精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2021·山東·冠縣育才雙語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在一張縮印出來(lái)的紙上，一個(gè)三角形的一條邊由原圖中的6cm變成了2cm，則縮印出的三角形的周長(zhǎng)是原圖中三角形周長(zhǎng)的（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·貴州·銅仁學(xué)院附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知E、F分別是△ABC中AB、AC邊上的點(diǎn)，，且AE：AB＝3：5，那么為（ ）
A．3：5B．3：25C．9：25D．9：16
3．（2021·浙江·湖州市第四中學(xué)教育集團(tuán)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且，則三角形ADE周長(zhǎng)與三角形ABC的周長(zhǎng)比是（ ）
A．1：B．1：2C．1：3D．1：4
4．（2022·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在一張復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)三角形的一條邊由原圖中的2cm增加了4cm，則復(fù)印出的三角形的周長(zhǎng)是原圖中三角形周長(zhǎng)的（ ）
A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍
5．（2021·江蘇·宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
6．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)期末）已知∽，和是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，若，，則與的面積比是（ ）
A．：B．：C．：D．：
二、填空題
7．（2021·山東·莘縣甘泉學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE＝2ED，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則等于_____．
8．（2021·貴州·銅仁學(xué)院附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）若△ABC∽，且，若ABC的面積為，則的面積為_(kāi)____．
9．（2022·吉林吉林·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，∠ADE=∠C，四邊形DBCE的面積是△ADE面積的3倍．若DE=3，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)______．
10．（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是△ABC的重心，AD過(guò)點(diǎn)O交BC于D，BE是△ABD的中線，若△ABE的面積是2，則△ABC的面積是_____
三、解答題
11．（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區(qū)北大培文學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）小軍想出了一個(gè)測(cè)量建筑物高度的方法：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖）．設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長(zhǎng)分別為60m、3m，求這座建筑物的高度．
12．（2022·河南·南陽(yáng)市第十九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，E為?ABCD的邊CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BE，交AC于點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)F．求證：．
提升篇
一、填空題
1．（2022·浙江·九年級(jí)單元測(cè)試）中，，，是上的一點(diǎn)，且，設(shè)是某邊上的一點(diǎn)，如果截得的三角形與原三角形相似，且它們的面積比是，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________．
2．（2022·廣東·佛山市南海外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為，則圖中陰影部分的面積等于______．
3．（2022·吉林·測(cè)試·編輯教研五九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過(guò)網(wǎng)（網(wǎng)高1m），而且落在離網(wǎng)4m位置上，則根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可知，球拍擊球的高度h為 _____m．
4．（2021·貴州·銅仁學(xué)院附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，經(jīng)過(guò) _____秒，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似．
5．（2022·浙江·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)作的平行線，分別交于點(diǎn)、交于點(diǎn)；作，交于點(diǎn)，若的面積為18，則的面積為_(kāi)______．
二、解答題
6．如圖，AD是∠BAC的角平分線，交△ABC的邊BC于點(diǎn)D，BH⊥AD，CK⊥AD，垂足分別為H、K，試證明AB·DK=AC·DH．
7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且CF＝BE，連接AC，DF．
(1)求證：四邊形AEFD是矩形；
(2)若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．
8．（2022·浙江·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)為上的點(diǎn)，連接，．
(1)當(dāng)時(shí)，求證：．
(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，在（1）的條件下，求出與滿足的關(guān)系式．
第四章 圖形的相似
4.7 相似三角形的性質(zhì)
精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2021·山東·冠縣育才雙語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在一張縮印出來(lái)的紙上，一個(gè)三角形的一條邊由原圖中的6cm變成了2cm，則縮印出的三角形的周長(zhǎng)是原圖中三角形周長(zhǎng)的（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：∵三角形的一條邊由原圖中的6cm變成了2cm，
∴原三角形與縮印出的三角形是相似比為3：1，
∴原三角形與縮印出的三角形的周長(zhǎng)比為3：1，
∴縮印出的三角形的周長(zhǎng)是原圖中三角形周長(zhǎng)的，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·貴州·銅仁學(xué)院附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知E、F分別是△ABC中AB、AC邊上的點(diǎn)，，且AE：AB＝3：5，那么為（ ）
A．3：5B．3：25C．9：25D．9：16
【答案】D
【分析】根據(jù)，可得△AEF∽△ABC，再相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝
∴＝9：16．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·浙江·湖州市第四中學(xué)教育集團(tuán)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且，則三角形ADE周長(zhǎng)與三角形ABC的周長(zhǎng)比是（ ）
