TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21444" 【題型1 平面的基本性質(zhì)及推論】 PAGEREF _Tc21444 \h 3
\l "_Tc6676" 【題型2 空間中的點(diǎn)共線、點(diǎn)（線）共面問(wèn)題】 PAGEREF _Tc6676 \h 4
\l "_Tc11557" 【題型3 空間中的線共點(diǎn)問(wèn)題】 PAGEREF _Tc11557 \h 6
\l "_Tc14883" 【題型4 平面分空間的區(qū)域數(shù)量】 PAGEREF _Tc14883 \h 7
\l "_Tc6154" 【題型5 直線與直線的位置關(guān)系】 PAGEREF _Tc6154 \h 9
\l "_Tc10590" 【題型6 直線與平面的位置關(guān)系】 PAGEREF _Tc10590 \h 10
\l "_Tc1851" 【題型7 平面與平面的位置關(guān)系】 PAGEREF _Tc1851 \h 10
【知識(shí)點(diǎn)1 平面】
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺(jué)，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說(shuō)的“平
面”就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.
(2)平面的畫(huà)法
①與畫(huà)出直線的一部分來(lái)表示直線一樣，我們也可以畫(huà)出平面的一部分來(lái)表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.
②當(dāng)平面水平放置時(shí)，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫(huà)成橫向；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，如圖(2)所
示，常把平行四邊形的一邊畫(huà)成豎向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂
點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母作為這個(gè)平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的符號(hào)表示
點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示，點(diǎn)為元素，直線、平面都是點(diǎn)構(gòu)成的
集合.點(diǎn)與直線(平面)之間的位置關(guān)系用符號(hào)“”“”表示，直線與平面之間的位置關(guān)系用符號(hào)“”“”表示.
3．三個(gè)基本事實(shí)及基于基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論
(1)三個(gè)基本事實(shí)及其表示
(2)三個(gè)基本事實(shí)的作用
基本事實(shí)1：①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.
基本事實(shí)2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面.
基本事實(shí)3：①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn).
(2)基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論
4．平面分空間問(wèn)題
一個(gè)平面將空間分成兩部分，那么兩個(gè)平面呢?三個(gè)平面呢?
(1)兩個(gè)平面有兩種情形：
①當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成三部分，如圖(1)；
②當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成四部分，如圖(2).
(2)三個(gè)平面有五種情形：
①當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成四部分，如圖8(1)；
②當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成六部分，如圖(2)；
③當(dāng)三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成六部分，如圖(3)；
④當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點(diǎn)時(shí)，將空間分成八部分，如圖(4)；
⑤當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時(shí)，將空間分成七部分，如圖(5).
【題型1 平面的基本性質(zhì)及推論】
【例1】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）下面說(shuō)法中正確的是（ ）
A．任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面
B．平靜的太平洋面是平面
C．平面就是平行四邊形
D．在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個(gè)平面
【變式1-1】（2023下·黑龍江·高一校考期中）在空間中，下列命題不正確的是（ ）
A．若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．且在一條直線上
B．若已知四個(gè)點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線
C．梯形可確定一個(gè)平面
D．任意三點(diǎn)能確定一個(gè)平面
【變式1-2】（2023上·上海靜安·高二校考期末）下列命題中真命題是（ ）
A．四邊形一定是平面圖形
B．相交于一點(diǎn)的三條直線只能確定一個(gè)平面
C．四邊形四邊上的中點(diǎn)可以確定一個(gè)平面
D．如果點(diǎn)A，B，C∈平面α，且A，B，C∈平面β，則平面α與平面β為同一平面
【變式1-3】（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面
B．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面
C．平面α與平面β相交，它們只有有限個(gè)公共點(diǎn)
D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線
【題型2 空間中的點(diǎn)共線、點(diǎn)（線）共面問(wèn)題】
【例2】（2023下·河南開(kāi)封·高一河南省杞縣高中校聯(lián)考期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱D1C1的靠近D1上的三等分點(diǎn).設(shè)AE與平面BB1D1D的交點(diǎn)為O，則（ ）

A．三點(diǎn)D1,O,B共線，且OB=2OD1
B．三點(diǎn)D1,O,B共線，且OB=3OD1
C．三點(diǎn)D1,O,B不共線，且OB=2OD1
D．三點(diǎn)D1,O,B不共線，且OB=3OD1
【變式2-1】（2023下·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G,H分別在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.則下面幾個(gè)說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②EG//FH;③若直線EG與直線FH交于點(diǎn)P，則P，A，C三點(diǎn)共線．
A．0B．1C．2D．3
【變式2-2】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①C1?M?O三點(diǎn)共線；
②C1?M?O?C四點(diǎn)共面；
③C1?O?B1?B四點(diǎn)共面；
④D1?D?O?M四點(diǎn)共面.
A．①②B．①②③④C．①②③D．①③④
【變式2-3】（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且CFCB=CGCD=23，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
②EF與GH異面；
③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；
④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上．
A．①③B．①④C．②③D．②④
【題型3 空間中的線共點(diǎn)問(wèn)題】
【例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且CFFB=AEEB=13．求證：直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．
【變式3-1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知棱長(zhǎng)為1正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F分別是棱AB,AA1的中點(diǎn)．

求證：三條直線DA,CE,D1F交于一點(diǎn)；
【變式3-2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，點(diǎn)O1是正方體ABCD?A1B1C1D1的上底面的中心，過(guò)D1，B1，A三點(diǎn)作一個(gè)截面．求證：此截面與對(duì)角線A1C的交點(diǎn)P一定在AO1上．

【變式3-3】（2023下·安徽合肥·高一校聯(lián)考期中）在四面體ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且CFFB=AEEB=13．求證：

(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．
【題型4 平面分空間的區(qū)域數(shù)量】
【例4】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）空間三個(gè)平面能把空間分成（ ）
A．4部分或6部分B．7部分或8部分
C．5部分或6部分或7部分D．4部分或6部分或7部分或8部分
【變式4-1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）兩個(gè)平面能把空間分成幾個(gè)部分（ ）
A．2或3B．3或4C．3D．2或4
【變式4-2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）空間的4個(gè)平面最多能將空間分成（ ）個(gè)區(qū)域．
A．13B．14C．15D．16
【變式4-3】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分為（ ）
A．14部分B．18部分C．21部分D．24部分
【知識(shí)點(diǎn)2 空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系】
1．空間中直線與直線的位置關(guān)系
(1)三種位置關(guān)系
我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：
(2)異面直線的畫(huà)法
為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖所示.
2．空間中直線與平面的位置關(guān)系
直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：
3．空間中平面與平面的位置關(guān)系
(1)兩種位置關(guān)系
兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：
(2)兩種位置關(guān)系
平行平面的畫(huà)法技巧
畫(huà)兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行.
【題型5 直線與直線的位置關(guān)系】
【例5】（2023上·上?！じ叨谀┤绻本€a和b沒(méi)有公共點(diǎn)，那么a與b（ ）
A．共面B．平行
C．可能平行，也可能是異面直線D．是異面直線
【變式5-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間中兩個(gè)角α，β，且角α與角β的兩邊分別平行，若α=30°，則β=（ ）
A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°
【變式5-2】（2023上·四川達(dá)州·高二達(dá)州市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體 ABCD?A1B1C1D1中，E為線段A1C1的中點(diǎn)，則異面直線DE與B1C所成角的余弦值為（ ）
A．63B．62
C．32D．33
【變式5-3】（2023上·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條異面直線a，b所成角為70°，若過(guò)空間內(nèi)一定點(diǎn)的直線l和a，b所成角均為60°，則這樣的直線l有（ ）
A．2條B．3條C．4條D．5條
【題型6 直線與平面的位置關(guān)系】
【例6】（2023下·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知直線m，直線n和平面α，則下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A．若m//α，n?α，則m//nB．若m//α，n//α，則m//n
C．若m⊥α，n//α，則m⊥nD．若m⊥n，n//α，則m⊥α
【變式6-1】（2023上·上海青浦·高二?？计谀┤粢恢本€上有兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離都等于1，則該直線與這個(gè)平面的位置關(guān)系是（ ）．
A．直線在平面內(nèi)B．直線與平面相交或平行
C．直線與平面相交D．直線平行平面
【變式6-2】（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)m，n，l分別是三條不同的直線，α是平面，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥l，n?α，l?α，則m⊥α
B．若m⊥n，n?α，則m⊥α
C．若m∥n，n⊥α，則m⊥α
D．若m∥α，n?α，則m∥n
【變式6-3】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖， 在正方體ABCD?A1B1C1D1中， 點(diǎn)E，F(xiàn)分別為A1B1，BC的中點(diǎn)， 設(shè)過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，D1的平面為α， 則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．在正方體ABCD?A1B1C1D1中， 存在某條棱與平面α平行
B．在正方體ABCD?A1B1C1D1 中， 存在某條面對(duì)角線與平面α平行
C．在正方體 ABCD?A1B1C1D1 中， 存在某條體對(duì)角線與平面α平行
D．平面α截正方體ABCD?A1B1C1D1所得的截面為五邊形
【題型7 平面與平面的位置關(guān)系】
【例7】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知α，β，γ是空間中三個(gè)不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB．若m⊥α，n⊥β，α//β，則m//n
C．若α//β，β//γ，則α//γD．若m//α，n//β，m//n，則α//β
【變式7-1】（2023·四川宜賓·宜賓市?？寄M預(yù)測(cè)）若三個(gè)不同的平面α,β,γ滿足α⊥γ,β⊥γ,則α,β之間的位置關(guān)系是（ ）
A．α//βB．α⊥β
C．α//β或α⊥βD．α//β或α與β相交
【變式7-2】（2023下·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已知空間中三個(gè)互不相同的平面α、β、γ，兩條不同的直線a、b，下列命題正確的是（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γB．若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥β
C．若a∥α，α∥β，a⊥b，則b⊥βD．若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ
【變式7-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．則下列結(jié)論中：
①M(fèi)C⊥AN
②DB∥平面AMN
③平面CMN⊥平面AMN
④平面DCM∥平面ABN
所有假命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
基本事實(shí)
自然語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
基本事實(shí)1
過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.
A,B, C三點(diǎn)不共線存在唯一的平面α使A,B,C∈α.
基本事實(shí)2
如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.
基本事實(shí)3
如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.
P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l.
推論
自然語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
推論1
經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.
點(diǎn)A?aa與A共面于平面α,且平面唯一.
推論2
經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.
a∩b=Pa與b共面于平面α,且平面唯一.
推論3
經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.
直線a//b直線a,b共面于平面α,且平面唯一.
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
直線在平面內(nèi)
有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
直線與平面相交
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線與平面平行
沒(méi)有公共點(diǎn)
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
兩個(gè)平面平行
沒(méi)有公共點(diǎn)
兩個(gè)平面相交
有一條公共直線

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8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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