【回歸教材】
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個 向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a= .其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 .
2.向量與坐標(biāo)的關(guān)系
設(shè)eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，則向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo) 就是終點A的坐標(biāo)；
反過來，終點A的 (x，y)就是向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)．
3.平面向量的坐標(biāo)運算
(1)平面向量的坐標(biāo)運算
設(shè)a=（x1，y1） b=（x2，y2）
則a+b= a-b= λa=
(2)向量的坐標(biāo)求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB= ， |AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
4.向量平行與垂直的條件
設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?a=λb(λ∈R)? =0.
a⊥b?a·b=0? =0
【典例講練】
題型一 平面向量的基本定理及其應(yīng)用
【例1-1】下列各組向量中，不能作為平面的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例1-2】已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底表示，則（ ）
A．B．
C．D．
【例1-3】半徑為1的扇形的圓心角為，點在弧上，，若，則______.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】若是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【練習(xí)1-2】如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，則（ ）
A．B．C．D．2
【練習(xí)1-3】已知點，，是函數(shù)，圖象上的動點，若，則的最大值為______.
題型二 平面向量坐標(biāo)的基本運算
【例2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，點，的坐標(biāo)分別為，（1，4），若點滿足.則點的坐標(biāo)為_____．
【例2-2】已知，，點P是線段MN的一個三等分點且靠近點M，則點P的坐標(biāo)為______．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知向量，，，若，則（ ）
A．1B．C．D．3
【練習(xí)2-2】已知兩點，點在直線上，且滿足，則點的坐標(biāo)為_________.
題型三 平面向量平行與垂直的坐標(biāo)表示
【例3-1】已知向量，，當(dāng)為何值時，
(1)與垂直？
(2)與平行？平行時它們是同向還是反向？
(3)若，，且A、B、C三點共線，求實數(shù)的值．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】設(shè)x，，向量，，，且，，則（ ）
A．B．1C．2D．0
【練習(xí)3-2】已知向量，，，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【完成課時作業(yè)（三十三）】
【課時作業(yè)（三十三）】
A組 礎(chǔ)題鞏固
1．下列各組向量中，可以用來表示向量的是（ ）
A． B．
C．， D．
2．已知向量，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在正方形網(wǎng)格中，向量，滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，若，則角B的大小為（ ）
A．B．C．D．
6．正三角形OAB的邊長為1，動點C滿足，且，則點C的軌跡是（ ）
A．線段B．直線C．射線D．圓
7．已知向量，若，則__________．
8．已知三點、、在一條直線上，點，，且，則點的坐標(biāo)為______.
9．已知兩點M（7，8），N（1，－6），P點是線段MN的靠近點M的三等分點，則P點的坐標(biāo)為________．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．
(1)求點B的坐標(biāo)； (2)求證：．
11．已知，
(1)當(dāng)為何值時，與共線；
(2)若直角三角形中，為直角，，求的值.
B組 挑戰(zhàn)自我
1．在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則xy的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．如圖，扇形的半徑為1，且，點C在弧上運動，
若則的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
3．在直角三角形中，在線段上，，則的最小值為___________.
4．已知中，．以為一邊向外做等邊三角形（如圖所示），
且．
(1)當(dāng)時，求的值；
(2)當(dāng)時，求的值．
第 2 課時 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
編寫：廖云波
【回歸教材】
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a， 有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
2.向量與坐標(biāo)的關(guān)系
設(shè)eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，則向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)(x，y)就是終點A的坐標(biāo)；
反過來，終點A的坐標(biāo)(x，y)就是向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)．
3.平面向量的坐標(biāo)運算
(1)平面向量的坐標(biāo)運算
設(shè)a=（x1，y1） b=（x2，y2）
則a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) λa=(λx1，λy1)
(2)向量的坐標(biāo)求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=(x2-x1，y2-y1)， |AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
4.向量平行與垂直的條件
設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?a=λb(λ∈R)? x1y2-x2y1=0.
a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0
【典例講練】
題型一 平面向量的基本定理及其應(yīng)用
【例1-1】下列各組向量中，不能作為平面的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)基底的定義分別判斷各個選項即可得出答案.
【詳解】
解：對于A，因為兩向量不共線，所以能作為一組基底；
對于B，因為，所以，所以兩向量不能作為一組基底；
對于C，因為兩向量不共線，所以能作為一組基底；
對于D，因為兩向量不共線，所以能作為一組基底.
故選：B．
【例1-2】已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底表示，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出、和，并設(shè)，聯(lián)立方程組求出和即可.
【詳解】
如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，
則，，，
設(shè)向量，
則，
所以.
