+④得2x=6，∴x=3.
②-④得4y=4，∴y=1.
∴原方程組的解為
5.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：x3y-2x2y2+xy3=xy(x2-2xy+y2)=xy(x-y)2.
當(dāng)x-y=1，xy=2時(shí)，原式=2×12=2.6.已知x-y=2，x2-y2=6，求x與y的值.
解：∵x2-y2=6,∴(x+y)(x-y)=6.
又∵x-y=2，①
∴x+y=3.②.
7.求證：四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個(gè)完全平方數(shù).
證明：設(shè)這四個(gè)連續(xù)自然數(shù)依次為n，n+1，n+2，n+3，則
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一個(gè)完全平方數(shù).
【教學(xué)說明】
這些訓(xùn)練題有一定的難度，應(yīng)對(duì)學(xué)生分層教學(xué).
五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)
解因式分解題時(shí)，首先考慮是否有公因式，如果有，先提公因式；如果沒有公因式或提取公因式后，在考慮能否用公式法，最后，直到每一個(gè)因式都不能再分解為止.
布置作業(yè):教材“復(fù)習(xí)題”中第1、3、4、7、9題.
（1）對(duì)象：因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行恒等變形；
（2）方向：因式分解與整式的乘法是互逆的過程，具有方向性；
（3）目標(biāo)：是要把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積；
（4）最終：把一個(gè)多項(xiàng)式分解到不能再分解為止．第五章分式與分式方程

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