TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28374" 【題型1 多面體的表面積與體積】 PAGEREF _Tc28374 \h 2
\l "_Tc5237" 【題型2 圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】 PAGEREF _Tc5237 \h 5
\l "_Tc24495" 【題型3 球的表面積與體積】 PAGEREF _Tc24495 \h 7
\l "_Tc28717" 【題型4 組合體的表面積與體積】 PAGEREF _Tc28717 \h 8
\l "_Tc13537" 【題型5 球的截面問題】 PAGEREF _Tc13537 \h 12
\l "_Tc24107" 【題型6 幾何體與球的切、接問題】 PAGEREF _Tc24107 \h 15
\l "_Tc11848" 【題型7 實際應(yīng)用問題】 PAGEREF _Tc11848 \h 19
【知識點1 簡單幾何體的表面積與體積】
1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積

2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積
3．空間幾何體表面積與體積的常見求法
(1)常見的求幾何體體積的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.
③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.
④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.
(2)求組合體的表面積與體積的方法
求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應(yīng)該
怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.
【題型1 多面體的表面積與體積】
【例1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）《九章算術(shù)》中記載，四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.現(xiàn)有一個“鱉臑”，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA=3，AC=BC=2，則該四面體的體積為（ ）
A．1B．2C．4D．8
【解題思路】根據(jù)錐體的體積公式運算求解.
【解答過程】由題意可知：三棱錐P?ABC的高為PA=3，
所以該四面體的體積為13×3×12×2×2=2.
故選：B.
【變式1-1】（2023上·湖南岳陽·高二?？几傎悾┱襟w的八個頂點中，有四個恰好為正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（ ）．
A．2B．3C．62D．63
【解題思路】設(shè)正方體的棱長為a，可求出正四面體的棱長，繼而求得兩種幾何體的表面積即可.
【解答過程】正方體的棱長為a，此時正四面體的棱長為2a，
則正方體的表面積為6a2，
正四面體的表面積為4×12×(2a)2sinπ3=23a2，
兩者之比為6a223a2=3，
故選：B.
【變式1-2】（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱柱ABC?A1B1C1的六個頂點均在同一個半徑為1的球面上，則正三棱柱ABC?A1B1C1側(cè)面積的最大值為（ ）
A．3B．33C．6D．63
【解題思路】利用正三棱柱外接球的性質(zhì)得到a,?的關(guān)系式，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式即可得解.
【解答過程】解法一：
設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為r，
則2r=asin60°=2a3，故r=a3，所以a32+?22=1，即a23=1??24，
又三棱柱的側(cè)面積S=3a?，
所以S2=9a2?2=271??24?2=274??4+4?2=?274?2?22+27≤27，
當(dāng)?=2時，等號成立，則三棱柱的側(cè)面積S=3a?最大值為33．
解法二：
設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為r，
則2r=asin60°=2a3，故r=a3，所以a32+?22=1，
因為a23+?24=1≥2a23??24=a?3，所以a?≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)a=62，?=2時，等號成立，則三棱柱的側(cè)面積S=3a?最大值為33.
故選：B.
【變式1-3】（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內(nèi)裝有某種溶液，AB=6,A1B1=2，圖1中液面高度恰好為棱臺高度的一半，圖2中液面高度為棱臺高度的34，若圖1和圖2中溶液體積分別為V1,V2，則V1V2=（ ）
A．34B．3839C．1D．152117
【解題思路】根據(jù)棱臺的體積公式，求出V1,V2，即可解出.
【解答過程】設(shè)四棱臺的高度為?，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為4，在圖2中，中間液面四邊形的邊長為5，
則V1=1336+16+36×16??2=38?3,V2=134+25+4×25?3?4=39?4，
所以V1V2=152117.
故選：D.
【題型2 圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】
【例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA=1，側(cè)面展開圖扇形SAB的面積為3π，則此圓錐的體積為（ ）

