1、多加總結(jié)。當三年所有的數(shù)學知識點加在一起，可能會使有些基礎(chǔ)不牢固的學生犯迷糊。
2、做題經(jīng)驗。哪怕同一題只改變數(shù)字，也能成為一道新的題目。
3、多刷錯題。多刷錯題能夠進一步地掃清知識盲區(qū)，多加鞏固之后自然也就掌握了知識點。
對于學生來說，三輪復(fù)習就相當于是最后的“救命稻草”，家長們同樣是這樣，不要老是去責怪孩子考試成績不佳，相反，更多的來說，如果能夠陪同孩子去反思成績不佳的原因，找到問題的癥結(jié)所在，更加重要。
【一專三練】 專題15 解析幾何小題基礎(chǔ)練-新高考數(shù)學復(fù)習分層訓練（新高考通用）
一、單選題
1．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）已知F為拋物線的焦點，A為C上的一點，中點的橫坐標為2，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)中點的橫坐標求出點橫坐標，進而由焦半徑公式求出答案.
【詳解】由題意得：，準線方程為，
設(shè)，則中點的橫坐標為，
故，解得：，
由拋物線的焦半徑可知：.
故選：B
2．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）條件
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用集合法進行求解.
【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，解得或.
即.
因為是的真子集，
所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.
故選：B．
3．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）設(shè)直線與拋物線交于A，B兩點，M是線段AB的中點，則點M的橫坐標是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】直接聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消y整理得，利用韋達定理以及中點坐標公式即可得解．
【詳解】聯(lián)立，消y整理得，
則，所以．
故選：B．
4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的半焦距為，若，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由解出，再由離心率公式計算即可.
【詳解】由，解得，即的離心率為.
故選：C
5．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知橢圓的右焦點為，點P，Q在直線上，，O為坐標原點，若，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算公式和離心率公式求解.
【詳解】依題意，設(shè)，，則，
又，
兩式做差可得即，
所以.
故選；B
6．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知為雙曲線的左焦點，為其右支上一點，點，則周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)雙曲線的右焦點為，由雙曲線方程可求出，b，c的值，利用雙曲線的定義以及三點共線即可求出的周長的最小值．
【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，由雙曲線的方程可得：，則，
所以，且，所以，
的周長為，
當且僅當M，P，A三點共線時取等號，
則周長的最小值為．
故選：B．
7．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C的中心位于坐標原點，焦點在坐標軸上，且虛軸比實軸長.若直線與C的一條漸近線垂直，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)條件得到漸近線方程為，分類討論雙曲線焦點在軸和軸的情況，求出即可.
【詳解】解：根據(jù)漸近線與直線垂直可得漸近線方程為，
當雙曲線的焦點在軸上時漸近線為，即，
因為雙曲線的虛軸比實軸長，故不符合題意，舍去，
當雙曲線的焦點在軸上時漸近線為，即，滿足虛軸比實軸長，
所以，解得或（舍去），
所以.
故選：C．
8．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┰O(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)直線關(guān)于直線的對稱性求出直線AB關(guān)于對稱的直線方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系計算即可求解.
【詳解】由題意知，直線AB的斜率為，
所以直線AB關(guān)于對稱的直線的斜率為，
故對稱直線的方程為，即，
由知，圓心為，半徑為1，
因為對稱直線與圓有公共點，
所以，整理，得，
解得，即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：A.
二、多選題
9．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，雙曲線上一點P滿足PA=2，則PF的長度可能為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】AB
【分析】設(shè)，根據(jù)點P在雙曲線上且PA=2，則可求得的值，從而可求得的值，進而可求得PF的長度．
【詳解】設(shè)，則，，，
則，得或，
當時，，此時，
當時，，此時．
故選：AB．
10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知曲線：，：，則（ ）
A．的長軸長為B．的漸近線方程為
C．與的離心率互為倒數(shù)D．與的焦點相同
【答案】BC
【分析】將曲線，化為標準方程，可知分別表示橢圓與雙曲線，結(jié)合它們的幾何性質(zhì)逐項判斷即可．
【詳解】曲線整理得，則曲線是焦點在軸上的橢圓，
其中，所以，離心率為，
故曲線的長軸長，故A錯誤；
曲線整理得，則曲線是焦點在軸上的雙曲線，
其中，所以，離心率為，
的漸近線方程為，即，故B正確；
，所以與的離心率互為倒數(shù)，故C正確；
的焦點在軸上，的焦點在軸上，焦點位置不同，故D錯誤．
故選：BC.
11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若橢圓的某兩個頂點間的距離為4，則m的可能取值有（ ）
A．B．C． D．2
【答案】BCD
【分析】討論兩頂點的位置，由橢圓的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解.
【詳解】由題意可知，，
若這兩個頂點為長軸的兩個端點時，；
若這兩個頂點為短軸的兩個端點時，；
若一個頂點短軸的端點，另一個為長軸的端點時，；
故選：BCD
12．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓E上，則（ ）
A．點在x軸上B．橢圓E的長軸長為4
C．橢圓E的離心率為D．使得為直角三角形的點P恰有6個
【答案】BC
【分析】根據(jù)橢圓的方程可判斷橢圓焦點的位置，以及求出長軸的長，計算出離心率，判斷A，B，C；結(jié)合向量的坐標運算判斷為銳角，根據(jù)橢圓對稱性可判斷D.
