1、多加總結(jié)。當(dāng)三年所有的數(shù)學(xué)知識點加在一起，可能會使有些基礎(chǔ)不牢固的學(xué)生犯迷糊。
2、做題經(jīng)驗。哪怕同一題只改變數(shù)字，也能成為一道新的題目。
3、多刷錯題。多刷錯題能夠進(jìn)一步地掃清知識盲區(qū)，多加鞏固之后自然也就掌握了知識點。
對于學(xué)生來說，三輪復(fù)習(xí)就相當(dāng)于是最后的“救命稻草”，家長們同樣是這樣，不要老是去責(zé)怪孩子考試成績不佳，相反，更多的來說，如果能夠陪同孩子去反思成績不佳的原因，找到問題的癥結(jié)所在，更加重要。
【一專三練】 專題17 雙空題小題基礎(chǔ)練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)
分層訓(xùn)練（新高考通用）
1．（2022秋·山東泰安·高三校考期中）設(shè)向量，，則與的夾角為__________，在上的投影向量為__________.
【答案】
【分析】利用向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示即可得到與的夾角，根據(jù)投影向量的概念求解在上的投影向量即可.
【詳解】由題意得，
又因為，，
所以，所以與的夾角為，
在上的投影向量為.
故答案為：，.
2．（2023·安徽·模擬預(yù)測）曲線過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為____________，____________．
【答案】
【分析】分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；
【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求
分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；
解： 因為，
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；
[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
因為是偶函數(shù)，圖象為：
所以當(dāng)時的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.
[方法三]：
因為，
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；.
3．（2022秋·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是奇函數(shù)，則_____，______．
【答案】 ； ．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．
【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關(guān)于原點對稱
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
4．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）已知隨機變量X滿足，，則______，______.
【答案】 2
【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望、方差的計算公式求得正確答案.
【詳解】，
.
故答案為：；
5．（2023秋·河北邢臺·高三邢臺市第二中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為______，所有零點之和為______.
【答案】 4 ##0.5
【分析】先解方程得解和，然后解方程和后可得結(jié)論．
【詳解】由得，滿足題意，，也滿足題意，
，則由得，由得均滿足題意，
由得，由得，均滿足題意，
所以有四個零點：，0，，2，零點的和為．
故答案為：4；．
6．（2022春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，則___________，___________.
【答案】 64
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出，進(jìn)而求出和.
【詳解】因為數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，所以，故.
故答案為：；.
7．（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，為橢圓的左、右焦點，點P為C上一點，則的最小值為__________，的最小值為___________．
【答案】 12 ##0.5
【分析】根據(jù)橢圓定義可得，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解的最小值，結(jié)合基本不等式可求解的最值.
【詳解】橢圓中， 即，
因為 ，所以 ，所以，
又，所以，所以的最小值為12．
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．
故答案為：
8．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知，分別是橢圓C：（）的左，右焦點，B是C的上頂點，過的直線交C于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，與的周長比為，則橢圓的離心率為_________；如果，且，則的面積為_________．
【答案】 ##
【分析】分別求出與的周長，利用周長比可得離心率；求出直線的方程，聯(lián)立可得的坐標(biāo)，利用面積公式可得答案.
【詳解】設(shè)，由題意，的周長為；
因為，所以的周長為，所以，
整理得，平方同除可得，解得.
因為，所以，所以，即橢圓的方程為；
焦點，所以直線的斜率為1，
因為，所以直線的斜率為，即直線的方程為.
聯(lián)立，得，即或；
不妨設(shè)，
所以的面積為.
故答案為： ；.
9．（2023·福建泉州·?？寄M預(yù)測）四棱錐各頂點都在球心為的球面上，且平面，底面為矩形，，，則球的體積是__________；設(shè)、分別是、中點，則平面被球所截得的截面面積為__________.
【答案】
【解析】利用題意知，利用球的體積公式可得結(jié)果；設(shè)球心到平面得距離為，截面圓半徑為，由等體積法即可得，利用勾股定理即可得到，即可得出結(jié)果.
【詳解】
由題設(shè)知球心為中點，
,
則，
∴球直徑，
∴，
設(shè)球心到平面得距離為，截面圓半徑為，
由題設(shè)球心到平面的距離等于點到平面的距離，
由等體積法得，
，
，
求得，
∴，
故截面面積為.
