新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)講義第十六講等差、等比數(shù)列（2份打包，原卷版+解析版）

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1.數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 與通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0
若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
注意：根據(jù) SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 時，不要忽視對 SKIPIF 1 < 0 的驗(yàn)證．
2.等差數(shù)列
（1）如果等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公差為 SKIPIF 1 < 0 ，那么它的通項(xiàng)公式是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）通項(xiàng)公式的推廣： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）等差中項(xiàng)
若三個數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的等差中項(xiàng)，且有 SKIPIF 1 < 0 ．
（4）等差數(shù)列的性質(zhì)
在等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ．
特別地，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
（5）等差數(shù)列的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和公式
設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ．
（6）在等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，則滿足 SKIPIF 1 < 0 的項(xiàng)數(shù) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，則滿足 SKIPIF 1 < 0 的項(xiàng)數(shù) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
3.等比數(shù)列
（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為 SKIPIF 1 < 0 ，則它的通項(xiàng)公式 SKIPIF 1 < 0 ．
推廣形式： SKIPIF 1 < 0
（2）等比中項(xiàng)：如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，那么 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的等比中項(xiàng)．
即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的等比中項(xiàng) ? SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列 ? SKIPIF 1 < 0 ．
（3）等比中項(xiàng)的推廣．
若 SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 ，特別地，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ．
（4）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0
【典型題型講解】
考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列基本量運(yùn)算
【典例例題】
例1．（2022·廣東汕頭·一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前4項(xiàng)和為15， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】A
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故由題意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
例2．（2022·廣東茂名·一模）已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為 SKIPIF 1 < 0 ，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】．B
【詳解】A選擇中，由 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
B選項(xiàng)中， SKIPIF 1 < 0
C選項(xiàng)中，由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
D選項(xiàng)中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故選：B
【方法技巧與總結(jié)】
等差、等比數(shù)列基本運(yùn)算的常見類型及解題策略：
（1）求公差 SKIPIF 1 < 0 公比 SKIPIF 1 < 0 或項(xiàng)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．在求解時，一般要運(yùn)用方程思想．
（2）求通項(xiàng)． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列的兩個基本元素．
（3）求特定項(xiàng)．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．
（4）求前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和．利用等差數(shù)列的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解．
【變式訓(xùn)練】
1.（2022·廣東深圳·一模）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】．2
【詳解】由題意知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
2．（2022·廣東中山·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 為正項(xiàng)等比數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 為該數(shù)列的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)積，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．8B．16C．32D．64
【答案】C
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C．
3．（2022·廣東潮州·高三期末）等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
4．（2022·廣東汕頭·高三期末）記 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，由題知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
5．（2022·廣東中山·高三期末）在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公差的等差數(shù)列，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為： SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
6.（2022·廣東揭陽·高三期末）在等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分別是方程 SKIPIF 1 < 0 的兩個根，則 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】8
【詳解】根據(jù)韋達(dá)定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，
從而可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：8
7.（2022·廣東潮州·高三期末）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 是其前n項(xiàng)和．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】.62
【詳解】設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，則根據(jù)題意得， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以計(jì)算得 SKIPIF 1 < 0 .
由等比數(shù)列前n項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 得，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前五項(xiàng)和為，
SKIPIF 1 < 0
故答案為：62.
8.（2022·廣東汕尾·高三期末）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】.136
【詳解】由題意得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：136
9．（2022·廣東珠?！じ呷谀┑炔顢?shù)列 SKIPIF 1 < 0 前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求n的最小值．
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2)7
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由題得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以n的最小值是7．
10．（2022·廣東揭陽·高三期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2) SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
（1）
設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，依題意可得
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以 SKIPIF 1 < 0 .
從而可求得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
（2）
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
11．（2022·廣東潮州·高三期末）設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式 SKIPIF 1 < 0 及前n項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 這兩個條件中任選一個補(bǔ)充在第（2）問中，并求解．
(注意:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分)
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若選 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若選 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得：
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
若選 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，兩個等式相減得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
若選 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此有：
SKIPIF 1 < 0 .
