第11講 特殊的平行四邊形（練習(xí)） 夯實(shí)基礎(chǔ) 一、單選題 1．（2019·上海普陀區(qū)·八年級期中）如果順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點(diǎn)，那么所圍成的四邊形一定是（ ） A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形 2．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)為斜邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于，于點(diǎn)，連結(jié)，則線段的最小值為（ ） A． B． C． D．5 3．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）下列命題中，真命題是（ ） A．兩條對角線相等的四邊形是矩形； B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形； C．兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形； D．兩條對角線相等的梯形是等腰梯形 4．（2019·上海市婁山中學(xué)八年級月考）下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ）． A．對邊平行且相等 B．對角線互相平分 C．內(nèi)角和等于外角和 D．每一條對角線所在直線都是它的對稱軸 5．（2019·上海市民辦新和中學(xué)八年級月考）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（） A．當(dāng)AB＝BC時，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形 C．當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當(dāng)AC＝BD時，它是正方形 6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，圖中等于60°的角有（ ） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 7．（2019·上海市南洋模范中學(xué)八年級月考）如圖，將邊長為的正方形沿其對角線剪開，再把沿著方向平移，得到,若兩個三角形重疊部分的面積為,則它移動的距離等于( ) A． B． C． D． 二、填空題 8．（2019·上海上外附中）判斷：一條對角線平分一組對角且有一組對角都是直角的四邊形是正方形（______） 9．（2018·上海楊浦區(qū)·八年級月考）□ABCD中,若AB=BC,則ABCD是_______形. 10．（2018·上海楊浦區(qū)·八年級月考）當(dāng)一個任意平行四邊形的一個銳角增大到90°時,它就變成了______形. 11．（2018·上海閔行區(qū)·八年級月考）已知一個菱形的面積是,其中一條對角線長為4cm,則這個菱形的另一條對角線長為_________ 12．（2019·上海八年級課時練習(xí)）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，∠B＝60°，則AB＝_______cm． 13．（2017·上海市青浦區(qū)金澤中學(xué)八年級期末）已知如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊上的中線，若CD＝BC，則∠A＝_____． 14．（2019·上海八年級課時練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，則CE的長為________． 三、解答題 15．（2019·上海普陀區(qū)·八年級期中）如圖，中，，平分交于點(diǎn)，平分的外角，且． 求證：四邊形是矩形． 16．（2019·上海市梅隴中學(xué)八年級期中）如圖，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是邊AC上一點(diǎn)（D與A、C不重合），過點(diǎn)A作AE垂直AC，求滿足AE=CD，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F. （1）試判斷△DBE的形狀，并證明你的結(jié)論. （2）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動時，四邊形ADBE的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出四邊形ADBE的面積；若改變，請說明理由. （3）當(dāng)△BDF是等腰三角形時，請直接寫出AD的長. 能力提升 一、單選題 1．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）如圖，的對角線、交于點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到一個新的四邊形，如果添加下列四個條件中的一個條件：①；②；③；④，可以使這個新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個數(shù)是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級月考）菱形的一條對角線與它的邊相等，則它的銳角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．（2020·青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖，在中，是高，是中線，那么在結(jié)論①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH 中正確的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（2018·上海虹口區(qū)·八年級期末）菱形的面積為2，其對角線分別為x、y，則y與x的圖象大致（）． A． B． C． D． 5．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖，把矩形沿對折后使兩部分重合，若，則=（ ） A．110° B．115° C．120° D．130° 6．（2020·上海市甘泉外國語中學(xué)八年級期中）如圖，正方形，邊在軸的正半軸上，頂點(diǎn)，在直線上，如果正方形邊長是1，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是______． 7．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級月考）我們把兩條對角線所成兩個角的大小之比是1：2的矩形叫做“和諧矩形”，如果一個“和諧矩形”的對角線長為10cm，則矩形的面積為_____cm2． 8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，斜邊上的中線CD=1，AB+AC=2.5，則S△ABC =_________． 9．