近幾年高考數(shù)學(xué)客觀(guān)題壓軸題,多以導(dǎo)數(shù)為工具來(lái)證明不等式或求參數(shù)的取值范圍,這類(lèi)試題具有結(jié)構(gòu)獨(dú)特、技巧性高、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn),而構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基本方法,以下對(duì)在處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)構(gòu)造函數(shù)的規(guī)律方法進(jìn)行歸類(lèi)總結(jié),并舉例說(shuō)明.
一、具體函數(shù)的構(gòu)造根據(jù)所給代數(shù)式(等式、不等式)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的相同點(diǎn)或者結(jié)構(gòu)形式的相同點(diǎn),構(gòu)造具體的函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的性質(zhì)從而解決問(wèn)題.例1(2023·廣東深圳高三階段練習(xí))設(shè)a=999ln 1 001,b=1 000ln 1 000,c=1 001ln 999,則下列選項(xiàng)正確的是(　　)A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c答案 B解析 設(shè)f(x)=(1 000-x)ln(1 000+x),x∈[-1,1],當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f'(x)=-ln(1 000+x) + f(0)=1 000ln 1 000>f(1)=999ln 1 001,所以c>b>a.
A.c0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)為R上的奇函數(shù),所以g(x)在R上單調(diào)遞增,由(x+2 021)2f(x+2 021)+4f(-2)1,f(0)=4,則不等式exf(x)>ex+3的解集為(　　)A.(0,+∞)B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(3,+∞)答案 A解析 將f(x)+f'(x)>1兩邊同乘ex得,exf(x)+exf'(x)-ex>0,令g(x)=exf(x)-ex,則g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex>0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,且g(0)=f(0)-1=3.又因?yàn)椴坏仁絜xf(x)>ex+3等價(jià)于exf(x)-ex>3,即g(x)>g(0),所以x>0,故選A.
例5(2023·江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)高三檢測(cè))已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),f(0)=2 022,若對(duì)任意的x∈R,都有f(x)0,則下列大小關(guān)系正確的是(　　)
3.利用f(x)與sin x,cs x構(gòu)造由于sin x,cs x的導(dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性,且它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,所以在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要充分考慮這一點(diǎn),具體有以下情形:①對(duì)于f'(x)sin x+f(x)cs x>0(或

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