A．22π3B．4πC．πD．22π
【解題思路】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出母線長，再求出其高，最后利用體積公式即可.
【解答過程】設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐的側(cè)面積S=12×2π×1×l=3π，所以l=3，
所以圓錐的高SO=32?1=22，
故圓錐的體積V=13×π×12×22=223π.
故選：A.
【變式2-1】（2023上·山東·高三?？计谥校┤鐖D，圓錐的母線長為2，點M為母線AB的中點，從點M處拉一條繩子繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周到達B點，這條繩子的長度最短值為5，則此圓錐的表面積為（ ）

A．πB．54πC．32πD．2π
【解題思路】作出圓錐側(cè)面展開圖，根據(jù)給定條件求出展開圖扇形圓心角，再求出圓錐底面圓半徑即可作答.
【解答過程】將圓錐側(cè)面沿母線AB剪開，其側(cè)面展開圖為扇形，如圖，

從點M處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達到B點，最短距離即為線段BM長，則有BM=5，
而M是線段AB'中點，又母線長為2，于是得AM2+AB2=5=BM2，即∠BAB'=π2，
設(shè)圓錐底面圓半徑為r，從而有：2πr=2?π2，解得r=12，
所以圓錐的表面積為S=πr2+πr?AB=5π4.
故選:B.
【變式2-2】（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知一個圓臺的上底面半徑為2，下底面的半徑為5，其側(cè)面積為35π，則該圓臺的體積為（ ）
A．208πB．156πC．104πD．52π
【解題思路】根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式求出母線，再求圓臺的高結(jié)合圓臺體積公式求體積即可.
【解答過程】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為r′,r，母線為l，
由題意可得：S側(cè)=πr′+rl=35π?l=5，
則圓臺的高為?=l2?r?r′2=4，
所以圓臺的體積為V=13π?r2+rr′+r′2=52π.
故選：D.
【變式2-3】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐PO中，用一個平行于底面的平面去截圓錐PO，可得一個圓錐PO1和一個圓臺O1O，若圓錐PO1的體積是圓錐PO體積的18，則圓錐PO1與圓臺O1O的側(cè)面積的比值為（ ）
A．12B．14C．23D．13
【解題思路】根據(jù)體積之比可得半徑之比，即可根據(jù)圓錐和圓臺的側(cè)面積的公式即可求解.
【解答過程】設(shè)圓錐PO1,PO的底面圓半徑分別為r,R，它們的母線長分別為l,L.
因為VPO1VPO=rR3=18，所以rR=12.從而lL=12，
即R=2r，L=2l.所以SPO1側(cè)SOO1側(cè)=πrlπ×2r?2l?πrl=13·
故選：D.
【題型3 球的表面積與體積】
【例3】（2023下·陜西西安·高一期中）兩個球表面積的比為1:4，則體積的比為（ ）
A．1:2B．1:4
C．1:8D．不確定
【解題思路】由表面積的比得到半徑之比，再得到體積之比.
【解答過程】設(shè)兩球的半徑分別為r1，r2，
∵表面積之比S1S2=4πr124πr22=14，∴ r1r2=12，
∴體積之比V1V2=43πr1343πr23=18.
故選：C.
【變式3-1】（2023上·上海·高二專題練習(xí)）若兩球的體積之和是12π，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為 6π，則兩球的半徑之差為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】設(shè)兩球的半徑分別為R，r(R>r)，根據(jù)題意得到方程，解出即可.
【解答過程】設(shè)兩球的半徑分別為R，r(R>r)，則由題意得4π3R3+4π3r3=12π2πR+2πr=6π，
解得R=2r=1，故R?r=1；
故選：A.
【變式3-2】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）將一個底面半徑為3，高為4的圓柱形鐵塊熔化為鐵水，恰好制成一個實心鐵球，則該實心鐵球的半徑是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【解題思路】根據(jù)題意，求得圓柱的體積，結(jié)合球的體積公式，列出方程，即可求解.
【解答過程】由題意，可得圓柱的體積為V=πr2?=π×32×4=36π，
設(shè)該實心鐵球的半徑為R，則43πR3=36π，解得R=3．
故選：B.
【變式3-3】（2023上·四川南充·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（ ）
A．65B．54C．32D．76
【解題思路】根據(jù)圓柱的表面積公式和球的表面積公式求解．
【解答過程】設(shè)球半徑為r，則圓柱底面半徑為r，高為2r，
所以圓柱的表面積S1與球的表面積S2之比為S1S2=2πr2+2πr?2r4π2=32，
故選：C．
【題型4 組合體的表面積與體積】
【例4】（2023上·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，是過去官員或私人簽署文件時代表身份的信物。圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，如圖2．已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為23，則該幾何體的體積是（ ）
A．32B．643C．1283D．64
【解題思路】根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)，建立方程，求得其高，結(jié)合體積公式，可得答案.
【解答過程】解：因為正四棱錐的底面邊長為4，所以底面的對角線長為42，
設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為?，
因為正四棱錐的側(cè)棱長為23，所以?2+222=232，解得?=2，
故該幾何體的體積為4×4×2+13×4×4×2=1283.
故選：C.
【變式4-1】（2023上·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中．某瓷器如圖1所示，該瓷器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個圓臺組合而成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為18cm，底面直徑AB=12cm，CD=20cm，EF=14cm，中間圓臺的高為3cm，下面圓臺的高為4cm，若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的側(cè)面積約為（ ）
A．375πcm2B．377πcm2C．379πcm2D．381πcm2
【解題思路】先計算兩個圓臺的母線長，根據(jù)圓柱和圓臺的側(cè)面積公式和可得該瓷器的側(cè)面積.
【解答過程】由AC=32+CD?AB22=32+20?1222=5cm，CE=42+CD?EF22=42+20?1422=5cm，
可得該瓷器的側(cè)面積為12π×18+5×(6+10)π+5×(7+10)π=381πcm2．
故選：D.
【變式4-2】（2023·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，如圖所示，某陀螺可以視為由圓錐SO和圓柱OO1組合而成，點M,N在圓錐SO的底面圓周上，且△SMN的面積為7,sin∠MSN=74，圓錐SO的側(cè)面積為42π，圓柱OO1的母線長為3，則該幾何體的體積為（ ）
A．40π3B．44π3C．52π3D．56π3
【解題思路】該幾何體是由一個圓錐和一個圓柱組成的，由S△SMN=7,sin∠MSN=74可得圓錐母線，結(jié)合圓錐的側(cè)面積可得圓錐半徑、高，而圓柱底面半徑等于圓錐底面半徑，圓柱高已知，由圓錐、圓柱體積公式即可得解.
【解答過程】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則△SMN的面積為12SM×SNsin∠MSN=12l×l×74=7，解得l=22，
因為圓錐SO的側(cè)面積為πrl=22πr=42π，所以r=2,SO=l2?r2=2．
故該幾何體的體積為V=V圓柱+V圓錐=4π×3+13×4π×2=44π3．
故選：B.
【變式4-3】（2023上·湖北·高二荊州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的9倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為3:3:5，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為（ ）