12．（2022·廣東東莞·高三期末）設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)在任意相鄰兩項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之間插入 SKIPIF 1 < 0 個1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前200項(xiàng)的和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
（1）
解：設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
方法一：由題意可知， SKIPIF 1 < 0 的各項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 會出現(xiàn)在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前200項(xiàng)中，
所以 SKIPIF 1 < 0 前面（包括 SKIPIF 1 < 0 ）共有126+7=133項(xiàng)，所以 SKIPIF 1 < 0 后面（不包括 SKIPIF 1 < 0 ）還有67個1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
方法二：在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 前面（包括 SKIPIF 1 < 0 ）共有 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 會出現(xiàn)在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前200項(xiàng)中，
所以 SKIPIF 1 < 0 前面（包括 SKIPIF 1 < 0 ）共有126+7=133項(xiàng)，所以 SKIPIF 1 < 0 后面（不包括 SKIPIF 1 < 0 ）還有67個1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
13．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的等差中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)記 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)
設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為q，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
①-②得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022·廣東汕頭·高三期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)
解：設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 公比為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 正項(xiàng)等比數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，適合 SKIPIF 1 < 0 ，
15．（2022·廣東惠州·一模）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求集合A中所有元素的和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)
由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，
∴數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)時 SKIPIF 1 < 0 ，故1，3，5，都是集合A中的元素，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)時 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴2，4，6，8，10，是集合A中的元素，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
考點(diǎn)二：等差、等比數(shù)列的判定或證明
【典例例題】
例1．（2022·廣東·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，其前n項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求證：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，并求出 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式；
(2)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中是否存在連續(xù)三項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.
【答案】．(1)證明見解析， SKIPIF 1 < 0 ；
(1)
依題意，正項(xiàng)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，因此，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
則 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是正項(xiàng)數(shù)列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
不存在，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
假設(shè)存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成等差數(shù)列，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
兩邊同時平方，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，顯然不成立，因此假設(shè)是錯誤的，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中不存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng).
例2．（2022·廣東茂名·一模）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，并證明數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【答案】．(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明見解析 (2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列
(2)
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 也適合上式
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0
數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 .
【方法技巧與總結(jié)】
1.等差、等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列；
2.等差、等比中項(xiàng)證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列。
【變式訓(xùn)練】
1．（多選）（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，公比為 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，下列判斷正確的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列B． SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列
C． SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】．AD
【詳解】A選項(xiàng)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，A正確；
B選項(xiàng)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 沒意義，故B錯誤；
C選項(xiàng)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，等比數(shù)列的任一項(xiàng)都不能為0，故C錯誤；
D選項(xiàng)，由題意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確；
故選：AD.
2．（多選）（2022·廣東深圳·高三期末）已知d為等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差， SKIPIF 1 < 0 為其前n項(xiàng)和，若 SKIPIF 1 < 0 為遞減數(shù)列，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 為遞減數(shù)列B．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】.BD
【詳解】由題意可知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，且遞減，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨舉例如： SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，這三項(xiàng)不構(gòu)成遞減數(shù)列，故A錯；
而 SKIPIF 1 < 0 ,這三項(xiàng)不構(gòu)成等差數(shù)列，說明C錯；
對于B， SKIPIF 1 < 0 ，是關(guān)于n的一次函數(shù)，
因此 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，故B正確；
對于D， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確，
故選：BD.
3．（多選）（2022·廣東佛山·高三期末）數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】．ABD
【詳解】因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 是以1為首項(xiàng)，以 SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由累加法得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)n為奇數(shù)時， SKIPIF 1 < 0 是遞增數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)n為偶數(shù)時， SKIPIF 1 < 0 是遞減數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是以1為首項(xiàng)，以 SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：ABD
4.（2022·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，并求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)證明見解析； SKIPIF 1 < 0 (2)證明見解析.
（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 兩式相減可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
5．（2022·廣東深圳·一模）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的首項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)證明見解析 (2) SKIPIF 1 < 0
（1）
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列．
（2）
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·廣東深圳·高三期末）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)證明：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列；
(2)記 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】．(1)證明見解析 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)
解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列；
(2)
解：由（1），得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，亦滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)槿我?SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ) ，
又因?yàn)?( SKIPIF 1 < 0 )，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
7．（2022·廣東佛山·高三期末）設(shè) SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列.
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)積，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及相應(yīng) SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】．(1)證明見解析；(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
(1)
解：設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列.
(2)
解： SKIPIF 1 < 0 ，所以，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)，以 SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，顯然 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取最大值，且 SKIPIF 1 < 0 .
8.已知數(shù)列{an}滿足 SKIPIF 1 < 0
(1)問數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說明理由；
(2)求證：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，并求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式.
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵a3－a2＝2，a4－a3＝3，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴數(shù)列{an}也不是等比數(shù)列.
(2)證明：∵對任意正整數(shù)n， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
∴數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，
從而對?n∈N*， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
∴數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式是 SKIPIF 1 < 0 (n∈N*).