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分別是中線，角平分線，高，則 和的大小關(guān)系：_________________ 10（2020·上海松江區(qū)·八年級期末）如圖，已知在矩形中，點(diǎn)在邊的延長線上，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)為__________． 11．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級期末）我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若BD=3，AE=4，則正方形ODCE的邊長等于_____． 三、解答題 12．（2020·上海市奉賢區(qū)弘文學(xué)校八年級期末）如圖，在長方形OABC中，OA=8，OC=4，沿對角線OB折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，OD與BC交于點(diǎn)E． （1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)及過點(diǎn)E的反比例函數(shù)的解析式； （2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)． 13．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作AF∥BC，且交CE的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF． （1）求證：四邊形AFBD是平行四邊形； （2）當(dāng)AB＝AC時，求證：四邊形AFBD是矩形； （3）（填空）在（2）中再增加條件　 ?。畡t四邊形AFBD是正方形． 14．（2020·青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖，在中，，AD是邊BC上的高，G是AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CG，點(diǎn)E、F分別是AB、CG的中點(diǎn)，且． （1）求證：； （2）若點(diǎn)E恰在射線CG上，求的度數(shù)． 15．（2018·上海普陀區(qū)·八年級期末）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF． (1)求證：四邊形BFEP為菱形； (2)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動時，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動； ①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(如圖2)，求菱形BFEP的邊長； ②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離． 第11講 特殊的平行四邊形（練習(xí)） 夯實(shí)基礎(chǔ) 一、單選題 1．（2019·上海普陀區(qū)·八年級期中）如果順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點(diǎn)，那么所圍成的四邊形一定是（ ） A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形 【答案】A 【分析】因?yàn)轭}中給出的條件是中點(diǎn)，所以可利用三角形中位線性質(zhì)，以及矩形對角線相等可證明四條邊都相等，從而說明是一個菱形． 【詳解】如圖，連接對角線AC、BD， 在△ABD中， ∵AH=HD，AE=EB ∴EH=BD， 同理FG=BD，HG=AC，EF=AC， 又∵在矩形ABCD中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四邊形EFGH為菱形． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分． 2．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)為斜邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于，于點(diǎn)，連結(jié)，則線段的最小值為（ ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】連接PC，當(dāng)CP⊥AB時，PC最小，利用三角形面積解答即可． 【詳解】解：連接PC， ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°， ∴四邊形ECFP是矩形， ∴EF=PC， ∴當(dāng)PC最小時，EF也最小， 即當(dāng)CP⊥AB時，PC最小， ∵AC=8，BC=6， ∴AB=10， ∴PC的最小值為：， ∴線段EF長的最小值為， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是矩形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答． 3．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）下列命題中，真命題是（ ） A．兩條對角線相等的四邊形是矩形； B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形； C．兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形； D．兩條對角線相等的梯形是等腰梯形 【答案】D 【分析】A、根據(jù)矩形的判定定理作出分析、判斷； B、根據(jù)菱形的判定定理作出分析、判斷； C、根據(jù)正方形的判定定理作出分析、判斷； D、根據(jù)等腰梯形的判定定理作出分析、判斷． 【詳解】解：A、兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形．例如等腰梯形的兩條對角線也相等；故本選項(xiàng)錯誤； B、兩條對角線垂直的平行四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯誤； C、兩條對角線垂直且相等的四邊形也可能是等腰梯形；故本選項(xiàng)錯誤； D、兩條對角線相等的梯形是等腰梯形，此說法正確；故本選項(xiàng)正確； 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰梯形、正方形菱形以及矩形的判定．解答該題時，需要牢記常見的四邊形的性質(zhì)． 4．（2019·上海市婁山中學(xué)八年級月考）下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ）． A．對邊平行且相等 B．對角線互相平分 C．內(nèi)角和等于外角和 D．每一條對角線所在直線都是它的對稱軸 【答案】D 【分析】根據(jù)菱形和矩形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可． 【詳解】A. 對邊平行且相等，都具有； B. 對角線互相平分，都具有； C. 內(nèi)角和等于外角和，都具有； D. 每一條對角線所在直線都是它的對稱軸，菱形具有而矩形不一定具有； 故答案為：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了菱形和矩形的問題，掌握菱形和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 5．