A．3:9:25B．9:21:35C．3:39:65D．9:39:65
【解題思路】設(shè)上面的六棱柱的底面面積為S，高為3m，根據(jù)棱柱和棱臺的體積公式直接計算，然后求比可得.
【解答過程】設(shè)上面的六棱柱的底面面積為S，高為3m，由上到下的三個幾何體體積分別記為V1,V2,V3，
則V1=3mS，
V2=13S+9S+9S2×3m=13mS，
V3=13S+9S+9S2×5m=653mS，
所以V1:V2:V3=3mS:13mS:653mS=9:39:65.
故選：D.
【知識點2 球的截面、幾何體與球的切、接問題】
1．球的截面
(1)球的截面形狀
①當(dāng)截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；
②當(dāng)截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.
(2)球的截面的性質(zhì)
①球心和截面圓心的連線垂直于截面；
②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.
圖形解釋如下：
在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R，以O(shè)'為圓心的截面的半徑
為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.
2．幾何體與球的切、接問題
常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.
常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：
【題型5 球的截面問題】
【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為43的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為4π，則該球的體積是（ ）
A．256π3B．64πC．16πD．32π3
【解題思路】求出球心到截面圓所在平面的距離以及截面圓的半徑，利用勾股定理可求得球的半徑，再利用球的體積公式即可求得結(jié)果.
【解答過程】由題意可得，球心到截面圓所在的平面的距離d=432=23，
設(shè)截面圓的半徑為r，球的半徑為R，則2πr=4π，解得r=2，
所以R=r2+d2=4，
所以該球的體積為43πR3=256π3，
故選：A.
【變式5-1】（2023上·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三棱錐A?BCD的四個頂點都在表面積為20π的球O上，點A在平面BCD的射影是線段BC的中點，AB=BC=23，則平面BCD被球O截得的截面面積為（ ）
A．23πB．3π
C．4πD．33π
【解題思路】分別找出△BCD和△ABC的外接圓圓心F和H，通過過F作平面BCD的垂線，過H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐A?BCD外接球球心O，再通過幾何關(guān)系求出△BCD外接圓半徑，即可求其被球O截得的圓的面積．
【解答過程】
設(shè)BC中點為E，∵點A在平面BCD的射影是線段BC的中點E，
∴AE⊥平面BCD，AE⊥BC，∴AB=AC，
又∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形．
取AC中點為G，連接BG交AE于H，則H是△ABC外心．
連接ED，在ED上取F，使得FD=2EF，則F為△BCD外心．
過F作平面BCD的垂線，過H作平面ABC的垂線，
兩垂線的交點即為三棱錐A?BCD外接球球心O，
則四邊形OHEF是矩形，OF=HE=13AE=13×32×23=1．
連接OB，BF，設(shè)△BCD外接圓半徑FD=BF=r，設(shè)球O半徑為OB=R．
∵球O的表面積為20π，∴4πR2=20π?R=5．
∴在Rt△OBF中，r=BF=R2?OF2=5?1=2，
∴平面BCD被球O截得的截面面積πr2=4π．
故選：C.
【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐P?ABC滿足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，D是線段AC上一點，且AD=3DC，球O為三棱錐P?ABC的外接球，過點D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為44π，則球O的表面積為（ ）
A．72πB．86πC．112πD．128π
【解題思路】先找到外接球球心，過BC的中點M作OM//PA，則OM⊥平面ABC，取OM=12PA，則O為P?ABC外接球球心，過點D作球O的截面，最大的截面過球心，最小的截面是過D且與OD垂直的截面，由此可用PA表示出兩截面圓半徑．
【解答過程】如圖，M是BC邊中點，E是AC邊中點，∵AB⊥AC，∴M是△ABC的外心，