故選：A
【例1-3】半徑為1的扇形的圓心角為，點在弧上，，若，則______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立直角坐標(biāo)系，由，，可得．由，可得，又，，利用向量相等可得出，，進(jìn)而得解．
【詳解】
建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，
，，
，即
，
，即
，
，解得．
．
故答案為：
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】若是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
不共線的向量能作為基底，逐一判斷選項即可.
【詳解】
不共線的向量能作為基底，
因為，所以向量，共線，故排除A；
假設(shè)，解得，無解，
所以向量，不共線，故B正確；
因為，所以，共線，故排除C；
因為，所以，共線，故排除D，
故選：B
【練習(xí)1-2】如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
法一：構(gòu)建以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸的直角坐標(biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)表示，結(jié)合平面向量基本定理求x、y即可求值；
法二：過C作交AB的延長線于E，作交AD的延長線于F，利用向量加法的平行四邊形法則可得求x、y，進(jìn)而求值；
法三：應(yīng)用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算律、及已知條件構(gòu)建方程求x、y即可.
【詳解】
法一：以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，由，，則且，
又，，即，
∴，
由，有，解得，故.
法二：如圖，過C作交AB的延長線于E，作交AD的延長線于F，
∴.
由，及，易知：B是線段AE的中點，于是.
由，，得，易知，，
∴，則，故，于是，又，
∴，即.
法三：設(shè)，由，，得，，
由，得，又，則.
又，
，
∴，于是，故.
故選：B.
【練習(xí)1-3】已知點，，是函數(shù)，圖象上的動點，若，則的最大值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】
由題可得，然后利用向量的坐標(biāo)關(guān)系可得，然后利用函數(shù)單調(diào)性即得.
【詳解】
由題可知，又，，，
∴，
∴，即
∴，
當(dāng)時，函數(shù)與為增函數(shù)，
所以在為增函數(shù)
∴的最大值為.
故答案為：.
題型二 平面向量坐標(biāo)的基本運算
【例2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，點，的坐標(biāo)分別為，（1，4），若點滿足.則點的坐標(biāo)為_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，解方程組即可求解.
【詳解】
設(shè)，則，，
因，所以，解得，因此點的坐標(biāo)為.
故答案為：.
【例2-2】已知，，點P是線段MN的一個三等分點且靠近點M，則點P的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，根據(jù)即可求出P的坐標(biāo).
【詳解】
由題可知，
設(shè)，則，
，，
∴.
故答案為：.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知向量，，，若，則（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的坐標(biāo)運算列方程求解，即可.
【詳解】
解：由，所以，，解得，，所以，
故選：A．
【練習(xí)2-2】已知兩點，點在直線上，且滿足，則點的坐標(biāo)為___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
分點在線段的反向延長線、點在線段上以及點在線段的延長線上三種情況，結(jié)合平面向量的線性坐標(biāo)運算即可求出結(jié)果.
【詳解】
若點在線段的反向延長線上，又因為，則有，設(shè)，則，所以，解得，即；
若點在線段上，又因為，則有設(shè)，則，所以，解得，即；
若點在線段的延長線上，又因為，則顯然不成立；
故答案為:或.
題型三 平面向量平行與垂直的坐標(biāo)表示
【例3-1】已知向量，，當(dāng)為何值時，
(1)與垂直？
(2)與平行？平行時它們是同向還是反向？
(3)若，，且A、B、C三點共線，求實數(shù)的值．
【答案】(1)
(2)，反向
(3)
【解析】
【分析】
根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示，列方程后解出的值
(1)
向量，，∴，
∵，∴
∴，解得，
∴當(dāng)時，與垂直；
(2)
若與平行，則，解之得，
這時，它們是反向．
(3)
∵A、B、C三點共線，∴，
∴存在實數(shù)，使得，
又與不共線，∴，∴．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】設(shè)x，，向量，，，且，，則（ ）
A．B．1C．2D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
由題知，進(jìn)而解方程即可得答案.
【詳解】
解：因為向量，，，且，，
所以，解得，
所以.
故選：D
【練習(xí)3-2】已知向量，，，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)，可得，再利用同角之間的公式化簡，代入即可得解.
【詳解】
因為向量，，
，即
故選：A
【完成課時作業(yè)（三十三）】
【課時作業(yè)（三十三）】
A組 礎(chǔ)題鞏固
1．下列各組向量中，可以用來表示向量的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在平面向量中能作為基底的充分必要條件是一組不平行的非零向量，按照這個條件逐項分析即可.
【詳解】
對于A， 是零向量，不可以；
對于B， ，是平行向量，不可以；
對于C， ，是平行向量，不可以；
對于D，不存在實數(shù) 使得 成立，是一組不平行的非零向量，可以；
故選：D.
2．已知向量，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計算可得.