A．1：B．1：2C．1：3D．1：4
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴三角形ADE周長(zhǎng)與三角形ABC的周長(zhǎng)比=．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在一張復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)三角形的一條邊由原圖中的2cm增加了4cm，則復(fù)印出的三角形的周長(zhǎng)是原圖中三角形周長(zhǎng)的（ ）
A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍
【答案】A
【分析】復(fù)印前后的三角形按照比例放大與縮小，因此它們是相似三角形，本題按照相似三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】解：由題意可知，相似三角形的邊長(zhǎng)之比＝相似比＝2：（4+2）＝1：3，
所以周長(zhǎng)之比＝相似比＝1：3，
所以復(fù)印出的三角形的周長(zhǎng)是原圖中三角形周長(zhǎng)的3倍．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方，熟記相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·江蘇·宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【答案】C
【分析】根據(jù)，可得，進(jìn)而得出＝＝，＝，求出AG＝BD，CD＝BD，再求出即可．
【詳解】解：∵，
∴
∴＝，
∵AF：BF＝2：5，
∴＝，
即AG＝BD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD＝BD，
∴＝＝，
∵，
，
∴＝＝，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)期末）已知∽，和是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，若，，則與的面積比是（ ）
A．：B．：C．：D．：
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比，根據(jù)面積比等于相似比的平方即可求解．
【詳解】∽，和是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，，，
兩三角形的相似比為：：：，
則與的面積比是：：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2021·山東·莘縣甘泉學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE＝2ED，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則等于_____．
【答案】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得△DEF∽△BCF，再由AE＝2ED，可得BC=3DE，再由相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC，AD＝BC
∵AE＝2DE
∴AD=BC＝3DE
∵AD∥BC
∴△DEF∽△BCF
∴＝ ，
故答案為: ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·貴州·銅仁學(xué)院附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）若△ABC∽，且，若ABC的面積為，則的面積為_(kāi)____．
【答案】##48平方厘米
【分析】由△ABC∽，且，根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，可得△ABC與的面積比，進(jìn)而可求得答案
【詳解】解：∵△ABC∽，且，
∴，
∴，
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·吉林吉林·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，∠ADE=∠C，四邊形DBCE的面積是△ADE面積的3倍．若DE=3，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)______．
【答案】6
【分析】證明△ADE∽△ACB，可得，即可求解．
【詳解】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵四邊形DBCE的面積是△ADE面積的3倍．
∴，
∴，
∵DE=3，
∴BC=6．
故答案為：6
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是△ABC的重心，AD過(guò)點(diǎn)O交BC于D，BE是△ABD的中線，若△ABE的面積是2，則△ABC的面積是_____
【答案】8
【分析】先根據(jù)BE是△ABD的中線得出，即可得出，求出，根據(jù)點(diǎn)O是△ABC的重心，得出，同理可以得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵BE是△ABD的中線，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)O是△ABC的重心，
∴是△ABC的中線，
∴，
∴，
∴，
即△ABC的面積是8．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了與三角形中線有關(guān)的三角形的面積問(wèn)題，熟練掌握等底同高的三角形面積相等，是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·山東·聊城江北水城旅游度假區(qū)北大培文學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）小軍想出了一個(gè)測(cè)量建筑物高度的方法：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖）．設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長(zhǎng)分別為60m、3m，求這座建筑物的高度．
【答案】33米
【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)．
【詳解】解：由題意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
，
∵小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長(zhǎng)分別為60m、3m，
∴，
解得：AB＝33，
答：這座建筑物的高度為33m．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．結(jié)合平面鏡成像的特點(diǎn)證明兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·河南·南陽(yáng)市第十九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，E為?ABCD的邊CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BE，交AC于點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)F．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，進(jìn)而得出．
【詳解】證明：∵ABCD，
∴△AOB∽△COE．
∴OE：OB=OC：OA；
∵ADBC，
∴△AOF∽△COB．
∴OB：OF=OC：OA．
∴OB：OF=OE：OB，即．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握證線段的乘積相等，通常轉(zhuǎn)化為比例式形式，再證明所在的三角形相似，屬于中考?？碱}型．
提升篇
一、填空題
1．（2022·浙江·九年級(jí)單元測(cè)試）中，，，是上的一點(diǎn)，且，設(shè)是某邊上的一點(diǎn)，如果截得的三角形與原三角形相似，且它們的面積比是，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________．
