題型目錄一覽
一、知識點(diǎn)梳理
1．函數(shù)的極值
函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.
注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號.
②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn).
2．函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．
注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
【常用結(jié)論】
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（3）對于任意的，總存在，使得；
（4）對于任意的，總存在，使得；
（5）若存在，對于任意的，使得；
（6）若存在，對于任意的，使得；
（7）對于任意的，使得；
（8）對于任意的，使得；
（9）若存在，總存在，使得
（10）若存在，總存在，使得．
二、題型分類精講
題型一 求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)
策略方法 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程
【典例1】已知函數(shù)，求函數(shù)的極值.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值
C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值
D．函數(shù)的最小值為
2．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)在處取得極小值，則極小值為（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的極值點(diǎn)為1，且，則的極小值為（ ）
A．B．C．bD．4
4．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的極大值為（ ）
A．-3B．1C．27D．-5
5．（2023·四川·高三專題練習(xí)）函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多選題
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，則下列說法正確的有（ ）
A．的極大值為B．的極小值為
C．的單調(diào)減區(qū)間為D．的值域?yàn)?br>7．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．曲線在處的切線與直線垂直
B．在上單調(diào)遞增
C．的極小值為
D．在上的最小值為
三、填空題
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的極大值點(diǎn)為___________.
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在x＝1處取得極值，則函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)為______．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①；②；③；
④；⑤．
其中正確結(jié)論的序號是__．
四、解答題
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
(2)求函數(shù)的極值．
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)設(shè)a＝0．
①求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
②試問有極大值還是極小值？并說明理由．
(2)若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
題型二 極值、極值點(diǎn)中的參數(shù)問題
【典例1】已知函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在x＝1處取得極值，求a的值．
(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若在和處有極值，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若函數(shù)無極值，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川涼山·三模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）．
A．－1B．0C．1D．2
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的極值點(diǎn)為1和2，且在上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A．4B．C．5D．
6．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，是的一個(gè)極值點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．1C．2D．
二、多選題
7．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在處有極值，且極值為8，則（ ）
A．有三個(gè)零點(diǎn)
B．
C．曲線在點(diǎn)處的切線方程為
D．函數(shù)為奇函數(shù)
8．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)恒有，則的可能取值有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的極小值為2，則______
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若在上存在極值，則數(shù)m的取值范圍為_____．
11．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則______.
12．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若是的極小值點(diǎn)，則的取值范圍是__________.
四、解答題
13．（2023·江西撫州·金溪一中統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)
(1)若，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，函數(shù)在（0，2）上存在小于1的極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：．
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．
(1)已知函數(shù)在處取得極值，求的值；
(2)已知不等式對都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
題型三 求函數(shù)的最值
策略方法
1．求函數(shù)f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟
2．求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝ax＋ln x，其中a為常數(shù)．
(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為－3，求a的值．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為函數(shù)的極值點(diǎn)，則在區(qū)間上的最大值為（ ）（注：）
A．3B．
C．5D．
2．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．0，,e2C．D．
3．（2023·江西撫州·金溪一中統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．1B．eC．D．
4．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，函數(shù)，則（ ）
A．有最小值，有最大值B．無最小值，有最大值
C．有最小值，無最大值D．無最小值，無最大值
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，對任意，，都有不等式成立，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
6．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．
7．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值集合為____________．
8．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，且，則的最小值為__________．
9．（2023·甘肅·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意的恒成立，則整數(shù)的最大值為______.
三、解答題
10．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的值．
11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知.
(1)求的最值；
(2)當(dāng)，時(shí)，若恒成立，求正整數(shù)的最大值.
12．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)證明：曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；
(2)記的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，求使恒成立的的取值范圍.
題型四 最值中的參數(shù)問題
【典例1】已知和有相同的最大值（），求的值；
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）若函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為k，則函數(shù)在上（ ）
A．有極大值，無最小值B．無極大值，有最小值
C．有極大值，有最大值D．無極大值，無最大值
5．（2023·寧夏吳忠·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)的最小值為，是從六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么恒成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若區(qū)間的最小值為且最大值為1，則的值可以是（ ）
A．0B．4C．D．
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)
B．函數(shù)只有極大值而無極小值
C．當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根
D．若當(dāng)時(shí)，，則t的最大值為2
三、填空題
8．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是______．
9．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則______．
四、解答題
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的極值；
(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
11．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)（）.
(1)若的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，求的值；
(2)若存在最大值，求的取值范圍.
12．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
題型五 函數(shù)極值、最值的綜合應(yīng)用
【典例1】已知函數(shù)的最小值為0．求實(shí)數(shù)的值；
【典例2】已知函數(shù)．
(1)證明：
(2)若，求．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意的，成立，則的最大值是（ ）
A．B．C．1D．e
2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·西藏林芝·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)恒有，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．在上是增函數(shù)
B．，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為
C．若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則
D．若，且，則的最大值為
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)，則（ ）
A．存在唯一實(shí)數(shù)，使函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱
B．存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)為單調(diào)函數(shù)
C．任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在最小值
D．任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都存在兩條過原點(diǎn)的切線
三、填空題
7．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則______.
8．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┤簦瑒t的取值范圍是____________.
四、解答題
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明：存在，且時(shí)，.
10．（2023·河北承德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.①求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)
②極值、極值點(diǎn)中的參數(shù)問題
③求函數(shù)的最值
④最值中的參數(shù)問題
⑤函數(shù)極值、最值的綜合應(yīng)用
【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
第16講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（精講）
題型目錄一覽
一、知識點(diǎn)梳理
1．函數(shù)的極值
函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.
注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號.
②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn).
2．函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．
注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
【常用結(jié)論】
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（3）對于任意的，總存在，使得；
（4）對于任意的，總存在，使得；
（5）若存在，對于任意的，使得；
（6）若存在，對于任意的，使得；
（7）對于任意的，使得；
（8）對于任意的，使得；
（9）若存在，總存在，使得
（10）若存在，總存在，使得．
二、題型分類精講
題型一 求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)
策略方法 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程
【典例1】已知函數(shù)，求函數(shù)的極值.
【答案】見詳解.
【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得極值.
【詳解】，定義域?yàn)镽，.
①當(dāng)時(shí)， ， 在R上為增函數(shù)， 無極值.
②當(dāng)時(shí)，令，得， .
當(dāng)， ；當(dāng) ， ；
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在取得極小值，極小值為，無極大值.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值
C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值
D．函數(shù)的最小值為
【答案】C
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定的單調(diào)性，從而比較函數(shù)值的大小及極值情況，對四個(gè)選項(xiàng)作出判斷.
【詳解】由題圖可知，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又a

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