（2019·上海市民辦新和中學(xué)八年級月考）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（） A．當(dāng)AB＝BC時，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形 C．當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當(dāng)AC＝BD時，它是正方形 【答案】D 【分析】由題意分別根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行分析即可． 【詳解】解：A、根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB=BC時，它是菱形，故A選項(xiàng)正確； B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故B選項(xiàng)正確； C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)正確； D、根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)AC=BD時，它是矩形，不是正方形，故D選項(xiàng)錯誤； 綜上所述，符合題意是D選項(xiàng)； 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形、矩形和正方形的判定，熟練掌握菱形、矩形、正方形是特殊的平行四邊形是解題的關(guān)鍵． 6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，圖中等于60°的角有（ ） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【答案】D 【分析】由已知條件可得AD=DB=CD，所以可得到，故可得出等于的角有多少個． 【詳解】，，D是AB的中點(diǎn)， AD=DB=CD，， 是等邊三角形， ， ． 故選D． 【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)斜邊中線定理得到線段的等量關(guān)系，進(jìn)而得到角的等量關(guān)系． 7．（2019·上海市南洋模范中學(xué)八年級月考）如圖，將邊長為的正方形沿其對角線剪開，再把沿著方向平移，得到,若兩個三角形重疊部分的面積為,則它移動的距離等于( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合陰影部分是平行四邊形，△AA′H與△HCB′都是等腰直角三角形，則若設(shè)AA′＝x，則陰影部分的底長為x，高A′D＝2?x，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可列出方程求解． 【詳解】解：設(shè)AC交A′B′于H， ∵∠A＝45°，∠D＝90° ∴△A′HA是等腰直角三角形 設(shè)AA′＝x，則陰影部分的底長為x，高A′D＝2?x ∴x?(2?x)＝1 ∴x＝1 即AA′＝1cm． 故選：C． 【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，解決本題關(guān)鍵是抓住平移后圖形的特點(diǎn)，利用方程方法解題． 二、填空題 8．（2019·上海上外附中）判斷：一條對角線平分一組對角且有一組對角都是直角的四邊形是正方形（______） 【答案】錯誤 【分析】根據(jù)題設(shè)畫出反例圖形即可. 【詳解】解：反例：如圖，四邊形的對角線平分一組對角，且，而四邊形不是正方形， 故該命題是假命題， 故答案為：錯誤. 【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定定理，根據(jù)題設(shè)畫出反例圖形是解題的關(guān)鍵. 9．（2018·上海楊浦區(qū)·八年級月考）□ABCD中,若AB=BC,則ABCD是_______形. 【答案】菱 【分析】根據(jù)菱形的判定可知，由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得出結(jié)論． 【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC， ∴四邊形ABCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；故答案為菱形. 【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，熟記一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是解決問題的關(guān)鍵． 10．（2018·上海楊浦區(qū)·八年級月考）當(dāng)一個任意平行四邊形的一個銳角增大到90°時,它就變成了______形. 【答案】矩 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，平行四邊形兩組對邊互相平行，一個角為直角，則四個角都是直角，則可知其變成矩形． 【詳解】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，因?yàn)槠叫兴倪呅蝺山M對邊分別平行且相等，所以當(dāng)一個銳角增加為90°時，四個角都是90°，可得其為矩形． 【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的判定及平行四邊形的性質(zhì)． 11．（2018·上海閔行區(qū)·八年級月考）已知一個菱形的面積是,其中一條對角線長為4cm,則這個菱形的另一條對角線長為_________ 【答案】 【分析】根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半求解． 【詳解】解：設(shè)菱形的另一條對角線長為x， 由題意可得：， 解得：， 即這個菱形的另一條對角線長為， 故答案為：. 【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的面積求法，熟知菱形的面積等于兩對角線乘積的一半是解題關(guān)鍵． 12．（2019·上海八年級課時練習(xí)）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，∠B＝60°，則AB＝_______cm． 【答案】2 【分析】過A作AE∥DC，可得到平行四邊形AECD，從而可求得BE的長，由已知可得到△ABE是等邊三角形，此時再求AB就不難求得了． 【詳解】等腰梯形ABCD中,AD∥BC,作AE∥DC,則四邊形AECD是平行四邊形,因而AB=AE,CE=AD,再由∠B=60°得到△ABE是等邊三角形，AE=2cm，AB=2cm. 【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰梯形的性質(zhì). 13．（2017·上海市青浦區(qū)金澤中學(xué)八年級期末）已知如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊上的中線，若CD＝BC，則∠A＝_____． 【答案】30°． 