【答案】2或7.5
【分析】分兩種情況：（1）Q在AC邊上時(shí)，如圖1，作輔助線構(gòu)建高線，先根據(jù)高線平行，利用相似三角形的性質(zhì)求出，利用面積比是1：4列式，可得出AQ的長(zhǎng)；（2）Q在AB邊上時(shí)，如圖2，同理可得出AQ的長(zhǎng)．
【詳解】解：分兩種情況：
（1）在邊上時(shí)，如圖1，過(guò)作于，過(guò)作于，
則，，
∵，
，
，
∴
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（2）在邊上時(shí)，如圖2，過(guò)作于，過(guò)作于，
則，，
，
，
，
∴
，
，
，
，
綜上所述：的長(zhǎng)為2或7.5．
故答案為：2或7.5
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)Q是△ABC某邊上的一點(diǎn)，說(shuō)明點(diǎn)Q不確定在AB或AC上，所以采用分類討論的思想，作高線，根據(jù)三角形面積公式與面積比相結(jié)合，列式得出結(jié)論．
2．（2022·廣東·佛山市南海外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為，則圖中陰影部分的面積等于______．
【答案】
【分析】在網(wǎng)格圖中取點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G，利用平行線分線段成比例即可求出DE，：：，即有：：，則問(wèn)題得解．
【詳解】在網(wǎng)格圖中取點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G，如圖，
結(jié)合網(wǎng)格圖，∵，
∴
∴：：，
∴：：，
∴，，
∵，
∴
∴：：：，
∴：：，
∴：：，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2022·吉林·測(cè)試·編輯教研五九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過(guò)網(wǎng)（網(wǎng)高1m），而且落在離網(wǎng)4m位置上，則根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可知，球拍擊球的高度h為 _____m．
【答案】2
【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)圖形后可知球網(wǎng)所在的線段是三角形的中位線，即可求出答案；
【詳解】由題意簡(jiǎn)化圖片如下：
其中DE=4m，BD=4m，CD=1m，AB=h
∵CD⊥BE，AB⊥BE
∴CD//AB
∴
∵DE=DB
∴
∴
故答案為：2；
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，掌握相關(guān)知識(shí)并熟練使用，同時(shí)注意在解題過(guò)程中需注意的問(wèn)題是本題的解題關(guān)鍵．
4．（2021·貴州·銅仁學(xué)院附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，經(jīng)過(guò) _____秒，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似．
【答案】或
【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)y秒后相似，由于沒(méi)有說(shuō)明對(duì)應(yīng)角的關(guān)系，所以共有兩種情況：△CPQ∽△CBA與△CPQ∽△CAB．
【詳解】解：∵∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，
∴AC＝＝6（cm），
設(shè)經(jīng)過(guò)y秒后，△CPQ∽△CBA，此時(shí)BP=2y，CQ=y．
∵CP=BC-BP=8-2y，CB=8，CQ=y，CA=6．
∵△CPQ∽△CBA，
∴，
∴，
∴y=．
設(shè)經(jīng)過(guò)y秒后，△CPQ∽△CAB，此時(shí)BP=2y，CQ=y．
∴CP=BC-BP=8-2y．
∵△CPQ∽△CAB，
∴，
∴，
∴y=．
所以，經(jīng)過(guò)秒或者經(jīng)過(guò)秒后兩個(gè)三角形都相似，
故答案是：或．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·浙江·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)作的平行線，分別交于點(diǎn)、交于點(diǎn)；作，交于點(diǎn)，若的面積為18，則的面積為_(kāi)______．
【答案】8
【分析】根據(jù)點(diǎn)是的重心，得出，根據(jù)得出，，由，，得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于．
點(diǎn)是的重心，
，
，
，，
，，
，，
，，
，，
．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形重心的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
二、解答題
6．如圖，AD是∠BAC的角平分線，交△ABC的邊BC于點(diǎn)D，BH⊥AD，CK⊥AD，垂足分別為H、K，試證明AB·DK=AC·DH．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由題意，易證得△ABH∽△ACK，△BHD∽△CKD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，則有，，即可得，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠CAK=∠BAH，
∵BH⊥AD，CK⊥AD，
∴∠H=∠AKC=90°，CK∥BH，
∴△ABH∽△ACK，△BHD∽△CKD，
∴，，
∴，
∴AB?DK=AC?DH．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且CF＝BE，連接AC，DF．
(1)求證：四邊形AEFD是矩形；
(2)若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)4
【分析】（1）先證明四邊形AEFD是平行四邊形，再證明∠AEF＝90°即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
（1）
證明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在?ABCD中，且AD＝BC，
∴且AD＝EF．
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四邊形AEFD是矩形；
（2）
解：∵四邊形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴，
∴EC＝2DF＝8，
解法一：∴．
解法二：∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·浙江·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)為上的點(diǎn)，連接，．
(1)當(dāng)時(shí)，求證：．
(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，在（1）的條件下，求出與滿足的關(guān)系式．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用同角的余角相等可知，再結(jié)合可得；
（2）由可得，用a，b表示這四條線段，再化簡(jiǎn)可得．
（1）
證明：連接DF，
四邊形，都是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
，
∵，
．
（2）
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
，，
，
由（1）可知，
，
，
，
即與滿足的關(guān)系式為．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握AA判定三角形的相似是解題的關(guān)鍵．涉及的模型是一線三直角的相似模型，記住常見(jiàn)的幾何模型有助于快速找到思路．

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