作OM//PA，∵PA⊥平面ABC，∴OM⊥平面ABC，AM,MD?平面ABC，
∴OM⊥AM,OM⊥MD，取OM=12PA，易得OA=OP，
∴O是三棱錐P?ABC的外接球的球心.
E是AC中點，則ME//AB，ME=12AB=3，∴ME⊥AC，
∵AD=3DC，∴ED=14AC=2，∴MD=ME2+ED2=32+22=13，
設(shè)PA=2a，則OM=a，OD2=OM2+MD2=a2+13，又AM=12BC=1262+82=5，
∴OA2=OM2+AM2=a2+25，
過D且與OD垂直的截面圓半徑為r，則r=OA2?OD2=23，
這是最小的截面圓半徑，最大的截面圓半徑等于球半徑OA，
∴πOA2+πr2=(a2+25)π+12π=44π，a2=7，
OA2=a2+25=7+25=32，S球=4πOA2=4π×32=128π.
故選：D.
【變式5-3】（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在三棱錐A?BCD中，AB,BC,BD兩兩垂直，且AB=BC=BD=4，半徑為1的球O在該三棱錐內(nèi)部且與面ABC?面ABD?面BCD均相切.若平面α與球O相切，則三棱錐A?BCD的外接球被平面α所截得的截面面積的最小值為（ ）
A．8+23πB．6+23πC．8?23πD．6?23π
【解題思路】先推出球的截面面積與球心距離的關(guān)系，再根據(jù)條件將三棱錐A?BCD看作正方體的一部分，求出外接球的球心和半徑，運用前面推出的關(guān)系求解.
【解答過程】設(shè)截面圓與球心O1的距離為h，球O1的半徑為R，截面圓的半徑為r，則r2=R2??2，
即h越大，截面的面積越?。?br>由題意三棱錐A?BCD是正方體AEGF?BCHD的一部分，
其外接球的球心為正方體對角線AH的中點O1，
外接球的半徑R，則R=42+42+422=23，如下圖：

以BC為x軸，BD為y軸，BA為z軸建立坐標(biāo)系，則O1,1,1,O12,2,2，∴OO1=2?12+2?12+2?12=3，
O1到球O球面上最遠(yuǎn)的點距離為?=OO1+1=3+1，
此時以最遠(yuǎn)點為切點的平面α截外接球O1截面圓的半徑為r=232?3+12=8?23，
即截面面積的最小值為S=r2π=8?23π；
故選：C.
【題型6 幾何體與球的切、接問題】
【例6】（2023上·上海閔行·高二?？计谀┪覈糯鷶?shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=3.
(1)求證：四棱錐D1?ABCD是一個“陽馬”，并求該“陽馬”的體積；
(2)求該“陽馬”D1?ABCD的外接球的表面積.
【解題思路】（1）根據(jù)DD1⊥平面ABCD，且ABCD是矩形，可證明四棱錐是“陽馬”，根據(jù)錐體的體積公式可求其體積；
（2）根據(jù)長方體的外接球即為四棱錐的外接球，長方體的對角線就是外接球的直徑，結(jié)合球體的表面積公式求解.
【解答過程】（1）因為長方體ABCD?A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，且ABCD是矩形，
所以四棱錐D1?ABCD中，底面ABCD是矩形，且側(cè)棱DD1⊥底面ABCD，
所以四棱錐D1?ABCD是一個“陽馬”，
體積V=13SABCD×DD1=13×2×2×3=4；
（2）長方體的外接球即為四棱錐的外接球，
因為AB=BC=2，AA1=3.
∴長方體的對角線長為22+22+32=17，
則長方體的外接球的半徑R=172，
∴該“陽馬”外接球的表面積為S=4πR2=4π×(172)2=17π.
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且分別與正方體內(nèi)切，求兩球半徑之和.
【解題思路】作正方體的對角面,設(shè)出兩球半徑，根據(jù)正方體的對角線長列出等式，即可求得答案.
【解答過程】作正方體的對角面，得如圖所示的截面圖:其中AB,CD為正方體的棱，AD,BC為正方體的面對角線，AC為體對角線，
球心O1和O2在AC上，過O1,O2分別作AD,BC的垂線交于E，F(xiàn)兩點.
設(shè)小球半徑為r，大球半徑為R,則由題意知AB=1,∴AC=3，
得AO1=r2+r2+r2=3r,CO2=R2+R2+R2=3R，
∴r+R+3(r+R)=3，
∴R+r=33+1=3?32，即兩球半徑之和為3?32.
【變式6-2】（2023上·江西景德鎮(zhèn)·高二?？计谥校┮阎獔A錐的頂點為P，母線PA,PB所成角的余弦值為14，軸截面等腰三角形的頂角為90°，若△PAB的面積為215．
(1)求該圓錐的側(cè)面積；
(2)求圓錐的內(nèi)切球體積．
【解題思路】（1）先由已知得出l=2r，sin∠APB=154，再由三角形面積公式得出l，從而得出r以及圓錐的側(cè)面積.
（2）畫出截面圖形，先由相似三角形知識求出內(nèi)切球半徑，再由體積公式即可求解.
【解答過程】（1）如圖所示：
令圓錐母線長、底面半徑分別為l、r，
由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為90°知，l=2r，
又cs∠APB=14?sin∠APB=1?cs2∠APB=1?142=154，
又因為△PAB的面積為215，
∴S△PAB=12PA?PB?sin∠APB=12l2×154=215?l=4，
又l=2r，所以r=22，
∴側(cè)面積為S=12×2πr×l=π×22×4=82π．
（2）如圖所示：
設(shè)內(nèi)切球半徑為CO=CD=R，球心C在PO上面，則△POA～△PDC，
所以CDAO=PCPA，
由（1）可知，圓錐的高PO=AO=?=r=22l=22,PA=l=4，
則有R22=22?R4，解得R=4?22，
所以圓錐的內(nèi)切球體積為V=43πR3=43π4?223=6410?72π3.
【變式6-3】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù).商功》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑；在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1，求

(1)四面體ABCD的表面積；
(2)四面體ABCD內(nèi)切球半徑；
(3)四面體ABCD外接球的表面積．
【解題思路】（1）根據(jù)四個面均為直角三角形，求出各個面的面積再相加即可；
（2）根據(jù)等體積法即可求解；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)找出外接球球心，再得到外接球半徑，根據(jù)球的表面積公式計算即可得到答案.
【解答過程】（1）因為AB⊥面BCD，BC,BD,CD?面BCD，
所以AB⊥BC,AB⊥BD,AB⊥CD，
又因為BC⊥CD，AB,BC?面ABC，AB∩BC=B，所以CD⊥面ABC，
因為AC?面ABC，所以CD⊥AC.
所以∠ABC=∠ABD=∠ACD=∠BCD=90°.
由題意得，AB=BC=CD=1
則S△ABC=12AB?BC=12，同理S△BCD=12，
因為在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=2，
所以S△ACD=12AC?CD=22，同理S△ABD=22，
所以四面體ABCD的表面積S=S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD=1+2；
（2）設(shè)內(nèi)切球球心為O，半徑為r，
顯然VA?BCD=13AB?S△BCD=13×1×12=16，
由體積相等得
VA?BCD=VO?ABC+VO?ABD+VO?ACD+VO?BCD=13rS△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD，
得到r=3VA?BCDS=122+12?12；
（3）由題意得，∠ABD=∠ACD=90°，
所以取AD中點為P，
則PA=PB=PC=PD
所以P為四面體外接球的球心，AD為直徑，
在Rt△ABD中，AD=AB2+BD2=3，
所以四面體外接球的半徑為r=AD2=32，
所以四面體外接球面積為S=4πr2=4πr2×34=3π.
【題型7 實際應(yīng)用問題】
【例7】（2023上·上?！じ叨谥校┠撤N“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為24πcm，高為30cm，圓錐的母線長為20cm．

(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1cm3）；
(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？
【解題思路】（1）根據(jù)題意，結(jié)合圓錐和圓柱的體積公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求得該組合體的表面積，結(jié)合題意，即可求解.
【解答過程】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為?，圓錐的母線長為l，高為?1，
則2πr=24π，可得r=12，且?1=202?122=16cm，
所以籠具的體積V=πr2??13πr2?1=π?(122×30?13×122×16)=3552π≈11158.9cm2.
（2）圓柱的側(cè)面積S1=2πr?=720πcm2，
圓柱的底面積S2=πr2=144πcm2，
圓錐的側(cè)面積為S3=πrl=240πcm2，
故籠具的表面積S=S1+S2+S3=1104πcm2．
故制造50個這樣的籠具總造價為：1104π×50×8104=1104π25元，
答：這種籠具的體積約為11158.9cm2，生產(chǎn)50個籠具需要1104π25元．
【變式7-1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）用鐵皮裁剪成兩個圓和一個長方形，焊成一個體積固定的圓柱體容器
(1)為使用料最省，應(yīng)如何設(shè)計這個圓柱體？
(2)為使接縫線最短，應(yīng)如何設(shè)計這個圓柱體？
【解題思路】由體積固定，將圓柱表面積和接縫總長用體積和底面半徑表示，求出取最值的條件.
【解答過程】（1）設(shè)圓柱體積為V，底面半徑r，高為h，則V=πr2?，
圓柱用料，即表面積為S=2πr2+2πr?=2πr2+2Vr=2(πr2+V2r+V2r)≥332πV2，
當(dāng)且僅當(dāng)πr2=V2r，即πr2?=2πr3，?=2r時，等號成立，
所以設(shè)計時，使圓柱的軸截面為正方形，可使用料最省.
（2）設(shè)接縫總長度為C，
則C=4πr+?=4πr+Vπr2=2πr+2πr+Vπr2≥334πV，
當(dāng)且僅當(dāng)2πr=Vπr2，即2πr=?時，等號成立，
所以設(shè)計時，使圓柱的高等于底面周長，可使接縫最短.
【變式7-2】（2023下·山東青島·高一?？计谥校┤鐖D，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知半球的直徑是6cm，圓柱筒長2cm.

