課程標準　研究函數(shù)零點的個數(shù)或范圍、三次函數(shù)與復合函數(shù)的零點問題，以及函數(shù)零點與其他知識的交匯問題．
數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點
含參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)．若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍或判斷零點個數(shù)．
(2024·河南鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．
解：(1)f(x)＝ex－ax＋2a，定義域為R，且f′(x)＝ex－a，當a≤0時，f′(x)>0，則f(x)在R上單調(diào)遞增；當a>0時，令f′(x)＝0，則x＝ln a，當x0，f(x)單調(diào)遞增．綜上所述，當a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞增；當a>0時，f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．
利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點
利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件．
(2022·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝ln (1＋x)＋axe－x.(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若f(x)在區(qū)間(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍．
當x∈(－1，＋∞)時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增．①若a＝0，顯然不滿足．②若a＞0，則當x∈(－1，1)時，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增，此時g(x)和h(x)在(－1，0)上無交點．③若a＜0，則當x∈(－1，1)時，h′(x)＞0，h(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＜0，h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
(ⅰ)當x→＋∞時，h(x)→0，g(x)→＋∞，且g(0)＝h(0)＝0，要滿足g(x)和h(x)的圖象在(0，＋∞)上有一個交點，需g′(0)＜h′(0)，解得a＜－1；(ⅱ)當x＝－1時，h(－1)＝ae，當x→－1時，g(x)→－∞，且g(0)＝h(0)＝0，要滿足g(x)和h(x)的圖象在(－1，0)上有一個交點，也需要g′(0)＜h′(0)，解得a＜－1.綜上所述，a的取值范圍為(－∞，－1).
構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點
涉及函數(shù)的零點(方程的根)問題，主要利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍．
(2024·湖南長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝x ln x－ax2(a∈R).若f(x)在定義域內(nèi)有2個零點，求a的取值范圍．

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