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和已知條件可以推知△BCD是等邊三角形，則利用直角三角形兩個銳角互余的性質(zhì)來求∠A的度數(shù)． 【詳解】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊上的中線，∴BD＝CD． 又∵CD＝BC，∴CD＝BC＝BD，∴△BCD是等邊三角形， ∴∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°．故答案為：30°． 【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線, 等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出△BCD是等邊三角形. 14．（2019·上海八年級課時練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，則CE的長為________． 【答案】 【解析】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．所以△AOE≌△COE． 設(shè)CE為x．則DE=AD-x，CD=AB=2． 根據(jù)勾股定理可得x2=（3-x）2+22，解得CE=13/6． 三、解答題 15．（2019·上海普陀區(qū)·八年級期中）如圖，中，，平分交于點(diǎn)，平分的外角，且． 求證：四邊形是矩形． 【分析】利用角平分線的性質(zhì)以及平角的性質(zhì)可得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到，利用矩形的判定定理即可求解． 【詳解】如圖： ∵是的平分線， ∴， ∵是的平分線， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴四邊形是矩形． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)，利用平角的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵． 16．（2019·上海市梅隴中學(xué)八年級期中）如圖，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是邊AC上一點(diǎn)（D與A、C不重合），過點(diǎn)A作AE垂直AC，求滿足AE=CD，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F. （1）試判斷△DBE的形狀，并證明你的結(jié)論. （2）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動時，四邊形ADBE的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出四邊形ADBE的面積；若改變，請說明理由. （3）當(dāng)△BDF是等腰三角形時，請直接寫出AD的長. 【答案】（1）△DBE是等腰直角三角形，證明見解析；（2）不變；2；（3）或2． 【分析】（1）根據(jù)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2可得出∠CAB=∠ACB=45°，再由AE⊥AC可得出∠EAC=90°，故可得出∠BAE=45°，由SAS定理可得出△CBD≌△ABE，故可得出BD=BE，由此可得出結(jié)論； （2）根據(jù)（1）中△CBD≌△ABE可知四邊形ADBE的面積不變，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論； （3）分兩種情況分別討論即可求得． 【詳解】（1）△DBE是等腰直角三角形． 理由：∵∠ABC=90°，AB=BC=2， ∴∠CAB=∠ACB=45°． ∵AE⊥AC， ∴∠EAC=90°， ∴∠BAE=45°． 在△CBD與△ABE中， ∵， ∴△CBD≌△ABE（SAS）， ∴BD=BE，∠CBD=∠ABE， ∵∠CBD+∠ABD=90°， ∴∠ABE+∠ABD=90°， 即∠BDE=90°， 即△DBE是等腰直角三角形； （2）不變． ∵由（1）知△CBD≌△ABE， ∴S四邊形ADBE=S△ABC=×2×2=2； （3）當(dāng)BF=DF時，則∠BDE=∠FBD， ∵△DBE是等腰直角三角形， ∴∠BDE=45°， ∴∠FBD=45° ∴∠CBD=45°， ∴∠CBD=∠ABD， ∴AD=CD， ∴AD=AC， ∵AB=BC=2， ∴AC=2 ∴AD=； 當(dāng)BD=DF時， ∵△ABC是等腰直角三角形，△BDE是等腰直角三角形， ∴∠C=∠CAB=45°，∠BDE=∠BED=45°， ∴∠C=∠BDE， ∵∠ADB=∠C+∠CBD=∠BDE+∠FDA， ∴∠CDB=∠ADF， 在△BCD和△DAF中 ∴△BCD≌△DAF（AAS）， ∴AD=BC=2． ∴當(dāng)△BDF是等腰三角形時，AD的長為或2． 【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵. 能力提升 一、單選題 1．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級期末）如圖，的對角線、交于點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到一個新的四邊形，如果添加下列四個條件中的一個條件：①；②；③；④，可以使這個新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個數(shù)是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C 【分析】根據(jù)順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對角線位置、數(shù)量關(guān)系有關(guān)，利用三角形中位線性質(zhì)可得：當(dāng)對角線垂直時，所得新四邊形是矩形．逐一對四個條件進(jìn)行判斷． 【詳解】解：順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對角線位置、數(shù)量關(guān)系有關(guān)，利用三角形中位線性質(zhì)可得：當(dāng)對角線垂直時，所得新四邊形是矩形． ①新的四邊形成為矩形，符合條件； ②四邊形是平行四邊形，． ． 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知．所以新的四邊形成為矩形，符合條件； ③四邊形是平行四邊形，． ． ． 四邊形是矩形，連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形是菱形，不符合條件； ④， ，即平行四邊形的對角線互相垂直， 新四邊形是矩形．符合條件．所以①②④符合條件． 故選：． 【點(diǎn)睛】本題考查特殊四邊形的判定與性質(zhì)，掌握矩形、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 2．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級月考）菱形的一條對角線與它的邊相等，則它的銳角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】由菱形的性質(zhì)可得這條對角線與菱形的兩邊組成等邊三角形，從而求得銳角的度數(shù)等于60°． 