故答案為：，.
【點睛】本題主要考查了球的表面積和體積公式，屬于較易題.
10．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）甲?乙?丙三人參加數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力比賽,他們分別來自A?B?C三個學(xué)校,并分別獲得第一?二?三名:已知:①甲不是A校選手;②乙不是B校選手;③A校選手不是第一名;④B校的選手獲得第二名;⑤乙不是第三名.根據(jù)上述情況,可判斷出丙是___________校選手,他獲得的是第___________名.
【答案】 A 三
【分析】根據(jù)②④⑤說明乙是第一名,根據(jù)③說明乙是C校選手,根據(jù)①說明甲是B校選手,即丙是A校選手,根據(jù)④說明甲是第二名,可得丙是第三名.
【詳解】解:因為乙不是B校選手且B校的選手獲得第二名,
所以乙不是第二名,又因為乙不是第三名,所以乙是第一名,
因為乙不是B校選手且A校選手不是第一名,所以乙是C校選手,
因為甲不是A校選手,所以甲是B校選手,故丙是A校選手,
因為B校的選手獲得第二名,所以甲是第二名,故丙是第三名.
故答案為：A；三.
11．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）若遞增數(shù)列滿足：，，，則實數(shù)的取值范圍為________，記的前項和為，則________.
【答案】
【分析】分類討論，根據(jù)遞推公式可以判斷出數(shù)列的所有奇數(shù)項、偶數(shù)項成等比數(shù)列，結(jié)合遞增數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列前項和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，，所以數(shù)列的所有奇數(shù)項構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列；
同理當(dāng)為偶數(shù)時，數(shù)列的所有偶數(shù)項構(gòu)成首項為，公比為2的等比數(shù)列，
因此要想數(shù)列是遞增數(shù)列，則有，即，
解得.
由等比數(shù)列的前項和公式得：
奇偶.
故答案為：；
【點睛】本題考查了已知數(shù)列單調(diào)性求參數(shù)取值范圍，考查了等比數(shù)列的判定，考查了等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.
12．（2022秋·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）如圖，楊輝三角最早出現(xiàn)于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》．它揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．由此可得圖中第9行從左到右數(shù)第5個數(shù)是______，第9行排在奇數(shù)位置的所有數(shù)字之和為______．
【答案】 126 256
【分析】根據(jù)題意，分析圖中楊輝三角的各行數(shù)字之間的規(guī)律關(guān)系，即可得到答案.
【詳解】由題意得
第0行有1個數(shù)，為1，
第1行有2個數(shù)，依次是、,
第2行有3個數(shù)，依次是、、,
‥‥‥
則第9行有10個數(shù)，其中第5個數(shù)為，
第9行排在奇數(shù)位置的所有數(shù)字之和為.
故答案為：，.
13．（2023春·江蘇南京·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)，若，則___________，___________.
【答案】 4 15
【分析】令結(jié)合條件可得的值，為展開式中含項的系數(shù)，則利用二項式展開式的通項公式分別求出，的展開式中含項的系數(shù)，作差即可得出答案.
【詳解】在中
令，可得
即，解得
的展開式的通項公式為
令，得
的展開式的通項公式為
令，得
所以
故答案為： （1） 4 （2） 15
14．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為1的兩圓，相切于點，的圓心為原點O，的圓心為．若圓沿圓順時針滾動，當(dāng)滾過的弧長為1時，點所在位置的坐標(biāo)為__________，圓上的點A所在位置的坐標(biāo)為__________．
【答案】 ．
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義即可求解；（2）分析角度關(guān)系，邊長關(guān)系，在等腰梯形中求出，進(jìn)而利用三角函數(shù)關(guān)系求值.
【詳解】
由圖可知,滾動過程中,滾動的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓，
當(dāng)滾過的弧長為1時，設(shè)所到位置為，兩圓外切于點,
所以在圓中，,所以rad, 所以rad,
所以根據(jù)三角函數(shù)的定義知
所以當(dāng)滾過的弧長為1時，點所在位置的坐標(biāo)為；
設(shè)滾動后點到達(dá)位置為，
因為rad,,
所以四邊形為等腰梯形，所以，
又因為 所以與 軸正方向的夾角等于，
所以，
.
