課程標(biāo)準(zhǔn)　1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．　2.對于多項式函數(shù)，能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的_________；第2步，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的______；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．
1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時，f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時，f′(x)≤0恒成立．2．若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，f′(x)＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，f′(x)＜0有解．
1．判斷下列結(jié)論是否正確(正確的在括號內(nèi)打“√”，錯誤的在括號內(nèi)打“×”).(1)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)＞0.(　　)(2)在(a，b)內(nèi)，f′(x)≤0且f′(x)＝0的根為有限個，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減．(　　)(3)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)＞0，則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增．(　　)(4)函數(shù)f(x)＝x－sin x在R上是增函數(shù)．(　　)
2．(多選)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(　　)?A．f(b)＞f(c)＞f(d)　B．f(b)＞f(a)＞f(e)C．f(c)＞f(b)＞f(a) D．f(c)＞f(d)＞f(e)
解析：由題意得，當(dāng)x∈(－∞，c)時，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，c)上單調(diào)遞增．因為a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a).當(dāng)x∈(c，e)時，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在(c，e)上單調(diào)遞減．因為c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e).
3．函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－4x的單調(diào)遞增區(qū)間是______________________．
∵函數(shù)在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a2≤x2恒成立．∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4.又a＞0，∴0＜a≤2.
例1　(2022·北京卷節(jié)選) 已知函數(shù)f(x)＝ex ln (1＋x).設(shè)g(x)＝f′(x)，討論函數(shù)g(x)在[0，＋∞)上的單調(diào)性．
確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開．
函數(shù)f(x)＝x2－2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)A．(0，1)　　　　　　　B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，1)
含參數(shù)單調(diào)性問題的討論(1)求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否為一個連續(xù)的區(qū)間)；(2)變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無須單獨討論的部分)；
(3)恒正恒負(fù)先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負(fù))，然后再求有效根；(4)根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；(5)導(dǎo)數(shù)圖象定區(qū)間．
(2021·全國乙卷節(jié)選)討論函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax＋1的單調(diào)性．
角度1　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象例3　(1)函數(shù)f(x)＝ln x2－x的圖象大致為(　　)
(2)設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能的是(　　)
(2)由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)x＜0時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜2時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞2時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．只有C選項的圖象符合．
原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值符號的關(guān)系原函數(shù)f(x)單調(diào)遞增?導(dǎo)函數(shù)f′(x)≥0(導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點成立，其余點滿足f′(x)＞0)；原函數(shù)單調(diào)遞減?導(dǎo)函數(shù)f′(x)≤0(導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點成立，其余點滿足f′(x)＜0).
令k(x)＝(1＋x)(1－x)ex－1，所以k′(x)＝(1－x2－2x)ex＞0, 所以k(x)在(0，0.1]上單調(diào)遞增，可得k(x)＞k(0)＞0，即g′(x)＞0, 所以g(x)在(0，0.1]上單調(diào)遞增，可得g(0.1)＞g(0)＝0，即a－c＞0，所以a＞c.故c＜a＜b.
利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵是判斷已知(或構(gòu)造后的)函數(shù)的單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大?。?br/> 角度3　解不等式例5　已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x－2x＋1，則不等式f(2x－3)＞1的解集為_____________．
與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而解不等式．
已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對任意的實數(shù)x，不等式xf′(x)＋f(x)＜0恒成立，且f(1)＝3，則不等式f(e－x)＜3ex的解集為(　　)A．(－∞，0) B．(－∞，－1)C．(ln 3，＋∞) D．(1，＋∞)解析：設(shè)g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＜0，所以g(x)在R上單調(diào)遞減．由f(e－x)＜3ex，得e－xf(e－x)＜1×f(1)，即g(e－x)＜g(1)，所以e－x＞1，解得x＜0.
(2)g(x)在[1，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則g′(x)＞0在[1，2]上有解，即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，∴a＞(－2x2－x)min.又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10，∴實數(shù)a的取值范圍是(－10，＋∞).
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的方法(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解．(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f′(x)＝0在(a，b)上有解(需驗證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號).
1.(2019·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a＝______；若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是____________．解析：若函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)，(a＋1)(ex＋e－x)＝0對任意的x恒成立．若函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x是R上的增函數(shù)，則f′(x)＝ex－ae－x≥0恒成立，a≤e2x，a≤0.即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0].

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