考點(diǎn)三：等差、等比綜合應(yīng)用
【典例例題】
例1.在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 這兩個條件中，任選一個補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．
已知正項(xiàng)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，_________，求 SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果選擇兩個條件并分別作答，按第一個解答計(jì)分．
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為d，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)選擇①：設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為q，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
選擇②：設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為q，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)等比數(shù)列，正項(xiàng)等比數(shù)列通過對數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．
（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列．
【變式訓(xùn)練】
1.已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 公差不為0，正項(xiàng)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則以下命題中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 公差為 SKIPIF 1 < 0 ，正項(xiàng)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 公比為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （*），
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（*）式為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的兩個解，
記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是一次函數(shù)， SKIPIF 1 < 0 是指數(shù)函數(shù)，
由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)它們同增或同減時，圖象才能有兩個交點(diǎn)，即方程 SKIPIF 1 < 0 才可能有兩解（題中 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，滿足同增減）．
如圖，作出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的圖象，它們在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 時相交，
無論 SKIPIF 1 < 0 還是 SKIPIF 1 < 0 ，由圖象可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B
2.已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是公差不為零的等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 是正項(xiàng)等比數(shù)列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的一次函數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ，圖象中的孤立的點(diǎn)在一條直線上，
而等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式是關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)圖象上，
如圖所示當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，如下圖所示，
當(dāng)公差 SKIPIF 1 < 0 時，如下圖所示，
如圖可知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
3．已知 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 是公比為2的等比數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求集合 SKIPIF 1 < 0 中元素個數(shù)．
【解析】(1)設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即可解得， SKIPIF 1 < 0 ，所以原命題得證．
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，亦即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以滿足等式的解 SKIPIF 1 < 0 ，故集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素個數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ．設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，其前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
5．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的等差中項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)從 SKIPIF 1 < 0 中依次取出第 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)、第 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)、第 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)、…、第 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)，按照原來的順序組成一個新數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的等差中項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【鞏固練習(xí)】
一、選擇題：
1．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，則下列三個數(shù)列：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ，必成等比數(shù)列的個數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 不為等比數(shù)列，①不符合；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必非零且公比為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 也非零且公比為 SKIPIF 1 < 0 ，②符合；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 不為等比數(shù)列，③不符合；
故選：B
2．已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等差數(shù)列，公差不為0，若 SKIPIF 1 < 0 、數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的第2項(xiàng)、數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 、數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的第2項(xiàng)、數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成等比數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
3．已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，由 SKIPIF 1 < 0 ①，可得： SKIPIF 1 < 0 ②，兩式相減得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
故數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是從第二項(xiàng)開始的，公比是2的等比數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故選：C
4．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，命題 SKIPIF 1 < 0 ，命題 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的等比中項(xiàng)，則 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的（ ）條件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的等比中項(xiàng)，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的等比中項(xiàng)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要條件.
故選：A.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則下列選項(xiàng)不正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】對于A：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是奇數(shù)時， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是奇數(shù)時， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 是以首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為1的等比數(shù)列，
即選項(xiàng)A正確；
對于B：由A知：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是奇數(shù)時， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即選項(xiàng)B錯誤；
對于C：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)時， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
故選項(xiàng)C正確；
對于D：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即選項(xiàng)D正確．
故選：B.
選擇題：
6．若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，則（ ）
A．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列
【答案】AD
【解析】設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，A對；
SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 不是等比數(shù)列，B錯；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
此時 SKIPIF 1 < 0 不是等比數(shù)列，C錯；
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 是公比為 SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列，D對.
故選：AD．
7．已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差和首項(xiàng)都不等于0，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】由題設(shè)，若 SKIPIF 1 < 0 的公差和首項(xiàng)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，又公差和首項(xiàng)都不等于0，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故D正確，C錯誤；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故A正確，B錯誤.
故選：AD
8．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn， SKIPIF 1 < 0 ，則有（ ）
A．Sn＝3n－1B．{Sn}為等比數(shù)列
C．a(chǎn)n＝2·3n－1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】依題意 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 符合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為 SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列.
所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯誤.
故選：ABD
三、填空題：
9．在等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為其前n項(xiàng)和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的公比為______．
【答案】１或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】解：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 .
綜上所述：公比 SKIPIF 1 < 0 的值為：１或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：１或 SKIPIF 1 < 0 .
10．設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則λ＝________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
四、解答題：
11.已知公比大于1的等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和．
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 適合該式，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)列，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為2n.
12.已知數(shù)列{ SKIPIF 1 < 0 }滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明{ SKIPIF 1 < 0 }是等比數(shù)列，并求{ SKIPIF 1 < 0 }的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)由題意可得： SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
因此{(lán) SKIPIF 1 < 0 }的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
綜上 SKIPIF 1 < 0 ．
13.已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【解析】(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為q，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （定值）
則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公差為d，
由數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ，
可得方程組 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 ；數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 ．
14.設(shè) SKIPIF 1 < 0 是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的任意 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)之間，都插入 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）個相同的數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，組成數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，記數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)的和為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】(1)解：設(shè)等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
則等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中在 SKIPIF 1 < 0 之前共有 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
則所求的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 .
15.（2022·廣東茂名·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(2)求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為d（d≠0），
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .