【考前50天】最新高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練專題17 雙空題小題（拔高版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、多加總結(jié)。當(dāng)三年所有的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)加在一起，可能會使有些基礎(chǔ)不牢固的學(xué)生犯迷糊。
2、做題經(jīng)驗(yàn)。哪怕同一題只改變數(shù)字，也能成為一道新的題目。
3、多刷錯題。多刷錯題能夠進(jìn)一步地掃清知識盲區(qū)，多加鞏固之后自然也就掌握了知識點(diǎn)。
對于學(xué)生來說，三輪復(fù)習(xí)就相當(dāng)于是最后的“救命稻草”，家長們同樣是這樣，不要老是去責(zé)怪孩子考試成績不佳，相反，更多的來說，如果能夠陪同孩子去反思成績不佳的原因，找到問題的癥結(jié)所在，更加重要。
【一專三練】專題17 雙空題小題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)
分層訓(xùn)練（新高考通用）
1．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則公共弦所在的直線方程為______，______.
【答案】； 2
【分析】先求出公共弦方程，再利用幾何法求弦長.
【詳解】由圓與圓，可得公共弦所在的直線方程為：，即.
因?yàn)閳A的圓心，半徑為，
所以圓心到直線的距離為1，所以.
故答案為：；2.
2．（2023春·江蘇南京·高三南京市第五高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，且，則__________，在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________.
【答案】
【分析】①根據(jù)平面向量垂直的判定條件求解的值即可；
②首先根據(jù)投影的計(jì)算公式求出在方向上的投影，進(jìn)而求出在方向上的投影向量.
【詳解】①已知，，由于，所以，解得；
②由①知：，，得，
則，，
故在方向上的投影為，
得在方向上的投影向量為.
故答案為：；
3．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）用總長的鋼條制作一個長方體容器的框架，若所制容器底面一邊的長比另一邊的長多1，則最大容積為__________；此時容器的高為__________.
【答案】 ##0.5625 ##0.75
【分析】設(shè)出容器底面的長和寬，寫出容器體積的表達(dá)式，求出表達(dá)式的單調(diào)性，即可求出最大容積和對應(yīng)的容器的高.
【詳解】由題意，
設(shè)容器底面的長?寬分別為，
則，容器的高為.
記容器的體積為，
則，
∴，
當(dāng)時，解得：，
∴當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴，此時高為.
故答案為：；.
4．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知的頂點(diǎn)，點(diǎn)，均在拋物線上.若，的中點(diǎn)也在上，的中點(diǎn)為，則______，的面積______.
【答案】 ## ##
【分析】先利用點(diǎn)在曲線上構(gòu)造出一元二次方程，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長和的面積.
【詳解】不妨設(shè)，，
則的中點(diǎn)在上，
所以，整理得，
又的中點(diǎn)在上，
所以，整理得，
所以，是方程的兩根，則，
所以，，
則，
的面積
故答案為：；
5．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中校考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若對任意，等式恒成立，則_______，k=_________
【答案】 ##0.5 ##0.25
【分析】由，可得當(dāng)時，有，兩式相減，整理得，從而得數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，，所以，進(jìn)而得，即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時，有，
兩式相減得，
即有，
整理得：，
所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，
，
則，
所以，
又因?yàn)閷θ我猓仁胶愠闪ⅲ?br>所以，
解得，
所以.
故答案為：.
6．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)，對任意的時，都有，則______，函數(shù)的最小值是______.
【答案】－1 －36
【分析】易得，是的兩個零點(diǎn)，由可得，也是的兩個零點(diǎn)，代入即可求出；令通過換元將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題即可.
【詳解】依題意，
因?yàn)椋?br>則，是的兩個零點(diǎn)，
又，則，也是的兩個零點(diǎn)，
故，則，故；
又，故，
令，則或，故，
對稱軸是，故當(dāng)時，即時，函數(shù)取得最小值－36.，
故答案為：-1；-36.
7．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知正四棱錐的所有棱長都為1，點(diǎn)在側(cè)棱上，過點(diǎn)且垂直于的平面截該棱錐，得到截面多邊形，則的邊數(shù)至多為__________，的面積的最大值為__________.
【答案】
【分析】空1，數(shù)形結(jié)合，作平面與平面平行，即可解決；空2，令，得，，得，，得，即可解決.
【詳解】取中點(diǎn)
平面，
作平面與平面平行，如圖至多為五邊形.
令，
，
，
所以，
所以
所以,
因?yàn)榕c的夾角為與夾角，而與垂直，
所以，
當(dāng)時，取最大值.
故答案為：；
8．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，，則______，______．
【答案】
【分析】設(shè)，，得到，利用累乘法求出，結(jié)合，求出，，裂項(xiàng)相消法求和得到答案.
【詳解】設(shè)，，
∴，
∴，
故，，
∴，
，
以上個式子相乘得：，，
又因?yàn)?，所以?br>∴，，
∴，，，
，
∴
．
故答案為：，．
9．（2023秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則__________；若P是圓C上的一點(diǎn)，則面積的最大值是__________．
【答案】
【分析】（1）先求圓心到直線的距離，然后結(jié)合垂徑定理算出弦長即可；
（2）結(jié)合上一空，三角形底邊長一定，求出圓上一點(diǎn)到直線的距離的最大值，即可得到三角形面積的最大值．
【詳解】由題意可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
則圓心到直線的距離，故；
因?yàn)槭菆A上的一點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為，
所以面積的最大值是．
故答案為：；．
10．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）三棱錐中，，，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，的面積為，則AB與平面BCD所成角的正弦值為______，此三棱錐外接球的體積為______．
【答案】 ## ##
【分析】設(shè)平面，垂足為，可證得在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為，，從而可求得，利用三角形面積公式可求得，結(jié)合已知條件與余弦定理，勾股定理可證得，從而為外接球直徑，利用球的體積計(jì)算即可．
【詳解】設(shè)平面，垂足為，如圖，
過作于點(diǎn)，過作于，連接，
由平面，平面，得，
又，平面，平面，
平面，得，同理，
從而均為直角三角形，
∵，，
∴，則在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為．
∵，
∴，
又，
，即，則AB與平面BCD所成角的正弦值為，
又，解得，
又，
，
，同理，
，為外接球直徑，
三棱錐外接球的體積為．
故答案為：，.
11．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為.①若，則直線的斜率______，②的取值范圍是______.
【答案】
【分析】根據(jù)橢圓方程求出和，設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，得和，根據(jù)三角形的面積求出和，①若，結(jié)合和，求出后可得直線的斜率；②利用和，將表示為的函數(shù)，然后換元可求出的取值范圍.
【詳解】由可得，，所以，即，，
設(shè)直線，，，
聯(lián)立，消去并整理得，恒成立，
則，，
依題意可得，得，即，即，同理可得，
①若，則，即，又，所以，
又，所以，即，，
代入到，得，得，
所以直線的斜率為.
②由①知，，，，
所以
，
令，則，則，
令，，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，所以，所以，
所以.
故答案為：；.
12．（2023·遼寧·新民市第一高級中學(xué)校聯(lián)考一模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓：，則的蒙日圓的方程為______；若過圓上的動點(diǎn)作的兩條切線，分別與圓交于，兩點(diǎn)，則面積的最大值為______．
【答案】 12
【分析】根據(jù)蒙日圓的定義，可知點(diǎn)一定在蒙日圓上，可求得蒙日圓的半徑，進(jìn)而求得蒙日圓的方程；因?yàn)椋?，都在圓上，且，所以為圓的直徑，顯然，圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為圓的半徑，進(jìn)而求解.
【詳解】由題意可知，點(diǎn)一定在蒙日圓上，
所以蒙日圓的半徑，
所以蒙日圓的方程為．
因?yàn)?，，都在圓上，且，
所以為圓的直徑，所以，
顯然，圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為圓的半徑，
故面積的最大值為．
故答案為：；12.
13．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD為菱形，，，，且平面ABCD，四邊形BEFG是正方形，則______；異面直線AG與DE所成角的余弦值為______．
【答案】 ##
【分析】根據(jù)線面垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解距離及異面直線所成角的余弦值.
【詳解】由四邊形為菱形，，可得為正三角形，
設(shè)為的中點(diǎn)，連接，所以．又，因此．
又平面，故以為原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖
設(shè)，，則，，，，
由題意，則平面，平面，
設(shè)，，從而，
因?yàn)樗倪呅蜝EFG是正方形，所以，所以，
即，解得，所以，，設(shè)，
則，因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以?br>設(shè)異面直線AG與DE所成角為，又，
所以，
所以異面直線AG與DE所成角的余弦值為.
故答案為：；
14．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）用表示自然數(shù)的所有正因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的正因數(shù)有1、3、9，，10的正因數(shù)有1、2、5、10，.記，則（1）______.（2）______.
【答案】 86
【分析】根據(jù)的含義，可得到，由此可求得的結(jié)果；利用，對分組求和，進(jìn)行遞推，結(jié)合等差等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得答案.
【詳解】由題意得： ,
;
,
故答案為：86；.
15．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的長軸長為，離心率為，為上的兩個動點(diǎn)，且直線與斜率之積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的短軸長為_______，_________.
【答案】
【分析】根據(jù)橢圓長軸長、離心率可求得，由此可得短軸長及橢圓方程；設(shè)，，根據(jù)斜率關(guān)系，結(jié)合兩角和差公式可整理得到，利用兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】橢圓的長軸長為，，又離心率，
，橢圓的短軸長為，橢圓；
設(shè)，，
，，
.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，求解距離平方和的關(guān)鍵是能夠通過三角換元的方式，結(jié)合斜率關(guān)系得到所滿足的關(guān)系式，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式來進(jìn)行求解.
16．（2023·山東·河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）在三棱錐中，兩兩垂直，，為棱上一點(diǎn)，于點(diǎn)，則面積的最大值為______；此時，三棱錐的外接球表面積為______．
【答案】
【分析】設(shè)，求得，結(jié)合，求得，進(jìn)而求得和，根據(jù)，求得面積的最大值，再根據(jù)正方體的性質(zhì)求得三棱錐的外接球的半徑為，進(jìn)而求得外接球的表面積.
【詳解】設(shè)，且，
因?yàn)閮蓛纱怪?，所以?br>所以，可得，
因?yàn)榍遥云矫妫?br>又因?yàn)槠矫?，所以，所以?br>因?yàn)榍?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，
則，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：；.
17．（2023春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列中，.記，則的通項(xiàng)公式__________；的前項(xiàng)和__________.
【答案】
【分析】利用構(gòu)造等比數(shù)列的方法求出通項(xiàng)公式，利用錯位相減法求和.
【詳解】記，由知是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，即.
∵，∴；
，①
，②
①②得
，
.
故答案為：；
18．（2023春·湖北鄂州·高三?？茧A段練習(xí)）某挑戰(zhàn)游戲經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，對每一道試題設(shè)置相應(yīng)的難度，根據(jù)需要，電腦系統(tǒng)自動調(diào)出相應(yīng)難度的試題給挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)，現(xiàn)將試題難度近似當(dāng)做挑戰(zhàn)成功的概率．已知某挑戰(zhàn)者第一次挑戰(zhàn)成功的概率為，從第二次挑戰(zhàn)開始，若前一次挑戰(zhàn)成功，則下一次挑戰(zhàn)成功的概率為；若前一次挑戰(zhàn)失敗，則下一次挑戰(zhàn)成功的概率為．記第次挑戰(zhàn)成功的概率為．則________；________．
【答案】，
【分析】結(jié)合題意分析計(jì)算，即可求得的值；由題意，整理可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，即可得答案.
【詳解】表示第2次挑戰(zhàn)成功的概率，
則可能為第一次挑戰(zhàn)成功，第二次挑戰(zhàn)成功，或第一次挑戰(zhàn)失敗，第二次挑戰(zhàn)成功，
所以.
設(shè)第n-1次挑戰(zhàn)成功的概率為，
則
所以，即，
又
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，則，
故答案為：；，
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是理解題意，得到和的關(guān)系，根據(jù)構(gòu)造法求即可，綜合性強(qiáng)，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.
19．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，且，則的最小值為___________，的最大值為___________．
【答案】 25 ##0.0625
【分析】①利用已知條件構(gòu)造，然后與相乘構(gòu)造基本不等式，利用基本不等式即可；②由，結(jié)合利用基本不等式即可求解
【詳解】①由，可知，，
所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故的最小值為25．
②又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，
故的最大值為．
故答案為：25；
20．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，若數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞增，則首項(xiàng)的取值范圍是__________當(dāng)時，記，若，則整數(shù)__________．
【答案】
【分析】根據(jù)正項(xiàng)數(shù)列各項(xiàng)單調(diào)遞增，可得出，化簡求出，由此可得首項(xiàng)的取值范圍；再由裂項(xiàng)相消法求出的表達(dá)式，然后求其范圍，即可得出答案.
【詳解】由題意，正數(shù)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，
且，解得，
，
又由，
可得：．
，
．
，且數(shù)列是遞增數(shù)列，，即，
整數(shù)．
故答案為：；.
21．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______，______．
【答案】
【分析】由題得，利用累乘法得，通過錯位相減法求得，進(jìn)而得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>則當(dāng)時，
．
又當(dāng)時，符合上式，
故．
由①
②
得．
令，③
∴，④
得
∴．
故，
則，即．
故答案為：，.
22．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知箱中裝有10個不同的小球，其中2個紅球、3個黑球和5個白球，從該箱中有放回地依次取出3個小球，設(shè)變量為取出3個球中紅球的個數(shù)，則的方差______________；3個小球顏色互不相同的概率是______________．
【答案】
【分析】由題意分析的所有可能取值，分別求出對應(yīng)的概率，根據(jù)公式求數(shù)學(xué)期望和方差即可，再由獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率及排列求概率即可.
【詳解】由題可得，的所有可能取值分別為，
；
；
；
.
所以，
所以.
一次抽取抽到紅球的概率為，抽到黑球的概率為，抽到白球的概率為，
所以3次抽取抽到3個小球顏色互不相同的概率是.
故答案為：；.
23．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）在等腰梯形中，已知，，，，動點(diǎn)E和F分別在線段和上，且，，當(dāng)__________時，則有最小值為__________．
【答案】
【分析】先求出，，，，則
，代入結(jié)合均值不等式即可求出答案.
【詳解】因?yàn)樵诘妊菪沃?，已知，，，，可知?br>所以，，
，，
則
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即最小值．
故答案為：；.
24．（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)同時滿足下列兩個條件：①；②.設(shè)所有動點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的表面積為，體積為，則______，______.
【答案】
【分析】由題意，幾何體是棱長為1的正方體挖掉一個1為半徑的球的，由此可以計(jì)算體積和表面積
【詳解】所有動點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為一個棱長為1的正方體挖掉一個以正方體頂點(diǎn)為球心，1為半徑的球的.
幾何體的體積為.
幾何體的表面積為.
故答案為：.
25．（2023·江蘇南通·二模）“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍．尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)：，為n的所有正因數(shù)之和，如，則_______；_______．
【答案】 42
【分析】根據(jù)為n的所有正因數(shù)之和，直接計(jì)算，分析的正因數(shù)的特點(diǎn)，利用等比數(shù)列求和求解.
【詳解】根據(jù)新定義可得，，
因?yàn)檎驍?shù)，
所以
故答案為：；
26．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且只有1個球；第2堆有2層4個球，其中第1層有1個球，第2層有3個球；；第堆有層共個球，第1層有1個球，第2層有3個球，第3層有6個球，則____________，____________．[參考公式：]
【答案】 56
【分析】根據(jù)“正三棱錐”形的裝飾品的形成過程可知從第2層起，第層的球的個數(shù)比第層的球的個數(shù)多，即，根據(jù)迭代法即可求解，進(jìn)而根據(jù)分組求和即可求解，代入即可求解，由裂項(xiàng)求和即可求解.