【詳解】解：由菱形的性質(zhì)得，菱形相鄰的兩邊相等，則與這條對角線組成等邊三角形，則它的銳角等于60°， 故選C． 【點(diǎn)睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)：四邊相等． 3．（2020·青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖，在中，是高，是中線，那么在結(jié)論①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH 中正確的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠BAM，根據(jù)已知條件判斷∠B＝∠MAH不一定成立；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及余角的性質(zhì)得出∠B＝∠CAH． 【詳解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中線， ∴AM＝BM， ∴∠B＝∠BAM，①正確； ②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH， ∴∠B＝∠MAH不一定成立，②錯誤； ③∵∠BAC＝90°，AH是高， ∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°， ∴∠B＝∠CAH，③正確． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查對直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 4．（2018·上海虹口區(qū)·八年級期末）菱形的面積為2，其對角線分別為x、y，則y與x的圖象大致（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根據(jù)菱形的面積公式，得出x、y的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)x的取值范圍選出答案． 【詳解】∵菱形的面積S= ∴，即y= 其中，x＞0 故選：C 【點(diǎn)睛】本題考查菱形面積公式的應(yīng)用，注意在求解出x、y的關(guān)系后，還需要判斷x的取值范圍． 5．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖，把矩形沿對折后使兩部分重合，若，則=（ ） A．110° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)列式計(jì)算即可得解． 【詳解】∵矩形沿對折后兩部分重合，， ∴∠3=∠2==65°， ∵矩形對邊AD∥BC， ∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了矩形中翻折的性質(zhì)，兩直線平行的性質(zhì)，平角的定義，掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 6．（2020·上海市甘泉外國語中學(xué)八年級期中）如圖，正方形，邊在軸的正半軸上，頂點(diǎn)，在直線上，如果正方形邊長是1，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是______． 【答案】 【分析】令y＝1可得x＝2，即點(diǎn)A（2,1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，待入解析式即可求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，繼而根據(jù)正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)F的坐標(biāo)． 【詳解】∵正方形，邊在軸的正半軸上， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，CE＝CG＝EF＝GF，AB、CD、CE、FG⊥x軸， ∵頂點(diǎn)，在直線 令y＝1，則x＝2 ∴點(diǎn)A（2,1） ∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3 將x＝3代入直線，得 ∴點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)是 即 ∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為 即點(diǎn)F（，） 故答案為：（，） 【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及到正方形的性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)求得點(diǎn)A、E的坐標(biāo)． 7．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級月考）我們把兩條對角線所成兩個角的大小之比是1：2的矩形叫做“和諧矩形”，如果一個“和諧矩形”的對角線長為10cm，則矩形的面積為_____cm2． 【答案】25 【分析】根據(jù)“和諧矩形”的性質(zhì)求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AB、AD的長，即可得出答案． 【詳解】解：∵四邊形ABCD是“和諧矩形”， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2， ∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠ADB＝∠CAD＝30°， ∴AB＝BD＝5，AD＝AB＝5， ∴矩形ABCD的面積＝AB×AD＝5×5＝25（cm2）； 故答案為：25． 【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、新定義、等腰三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，斜邊上的中線CD=1，AB+AC=2.5，則S△ABC =_________． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到AB =2，求得AC=，利用勾股定理求得BC的長，即可求得答案． 【詳解】∵∠BCA=90°，斜邊上的中線CD=1， ∴AB=2CD=2， ∵AB+AC=2.5， ∴AC=， 由勾股定理可得BC=， ∴S△ABC = ． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵． 9．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分別是中線，角平分線，高，則 和的大小關(guān)系：_________________ 【答案】相等 【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ACE=∠BCE，再根據(jù)高線的定義以及直角三角形的性質(zhì)可得∠BCF=∠A，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得到∠ACD=∠A，最后根據(jù)圖形寫出角的關(guān)系即可得證． 