【詳解】
解：因為，，，
所以，又，
所以，解得.
故選：B
3．在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．
【詳解】
因為點D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
4．如圖，在正方形網(wǎng)格中，向量，滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量加減法運算法則，得到所求向量為，再由向量減法的三角形法則，以及向量數(shù)乘運算，計算答案.
【詳解】
由題意得，
故選：C.
5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，若，則角B的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量平行列方程，結(jié)合正弦定理求得正確答案.
【詳解】
由于，
所以，
由正弦定理得，
，
，
，
由于，所以，所以，
由于，所以.
故選：B
6．正三角形OAB的邊長為1，動點C滿足，且，則點C的軌跡是（ ）
A．線段B．直線C．射線D．圓
【答案】D
【解析】
【分析】
可以利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)得，即，來確定動點C的軌跡；或者可以利用三角形的特點合理建系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，設(shè)動點C的坐標(biāo)，利用已知條件計算軌跡方程，來確定C的軌跡.
【詳解】
解：方法一：由題可知：，
又
所以，即
所以點C的軌跡是圓.
方法二：由題可知：，
如圖，以O(shè)為原點OB為x軸，過O點與OB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
所以
設(shè) ，
又
所以
整理得：
所以點C的軌跡是圓.
故選：D.
7．已知向量，若，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．
【詳解】
因為，所以由可得，
，解得．
故答案為：．
【點睛】
本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，
，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．
8．已知三點、、在一條直線上，點，，且，則點的坐標(biāo)為______.
【答案】；
【解析】
先設(shè)點，再結(jié)合向量相等的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】
解：設(shè)點，
由，，
則，，
又，
則 ，解得，
即，
故答案為：.
【點睛】
本題考查了向量的坐標(biāo)運算，重點考查了向量相等的坐標(biāo)表示，屬基礎(chǔ)題.
9．已知兩點M（7，8），N（1，－6），P點是線段MN的靠近點M的三等分點，則P點的坐標(biāo)為________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的坐標(biāo)運算即得.
【詳解】
由題意可得，
設(shè)P（x，y），則（－6，－14）＝3（x－7，y－8），
∴，解得
即.
故答案為：.
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．
(1)求點B的坐標(biāo)；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)結(jié)合，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系結(jié)合求解即可；
（2）先求得，再根據(jù)向量平行的性質(zhì)證明即可
(1)
由題意，因為，，故，故，即點B的坐標(biāo)為
(2)
由題意，，又，故，且不共線，故
11．已知，
(1)當(dāng)為何值時，與共線；
(2)若直角三角形中，為直角，，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
(1)
因為，
所以，，
當(dāng) 與 共線時，有；
(2)
因為，
所以，
因為為直角，
所以.
B組 挑戰(zhàn)自我
1．在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則xy的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.
【詳解】
建立如圖所示的直角坐角坐標(biāo)系，過作，垂足為，
因為，
所以有，
，設(shè)，，
因此有
因為，
所以有，
而，
所以，
當(dāng)時，xy有最大值，當(dāng)，或時，xy有最小值，
故選：B
【點睛】
關(guān)鍵點睛：建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運算的坐標(biāo)表示公式是解題的關(guān)鍵.
2．如圖，扇形的半徑為1，且，點C在弧上運動，若則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，可表示出點的坐標(biāo)，根據(jù)向量相等的坐標(biāo)表示，可以用角分別表示出，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)求最值.
【詳解】
依題意，以為原點，以分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)，則，，
，
，，

，
，其中，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
的最大值是.
故選：A.
3．在直角三角形中，在線段上，，則的最小值為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
由題可知，，，設(shè)，則，將模長和數(shù)量積代入由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.
【詳解】
由題可知，，，設(shè)，
則則所以
，
當(dāng)時，的最小值為.
故答案為：.
4．已知中，．以為一邊向外做等邊三角形（如圖所示），且．
(1)當(dāng)時，求的值；
(2)當(dāng)時，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中點，連接，可得出，將用表示，即可得解；
（2）設(shè)，設(shè)，則，利用正弦定理、誘導(dǎo)公式可求得角的值，可得出，求出、的值，即可得解.
(1)
解：取的中點，連接，則，則，
，
因此，，
因此，.
(2)
解：設(shè)，設(shè)，則，
在中，，在中，，
所以，，故，
由已知，則，所以，，
若，則，可得，
解得，不合乎題意；
若，則，可得，
解得，則，此時，所以，，，
因此，.

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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第1課時導(dǎo)數(shù)的概念與運算(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第1課時導(dǎo)數(shù)的概念與運算(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第1課時函數(shù)及其表示(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第1課時函數(shù)及其表示(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第01課時直線方程(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第01課時直線方程(原卷版+解析)
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