(1)求曲線y=f(x)在(2,f(2))處的切線斜率;(2)當(dāng)x>0時(shí),求證:f(x)>1.
3.(2024·河北石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=aex- x2-x.(1)若f(x)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)a=1時(shí),證明:?x∈(-2,+∞),f(x)>sin x.
h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)h(x)取得極大值且為最大值,最大值h(0)=1,所以a≥1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).
要證f(x)>sin x,只需證f(x)>1.①當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)>g(0)=0,因此f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)>f(0)=1;②當(dāng)x=0時(shí),可得f(0)=1且sin 0=0,所以f(0)>sin 0,滿足f(x)>sin x;
因此f(x)>sin x.綜上可得,?x∈(-2,+∞),都有f(x)>sin x.
4.(2024·湖南益陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)= ax2-xln x.(1)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若a=2e,證明:f(x)

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