所以圓上的點A所在位置的坐標(biāo)為，
故答案為: ;.
15．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考三模）已知，且，函數(shù)，若，則___________，的解集為___________.
【答案】
【分析】①直接由代入對應(yīng)解析式求解即可；
②分和，由不同的解析式得到不等式，解不等式取并集即可.
【詳解】①由題可知，，則，即，解得，故.
②當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，恒成立.
故不等式的解集為.
故答案為：；.
16．（2022·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）拋物線的焦點為，則______，過F的直線l與C交于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標(biāo)為1，則______．
【答案】 1 4
【分析】利用拋物線的定義及點差法可得，，即得.
【詳解】∵拋物線的焦點為，
所以，設(shè)，，則，，
又AB的中點為，直線l的斜率為k，
所以，
所以，
故，故．
故l的方程為，所以．
故．
故答案為：1；4.
17．（2022·廣東韶關(guān)·?？寄M預(yù)測）若中的系數(shù)為，則____________；二項展開式中系數(shù)最大的項為___________．
【答案】 ##0.25
【分析】利用二項展開式的通項公式求解.
【詳解】解：因為的展開式中的系數(shù)為，
即，得，
所以，
最大項一定是k為偶數(shù)時，時，系數(shù)為時，系數(shù)為時，系數(shù)為時，系數(shù)為1，
所以時系數(shù)最大，最大項為．
故答案為：，
18．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足且，則______，數(shù)列的通項______．
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)題意得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得，得到，利用，結(jié)合“疊加法”，即可求得.
【詳解】由題意，數(shù)列滿足，
設(shè)，則，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，
所以，即，
所以，
當(dāng)時，
可得，
其中也滿足，
所以數(shù)列的通項公式為.
故答案為：；.
19．（2022春·江蘇揚州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，若，，則_________；若，，則________.
【答案】 85
【分析】對于第一空，直接根據(jù)遞推公式代入計算可得；
對于第二空，依題意可得，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而求出數(shù)列的通項公式；
【詳解】解：因為，當(dāng)，時，所以，，；
當(dāng)，時，則，又，所以，即
故答案為：；；
20．（2022秋·江蘇鹽城·高三阜寧縣東溝中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在的展開式中，所有項系數(shù)之和為________；展開式中系數(shù)最大項的系數(shù)為________．
【答案】 1024 120
【分析】利用賦值法計算可得所有項系數(shù)之和，確定每個二項式展開式的系數(shù)最大項的系數(shù)，即可計算作答.
【詳解】依題意，所有項系數(shù)和；
展開式系數(shù)最大的項為，展開式系數(shù)最大的項為，
所以系數(shù)最大項的系數(shù)為120.
故答案為：1024；120
21．（2023春·江蘇南京·高三?？奸_學(xué)考試）已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，且，則________；設(shè)點是拋物線上的任意一點，點是的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，則的最大值為________.
【答案】 ##1.5
【分析】空1：設(shè)直線聯(lián)立方程可得，根據(jù)題意可得，代入可解得；空2：根據(jù)拋物線定義取到最大值即最小，此時直線與拋物線相切，利用導(dǎo)數(shù)求切線分析求解．
【詳解】設(shè)過點的直線為，
聯(lián)立方程消去得，可得
∵，則可得：，可得，解得
過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則可得
若取到最大值即最小，此時直線與拋物線相切
，即，則
設(shè)，則切線斜率，切線方程為
切線過，代入得，解得，即
則，即
則的最大值為
故答案為：；．
22．（2022春·江蘇揚州·高三揚州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，，，則______；的前2022項和為______．
【答案】 2024
【分析】求出數(shù)列前若干項，根據(jù)其周期性可解.
【詳解】由，得，又，
所以，，，，，
可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為4，
故.
故答案為：；2024.
23．（2022·江蘇·模擬預(yù)測）過拋物線的焦點作圓的切線，切點為.若，則________________，_______________.
【答案】
【分析】利用切線長公式可得，然后利用兩點間距離公式可得.
【詳解】由題可知拋物線的焦點為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，
所以.
由，
解得或.
又，所以.
故答案為：，.