【詳解】由題意的長半軸長，短半軸長，焦半距，
橢圓的焦點在y軸上，A錯誤；
橢圓E的長軸長為，B正確；
橢圓E的離心率為，C正確；
橢圓的右頂點，焦點，
所以，
則，即為銳角，
故根據(jù)橢圓的對稱性可知，使得為直角三角形的點P恰有4個（以或為直角），D錯誤．
故選：BC．
13．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的方程為，則（ ）
A．漸近線方程為B．焦距為
C．離心率為D．焦點到漸近線的距離為8
【答案】BC
【分析】A選項，先判斷出雙曲線焦點在軸上，利用公式求出漸近線方程；
B選項，求出，得到焦距；
C選項，根據(jù)離心率公式求出答案；
D選項，利用點到直線距離公式進行求解.
【詳解】焦點在軸上，故漸近線方程為，A錯誤；
，故，故焦距為，B正確；
離心率為，C正確；
焦點坐標為，故焦點到漸近線的距離為，D錯誤.
故選：BC
14．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知圓：與圓：，則下列說法正確的是（ ）
A．若圓與x軸相切，則
B．直線與圓始終有兩個交點
C．若，則圓與圓相離
D．若圓與圓存在公共弦，則公共弦所在的直線方程為
【答案】BC
【分析】選項A：若圓與x軸相切，則等于圓的半徑；
選項B：直線恒過定點，點在圓內(nèi)部，故直線與圓始終有兩個交點；
選項C：利用圓心距與半徑之和的關(guān)系，判斷兩圓是否外離；
選項D：若圓與圓有公共弦，聯(lián)立兩個圓的方程可得公共弦所在的直線方程為．
【詳解】對于選項A：圓：，半徑為2，若圓與x軸相切，則，故A錯誤；
對于選項B：直線，即，恒過定點，
又由，則點在圓內(nèi)部，故直線與圓始終有兩個交點，故B正確；
對于選項C：若，圓為，其圓心為，半徑，
圓：，其圓心為，半徑，
圓心距，兩圓外離，故C正確；
對于選項D：若圓與圓有公共弦，聯(lián)立兩個圓的方程可得
即公共弦所在的直線方程為，故D錯誤．
故選：BC．
15．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知曲線，則下列說法正確的是（ ）
A．若曲線表示兩條平行線，則
B．若曲線表示雙曲線，則
C．若，則曲線表示橢圓
D．若，則曲線表示焦點在軸的橢圓
【答案】BD
【分析】根據(jù)曲線的形狀求出參數(shù)的取值范圍，逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】對于A選項，若曲線表示兩條平行線，則有或，且.
若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，
若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，
故A錯；
對于B選項，若曲線表示雙曲線，則，
由于且，則，可得，則，B對；
對于C選項，若曲線表示橢圓，則，解得且，C錯；
對于D選項，若，則，則，
曲線的方程可化為，
此時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，D對.
故選：BD.
16．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓，圓，下列說法正確的是（ ）
A．若，則圓與圓相交
B．若，則圓與圓外離
C．若直線與圓相交，則
D．若直線與圓相交于，兩點，則
【答案】AC
【分析】根據(jù)直線與圓相交、圓與圓位置關(guān)系逐項判斷即可.
【詳解】解：圓的圓心，半徑
若，，則圓心，半徑，則，
所以，則圓與圓相交，故A正確，B錯誤；
若直線與圓相交，則圓心到直線的距離，解得，故C正確；
若直線與圓相交于，兩點，則圓心到直線的距離，所以相交弦長，故D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
17．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知O為坐標原點，在拋物線上存在兩點E，F(xiàn)，使得是邊長為4的正三角形，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線的對稱性以及邊長可得，進而代入拋物線方程即可求解.
【詳解】根據(jù)拋物線的對稱性可知：由為等邊三角形，所以關(guān)于坐標軸對稱，由,，所以,將代入可得，
故答案為：
18．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知，分別是雙曲線的左右焦點，且C上存在點P使得，則a的取值范圍是________．
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合條件可得，，進而可得，即得.
【詳解】因為，雙曲線，
又，
所以，，
又，
解得，
即a的取值范圍是.
故答案為：.
19．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知拋物線和橢圓相交于兩點，且拋物線的焦點也是橢圓的焦點，若直線過點，則橢圓的離心率是__________．
【答案】##
【分析】由題意可判斷為拋物線和橢圓的通徑，通過通徑的公式可求出的值，進而求出橢圓的離心率.
【詳解】顯然，由對稱性易知為雙通徑，
所以，
所以．
故答案為：.
20．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）直線與雙曲線相交于A，B兩點，且A，B兩點的橫坐標之積為9，則離心率=______.