【詳解】由題意知，第5堆中，第1層1個球，第2層3個球，第3層6個球，第4層10個球，第5層15個球，故．
則在第堆中，從第2層起，第層的球的個數(shù)比第層的球的個數(shù)多，記第層球的個數(shù)為，則，
得，
其中也適合上式，則
在第堆中，
，
所以，
則，
故答案為：56，
27．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）已知長方體的底面是邊長為的正方形，若，則該長方體的外接球的表面積為________；記分別是方向上的單位向量，且，，則（m，n為常數(shù)）的最小值為________．
【答案】
【分析】根據(jù)長方體外接球直徑為長方體體對角線即可求出球半徑，得出球的面積，由所給條件可取與的方向相同或與的方向相同，問題可轉(zhuǎn)化為求平面上一點(diǎn)與的距離的最小值，即求到平面的距離得解.
【詳解】在中，，所以，，
所以該長方體的外接球的半徑為，所以該長方體的外接球的表面積為由及可得，
所以與的方向相同或與的方向相同，
不妨取與的方向相同，
由平面向量基本定理可得必與共面，
在平面上取一點(diǎn)，故可設(shè)，
則，所以其最小值為點(diǎn)到平面的最小值，即最小值為.
故答案為：；
28．（2023秋·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列.如果，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，則__________；數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.
【答案】
【分析】（1）由定義可得，從而，
得出是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，從而可求得；
（2）由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>，
則，，
則有，
則，
所以是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以，
解得：.
（2），所以.
故答案為：；.
29．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）過雙曲線的左、右焦點(diǎn)作兩條相互平行的弦，，其中在雙曲線的左支上，在軸上方，則的最小值為______，當(dāng)?shù)膬A斜角為時，四邊形的面積為______．
【答案】 1
【分析】根據(jù)題意設(shè)，聯(lián)立方程結(jié)合題意可求得.空1：根據(jù)題意分析利用韋達(dá)定理可得，結(jié)合不等式分析運(yùn)算；空2：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.
【詳解】由雙曲線可得，則，
設(shè)直線，
聯(lián)立方程，消去x得：，
則，
由題意可得，解得，
空1：根據(jù)對稱性可知：，
則
，
∵，則，可得，
∴，可得，
故的最小值為1；
空2：連接，根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形，且，
則點(diǎn)到直線的距離，
且，
當(dāng)?shù)膬A斜角為時，則，即
可得，
故四邊形的面積.
故答案為：1；.
30．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）對平面上兩點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)是此圓的一對阿波羅點(diǎn).不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此圓的另一個點(diǎn)組成一對阿波羅點(diǎn)，且這一對阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，系數(shù)只與阿波羅點(diǎn)相對于圓的位置有關(guān).已知，，，與兩點(diǎn)距離比是的點(diǎn)的軌跡方程是，則的最小值是__________；最大值是的最大值是__________.
【答案】
【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓定義可確定，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)三點(diǎn)共線時，，即為所求最小值；根據(jù)阿波羅點(diǎn)的定義，可設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓對應(yīng)的阿波羅尼斯點(diǎn)為，由阿波羅尼斯圓定義可構(gòu)造方程求得點(diǎn)坐標(biāo)和對應(yīng)的的值，得到，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)三點(diǎn)共線時，，即為所求最大值.
【詳解】
由題意知：，即，
（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)按順序共線時取等號），
又，的最小值為；
設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓對應(yīng)的阿波羅尼斯點(diǎn)為，
則點(diǎn)，到點(diǎn)的距離之比為：，
解得：，，則，
，即，
（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)按順序共線時取等號），
又，的最大值是.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用圓的幾何性質(zhì)，求解距離之和與距離之差最值的問題；解題關(guān)鍵是充分理解阿波羅尼斯圓的定義，將所求距離進(jìn)行等距離的轉(zhuǎn)化，從而將問題轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系問題，從而確定當(dāng)無法構(gòu)成三角形時取得對應(yīng)的最值.

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