24．（2023秋·吉林松原·高三前郭爾羅斯縣第五中學(xué)?？计谀┮阎€C由拋物線及拋物線組成，，，D，E是曲線C上關(guān)于x軸對稱的兩點，A，B，D，E四點不共線，其中點D在第一象限，則四邊形ABED周長的最小值為____________，此時直線AD的斜率為____________．
【答案】 ##0.5
【分析】根據(jù)等腰梯形的周長以及拋物線的焦半徑得周長為，進(jìn)而根據(jù)三點共線即可求解最小值.
【詳解】設(shè)拋物線的焦點為,,則，根據(jù)對稱可知四邊形ABED為等腰梯形，所以四邊形ABED周長為當(dāng)三點共線時取等號，而,
故周長的最小值為，此時,
故答案為：，
25．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個袋子里裝有4個紅球3個白球3個藍(lán)球，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.則第一次摸到紅球的概率是_______，第一次沒有摸到紅球且第二次摸到紅球的概率是_______.
【答案】 ##
【分析】第一空，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案；第二空，根據(jù)全概率公式結(jié)合條件概率的計算即可求得答案.
【詳解】設(shè)Hi表示“第i次摸到紅球”，Bi表示“第i次摸到白球”，Li表示“第i次摸到藍(lán)球”，，
則第一次摸到紅球的概率為；
第一次沒有摸到紅球第二次摸到紅球包括第一次摸到白球第二次摸到紅球，和第一次摸到藍(lán)球第二次摸到紅球，
所以所求概率為 ，
故答案為：.
26．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)之比是，則______，展開式的常數(shù)項為______．（用數(shù)字作答）
【答案】 9
【分析】空1：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)得，解出即可；
空2：由題化簡得其展開式的通項為，令，解出值，代回即可得到其常數(shù)項.
【詳解】由題意得，即，解得．
展開式的通項為．
令，解得，故展開式中的常數(shù)項為．
故答案為：9；.
27．（2023·云南·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”．它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強率．由，取3為弱率，4為強率，得，故為強率，與上一次的弱率3計算得，故為強率，繼續(xù)計算，……．若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推，已知，則________；________．
【答案】 6
【分析】根據(jù)題意不斷計算即可解出．
【詳解】因為為強率，由可得，，即為強率；
由可得，，即為強率；
由可得，，即為強率；
由可得，，即為強率，所以；
由可得，，即為弱率；
由可得，．
故答案為：6；．
28．（2023·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）古希臘偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于敘拉古城，在其輝煌的職業(yè)生涯中，最令他引以為傲的是記錄在《論球和圓柱》中提到的：假設(shè)一個圓柱外切于一個球，則圓柱的體積和表面積都等于球的一倍半（即）．現(xiàn)有球與圓柱的側(cè)面與上下底面均相切（如圖），若圓柱又是球的內(nèi)接圓柱，設(shè)球，圓柱的表面積分別為，體積分別為，則__________；_________．
【答案】
【分析】設(shè)相關(guān)的量，利用題所給的條件進(jìn)行分析計算即可.
【詳解】設(shè)球O的半徑為r，體積為，表面積為，
則圓柱的底面半徑為r，高為，球半徑為，
由阿基米德得出的結(jié)論，
又球O與球的半徑比為，
所以，
所以.
故答案為：；.
29．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知圓與圓交于A，B兩點，則直線的方程為______；的面積為______.
【答案】
【分析】兩圓相減得到相交弦方程，即直線的方程，求出圓心，得到到直線的距離，利用垂徑定理得到，得到三角形面積.
【詳解】兩圓相減得：，化簡得：，故直線的方程為，
圓變形得到，圓心，半徑為2，
故圓心到直線的距離為，
由垂徑定理得：，
故的面積為.
故答案為：，.
30．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，若一個隨機變量X服從某正態(tài)分布，且已知函數(shù)的圖象及部分重要點的坐標(biāo)如圖，則該組隨機變量的數(shù)學(xué)期望______________，方差______________．
【答案】 5 1
【分析】利用正態(tài)分布密度曲線求得即可求期望和方差.
【詳解】由圖可知，當(dāng)時，有最大值為，
所以，
所以，所以，，
故答案為:5;1.

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