(1)這種“浮球”的體積是多少cm3?
(2)要在100個這樣的“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠20克，那么共需涂膠約多少克?
【解題思路】（1）利用球和圓柱體積公式即可求解得到結(jié)果；
（2）結(jié)合球的表面積和圓柱側(cè)面積公式可求得幾何體的表面積，
進而確定所需膠的質(zhì)量.
【解答過程】（1）∵該半球的直徑d=6cm，
∴“浮球”的圓柱筒直徑也是6cm，R=3cm，
∴兩個半球的體積之和為V球=43πR3=43π×27=36πcm3，
又V圓柱=πR2?=π×9×2=18πcm3，
該“浮球”的體積是V=V球+V圓柱=36π+18π=54πcm3.
（2）上下兩個半球的表面積S球表=4πR2=4π×9=36πcm2，
“浮球”的圓柱筒側(cè)面積為S圓柱側(cè)=2πR?=2π×3×2=12πcm2，
∴1個“浮球”的表面積為36π+12π=48πcm2，
∴100個“浮球”的表面積的和為100×48π=4800πcm2，
∵每平方厘米需要涂膠20克，
∴共需要膠的質(zhì)量為20×4800πcm2=96000π（克）.
【變式7-3】（2023上·上海普陀·高二?？计谥校┠臣佑驼緮M建造如圖所示的鐵皮儲油罐(不計厚度，長度單位為米)，其中儲油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，l=2r+1(l為圓柱的高，為球的半徑，l≥2).假設(shè)該儲油罐的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費用為1千元，半球形部分每平方米建造費用為3千元.設(shè)該儲油罐的建造費用為y千元.
(1) 寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；
(2) 若預(yù)算為8萬元，求所能建造的儲油罐中r的最大值(精確到0.1)，并求此時儲油罐的體積V(單位: 立方米，精確到0.1立方米).
【解題思路】（1）先利用公式計算兩個半球的表面積（不含底）以及圓柱的側(cè)面積，再根據(jù)每平方米建造費用可得y關(guān)于r的函數(shù)表達式，注意r的范圍.
（2）根據(jù)預(yù)算可得關(guān)于r的不等式，求出其解后可得r的最大值，利用公式可求該幾何體的體積.
【解答過程】(1) 半球的表面積S1=2πr2（不含底），圓柱的側(cè)面積S2=2πr?l.
于是y=3×2S1+1×S2=3×4πr2+1×2πr?(2r+1)=16πr2+2πr.
定義域為12,+∞.
(2) 16πr2+2πr≤80，即r2+18r?5π≤0，解得r≤?18+164+20π2≈1.2.
V=43πr3+πr2?(2r+1)=103πr3+πr2，
經(jīng)計算得V≈22.7(立方米).
故r的最大值為1.2(米)，此時儲油罐的體積約為22.7立方米.
多面體
圖形
側(cè)面積與表面積
體積
棱柱
直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，
S直棱柱側(cè)=Ch(C為底面周長，h為高)，
S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)
V柱= S底h ( S底為底面面積，h為高)
棱錐
正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側(cè)=Ch' (C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側(cè)+S底(S底為底面面積)

( S底為底面面積，h為高)
棱臺
正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側(cè)=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側(cè)+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)

(S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)
旋轉(zhuǎn)體
圖形
側(cè)面積與表面積
體積
圓柱
圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，S圓柱側(cè)=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)
體積V= S底h ( S底為底面面積，h為高)
圓錐
圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，S圓錐側(cè)=πrl，表面積
S=πr2+πrl=πr(r+l)
體積V= S底h ( S底為底面面積，h為高)
圓臺
圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l，
表面積
體積
(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)
球
半徑為R的球的表面積S=4πR2
半徑為R的球的體積

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8.3 簡單幾何體的表面積與體積

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