【答案】##
【分析】設(shè)出點的坐標，利用橫坐標之積求出坐標，代入雙曲線方程求出a，進一步求出離心率
【詳解】由A，B兩點在直線上，設(shè)，
因為A，B兩點關(guān)于原點對稱，所以，
由A，B兩點的橫坐標之積為9得，解得，所以，
代入雙曲線方程得，所以，
所以，所以離心率為.
故答案為：
21．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知圓，設(shè)直線與兩坐標軸的交點分別為，若圓上有且只有一個點滿足，則的值為__________.
【答案】##
【分析】根據(jù)可得在的垂直平分線上，且垂直平分線與圓相切可求解.
【詳解】在的垂直平分線上，
所以中垂線的斜率為，
的中點為，由點斜式得，
化簡得，
在圓滿足條件的有且僅有一個，
直線與圓相切，
，
故答案為: .
22．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知圓，過點的直線l交圓C于A，B兩點，點P在圓C上，若，，則________
【答案】
【分析】根據(jù)向量的加減法運算可得，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得即可求解.
【詳解】
易知圓心，半徑，取中點D，則，
因為，
所以，
所以，則，
又，
所以即，
故.
故答案為:.
23．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點為F，點Р是其準線上一點，過點P作PF的垂線，交y軸于點A，線段AF交拋物線于點B.若PB平行于軸，則AF的長度為____________.
【答案】3
【分析】根據(jù)題意分別設(shè)出點的坐標，根據(jù)可建立變量之間的等式，再根據(jù)A、B、F在一條直線上，可再建立一個等式，兩等式聯(lián)立求出點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求得結(jié)果.
【詳解】解：因為拋物線，所以，
根據(jù)題意不妨設(shè)，，，
因為，所以，
即，解得，即①，
因為A、B、F三點共線，所以，
即，即，即②，
①除以②可得，，即，即，
將代入①中可得,即，
解得（舍）或，所以，
代入中可得，所以.
故答案為：3
24．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓M滿足與直線和圓都相切，且直線MN與l垂直，請寫出一個符合條件的圓M的標準方程________________________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】不妨設(shè)圓與圓外切，根據(jù)直線與垂直，可得圓的縱坐標，由兩圓的位置關(guān)系列出橫坐標和半徑的等量關(guān)系，求解可得圓的一個方程.
【詳解】由條件可知：直線與圓相離，不妨設(shè)圓與圓外切，
設(shè)，半徑為，
因為直線與垂直，所以，
則有，解得：，
所以圓的標準方程為：.
故答案為：
25．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）過拋物線焦點F的射線與拋物線交于點A，與準線交于點B，若，則p的值為______.
【答案】3
【分析】作出輔助線，結(jié)合焦半徑公式和求出答案.
【詳解】過點作準線于點M，則，
∵，
∴，
由可得：，即，
解得：，
故答案為：3
26．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若兩條直線與圓的四個交點能構(gòu)成矩形，則____________.
【答案】8
【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個交點構(gòu)成矩形，
則可知圓心到兩直線的距離相等，
由圓的圓心為：，
圓心到的距離為：
，
圓心到的距離為：
，
所以，
由題意，
所以，
故答案為：8.
27．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）過四點、、、中的三點的一個圓的方程為______（寫出一個即可）.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用圓的一般式方程求過三點的圓.
【詳解】過，，時，設(shè)圓的方程為，
則，解得，
圓的方程是：，即；
同理可得：
過、、時，圓的方程是：；
過，，時，圓的方程是：；
過，，時，圓的方程是：.
故答案為：.（、、、寫其中一個即可）
28．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，等邊三角形的邊所在直線斜率為，則邊所在直線斜率的一個可能值為___________.
【答案】或
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和直線的傾斜角與斜率的關(guān)系以及兩角和與差的正切公式，得出邊所在直線斜率.
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由已知得，設(shè)直線的傾斜角為，
則，因為在等邊三角形中，，所以，
當，，
所以
當，，
所以
綜上，或，
故答案為：或
29．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知動圓經(jīng)過點及原點,點是圓與圓的一個公共點,則當最小時,圓的半徑為___________.
【答案】5
【分析】利用兩圓的位置關(guān)系確定兩圓內(nèi)切時最小,根據(jù)位置關(guān)系可得圓的半徑.
【詳解】如圖:
記圓半徑為R,,則,,
所以,
當最小時,最大,此時兩圓內(nèi)切.
由已知設(shè)動圓的圓心為,
又圓心可得
即,
解得,所以,即圓的半徑為5.
故答案為:5.
30．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，是橢圓C的兩個焦點，點M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓的離心率為__________．
【答案】##.
【分析】先結(jié)合橢圓的定義表示出，化簡后結(jié)合的范圍可求出的最值，然后列方程可表示出的關(guān)系，從而可求出橢圓的離心率.
【詳解】因為，
所以，
所以當時，取得最大值，
因為，所以的最小值為，
因為的最大值是它的最小值的2倍，
所以，
所以，所以，
所以橢圓的離心率為，
故答案為：.

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