近幾年高考數(shù)學(xué)客觀題壓軸題,多考查以導(dǎo)數(shù)為工具來解決大小比較、解不等式、求參數(shù)范圍等問題,這類試題具有結(jié)構(gòu)獨(dú)特、綜合性強(qiáng)、技巧性高等特點(diǎn),而構(gòu)造函數(shù)是解決這類問題的基本方法,以下介紹在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中構(gòu)造函數(shù)的一些技巧與規(guī)律.
1.結(jié)構(gòu)相同時構(gòu)造函數(shù)根據(jù)所給代數(shù)式(等式、不等式)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的相同點(diǎn)或者結(jié)構(gòu)形式的相同點(diǎn),構(gòu)造具體的函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的性質(zhì)從而解決問題.
A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b
f'(x)e,所以f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減,又ef(π),即a>c>b.故選D.
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a
2.結(jié)構(gòu)不同時構(gòu)造函數(shù)當(dāng)所要比較大小的數(shù)或式在形式或結(jié)構(gòu)上不相同時,可根據(jù)導(dǎo)數(shù)中常用的不等式構(gòu)造函數(shù),結(jié)合放縮解決問題.常用的不等式有:(1)ex≥x+1;(2)ln x≤x-1;(3)sin x≤x(其中x≥0)等.
例2(2024·陜西商洛模擬)若a=e0.2,b=1.2,c=ln 3.2,則(　　)A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c
解析 令f(x)=ex-x-1,則f'(x)=ex-1,當(dāng)x∈(-∞,0)時,f'(x)0時,f(x)>f(0)=0,則f(0.9)=0.9-sin 0.9>0,于是0.9>sin 0.9,
A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a
1.利用f(x)與x(xn)構(gòu)造
例4(2024·福建福州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=2,則f(ex)> 的解集為(　　)A.(0,+∞)B.(ln 2,+∞)C.(1,+∞)D.(0,1)
解析 設(shè)g(x)=xf(x),則g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故g(x)在R上單調(diào)遞增,而f(ex)> 可化為exf(ex)>2=1×f(1),即g(ex)>g(1),故ex>1,即x>0,所以不等式f(ex)> 的解集為(0,+∞).
[對點(diǎn)訓(xùn)練4](2024·廣東佛山質(zhì)檢)已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf'(x)-f(x)0的解集為(　　)A.(-∞,ln 2)B.(0,ln 2)C.(ln 2,+∞)D.(ln 2,2)
例5(2024·天津南開中學(xué)模擬)已知f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),若對任意的x∈(0,+∞),都有2f(x)+xf'(x)>0成立,且f(2)= ,則不等式f(x)- >0的解集為(　　)A.(2,+∞)B.(-2,0)∪(0,2)C.(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)
解析 令g(x)=x2f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),因?yàn)閒(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),即f(-x)=-f(x),所以g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)=x2f(x)是奇函數(shù).又當(dāng)x>0時,g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.
[對點(diǎn)訓(xùn)練5](2024·遼寧大連模擬)f(x)在(0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),xf'(x)>2f(x),則下列不等式成立的是(　　)A.2 0212f(2 022)>2 0222f(2 021)B.2 0212f(2 022)2 022f(2 021)D.2 021f(2 022)0,所以g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)=e3x-3f(x)在R上單調(diào)遞增,而f(x)>e3-3x可化為e3x-3f(x)>1,又g(1)=e3-3f(1)=1,即g(x)>g(1),解得x>1,所以不等式f(x)>e3-3x的解集是(1,+∞),故選B.
3.利用f(x)與sin x,cs x構(gòu)造

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