【詳解】證明：∵CE是∠ACB的平分線， ∴∠ACE=∠BCE． ∵CF⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠BCF=∠A（同角的余角相等）． ∵CD是AB邊上的中線，∠ACB=90°， ∴AD=CD， ∴∠ACD=∠A（在同一個三角形中，等邊對等角）， ∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠ACE-∠A， ∠FCE=∠BCE-∠BCF=∠ACE-∠A， ∴∠DCE = FCE． 故答案為：相等． 【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖，理清圖中角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 10（2020·上海松江區(qū)·八年級期末）如圖，已知在矩形中，點(diǎn)在邊的延長線上，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)為__________． 【答案】45° 【分析】連接AC交BD于點(diǎn)O，由矩形的性質(zhì)得出AC＝BD，OB＝OC，則∠OBC＝∠OCB，證出AC＝CE，則∠CAE＝∠E＝15°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠OBC＝∠OCB＝30°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案． 【詳解】連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖所示： ∵四邊形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵CE＝BD， ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E＝15°， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE＋∠E＝30°， ∴∠AFB＝∠OBC＋∠E＝30°＋15°＝45°； 故答案為：45°． 【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 11．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級期末）我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若BD=3，AE=4，則正方形ODCE的邊長等于_____． 【答案】 【分析】設(shè)正方形ODCE的邊長為，則CD=CE=，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AE，BF=BD，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論． 【詳解】設(shè)正方形ODCE的邊長為， 則CD=CE=， ∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO， ∴AF=AE，BF=BD， ∴AB=3+4=7， ∵，即， ∴（舍去），， ∴正方形ODCE的邊長等于． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明及應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵． 三、解答題 12．（2020·上海市奉賢區(qū)弘文學(xué)校八年級期末）如圖，在長方形OABC中，OA=8，OC=4，沿對角線OB折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，OD與BC交于點(diǎn)E． （1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)及過點(diǎn)E的反比例函數(shù)的解析式； （2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)． 【答案】（1）點(diǎn)E（3，4），過點(diǎn)E的反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)D坐標(biāo)（，） 【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得兩對邊分別相等，利用翻折的性質(zhì)可得OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD，等量代換和等角對等邊的性質(zhì)可得OE＝BE，設(shè)CE＝x，則BE＝OE＝8－x，利用勾股定理可得x的值，繼而求得點(diǎn)E坐標(biāo)，繼而設(shè)反比例函數(shù)解析式，代入即可求解； （2）過點(diǎn)D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，利用三角形等積法求得，利用勾股定理求出，繼而即可求解． 【詳解】 （1）∵長方形OABC中，OA=8，OC=4，∠AOB＝∠CBO ∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4， 由折疊的性質(zhì)可得：OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD ∴∠CBO＝∠BOD ∴OE＝BE 設(shè)CE＝x，則BE＝OE＝8－x， 在Rt△COE中，由勾股定理可得：即 解得： ∴點(diǎn)E（3，4） 設(shè)過點(diǎn)E的反比例函數(shù)的解析式 將點(diǎn)E（3，4）代入上式可得： ∴ 故過點(diǎn)E的反比例函數(shù)的解析式 （2）由（1）知，CE＝3，OE＝BE＝8－CE＝5，DE＝8－OE＝3， 過點(diǎn)D作DF⊥BC， 由翻折的性質(zhì)可得∠BAO＝∠BDE＝90° ∴ 解得：， ∵在Rt△DEF中，， ∴， ∴， ∴點(diǎn)D坐標(biāo)（，） 【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理、反比例函數(shù)解析式、等積法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會做輔助線，求出關(guān)鍵線段的長． 13．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作AF∥BC，且交CE的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF． （1）求證：四邊形AFBD是平行四邊形； （2）當(dāng)AB＝AC時，求證：四邊形AFBD是矩形； （3）（填空）在（2）中再增加條件　 ?。畡t四邊形AFBD是正方形． 【答案】（1）見解析（2）見解析（3）∠BAC＝90° 【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論； （2）利用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合矩形的判定方法得出答案； （3）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時，四邊形AFBD是正方形，理由為：由第一問證得的AF＝BD，且AF與BD平行，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得四邊形AFBD為平行四邊形，若三角形ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD＝BD，且根據(jù)三線合一得到AD與BC垂直，可得平行四邊形的鄰邊相等且有一個角為直角，即可判定出四邊形AFBD為正方形． 【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)， ∴DE是△BCF的中位線，∴DE∥BF，∴AD∥BF， ∵AF∥BC，∴四邊形AFBD是平行四邊形； （2）證明：（2）∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°． ∵四邊形AFBD是平行四邊形， ∴四邊形AFBD是矩形； （3）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形，且∠BAC＝90°時，四邊形AFBD是正方形，理由如下： ∵四邊形AFBD為平行四邊形， 又∵等腰直角三角形ABC，且D為BC的中點(diǎn)， ∴AD＝BD，∠ADB＝90°， ∴四邊形AFBD為正方形． 故答案為：∠BAC＝90°． 【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各判定定理是解題的關(guān)鍵． 14．（2020·青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖，在中，，AD是邊BC上的高，G是AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CG，點(diǎn)E、F分別是AB、CG的中點(diǎn)，且． （1）求證：； （2）若點(diǎn)E恰在射線CG上，求的度數(shù)． 【答案】（1）詳見解析；（2） 【分析】（1）根據(jù)直接愛哦三角形斜邊中線的性質(zhì)，得到，根據(jù)等角對等邊得到，然后根據(jù)HL即可證明； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，再根據(jù)即可求解． 【詳解】（1）證明：AD是BC上的高，點(diǎn)E、F分別是AB、CG的中點(diǎn)， ，， ， ， ，AD是邊BC上的高， ， ， 在和中， ， ． （2）， ， ， ， ． 故． 【點(diǎn)睛】本題考察了三角形外角的性質(zhì)，三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確找到判定三角形全等的條件，注意判定兩直角三角形全等可以用HL；此外，三角形外角的性質(zhì)也是中考常考知識點(diǎn)，要熟練掌握． 15．（2018·上海普陀區(qū)·八年級期末）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF． (1)求證：四邊形BFEP為菱形； (2)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動時，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動； ①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(如圖2)，求菱形BFEP的邊長； ②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離． 【答案】（1）證明見解析；（2）①菱形BFEP的邊長為cm；②點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離為2cm． 【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行線的性質(zhì)得出∠BPF＝∠EFP，證出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出結(jié)論； （2）①由矩形的性質(zhì)得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由對稱的性質(zhì)得出CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝4cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝即可； ②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時AE＝4cm；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時四邊形ABQE為正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案． 【詳解】（1）證明：∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ， ∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱， ∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF， 又∵EF∥AB， ∴∠BPF＝∠EFP， ∴∠EPF＝∠EFP， ∴EP＝EF， ∴BP＝BF＝EF＝EP， ∴四邊形BFEP為菱形； （2）①∵四邊形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°， ∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱， ∴CE＝BC＝5cm， 在Rt△CDE中，DE＝＝4cm， ∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm； 在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE， ∴EP2＝12+（3﹣EP）2， 解得：EP＝， ∴菱形BFEP的邊長為； ②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，如圖2： 點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時AE＝1cm； 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，如圖3所示： 點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時四邊形ABQE為正方形，AE＝AB＝3cm， ∴點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離為2cm. 【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．

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初中數(shù)學(xué)滬教版（五四制）（2024）八年級下冊電子課本

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