1.(多選題)(2024·海南?？谀M)已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列說法不正確的為(　　)A.若m∥α,n?α,則m∥nB.若m∥α,n∥α,則m∥nC.若α∥β,m∥α,則m∥β或m?βD.若m∥n,m?α,則n∥α或n?α
解析 對(duì)于A,若m∥α,n?α,則m與n可能平行或異面,所以A不正確;對(duì)于B,若m∥α,n∥α,則m與n可能平行、相交或異面,所以B不正確;對(duì)于C,若α∥β, m∥α,當(dāng)m?β時(shí),可得m∥β,或者m?β,所以C正確;對(duì)于D,若m∥n,m?α,可得n∥α或n?α,所以D正確.故選AB.
2.(多選題)(2024·福建龍巖模擬)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,
A.BD1∥GHB.BD與EF異面C.EH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1
由GH∥CD1,而CD1∩BD1=D1,所以BD1不可能平行于GH,即A錯(cuò)誤;易知BD與EF不平行,且不相交,由異面直線定義可知,BD與EF異面,即B正確;在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B∥CD1,A1B=CD1,所以EF∥GH,EF=GH,即四邊形EFGH為平行四邊形,所以EH∥FG,又BC∥FG,所以EH∥BC.因?yàn)镋H?平面ABCD,BC?平面ABCD,所以EH∥平面ABCD,即C正確;因?yàn)镋F∥A1B,EF?平面A1BCD1,A1B?平面A1BCD1,所以EF∥平面A1BCD1,又BC∥FG,FG?平面A1BCD1,BC?平面A1BCD1,所以FG∥平面A1BCD1,又EF∩FG=F,且FG,EF?平面EFGH,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,即D正確.
3.如圖所示,平面α∥平面β,直線PA與α相交于點(diǎn)A,與β相交于點(diǎn)B,直線PC與α相交于點(diǎn)C,與β相交于點(diǎn)D.PA=6,AB=2,BD=12,則AC=　　　　.?
4.如圖所示,在四棱錐C-ABED中,四邊形ABED是平行四邊形,點(diǎn)G,F分別是線段EC,BD的中點(diǎn).(1)證明:GF∥平面ABC;(2)H是線段BC的中點(diǎn),證明:平面GFH∥平面ACD.
證明 (1)∵四邊形ABED是平行四邊形,∴連接AE,必與BD相交于中點(diǎn)F,∴GF∥AC.∵GF?平面ABC,AC?平面ABC,∴GF∥平面ABC.
(2)由點(diǎn)G,H分別為CE,CB的中點(diǎn)可得GH∥EB∥AD.∵GH?平面ACD,AD?平面ACD,∴GH∥平面ACD.∵GF∥AC,GF?平面ACD,AC?平面ACD,∴GF∥平面ACD.∵GH∩GF=G,GH,GF?平面GFH,故平面GFH∥平面ACD.
5.如圖,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),M,N分別是PA和AB的中點(diǎn),試過點(diǎn)M,N作平行于AC的平面α.(1)畫出平面α分別與平面ABC,平面PBC,平面PAC的交線;(2)試對(duì)你的畫法給出證明.
解 (1)過點(diǎn)N作NE∥AC交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)M作MF∥AC交PC于點(diǎn)F,連接EF,則平面MNEF為平行于AC的平面α.NE,EF,MF分別是平面α與平面ABC,平面PBC,平面PAC的交線.
(2)∵NE∥AC,MF∥AC,∴NE∥MF.∴直線NE與MF共面.NE是平面MNEF與平面ABC的交線,EF是平面MNEF與平面PBC的交線,MF是平面MNEF與平面PAC的交線.∵NE∥AC,NE?平面MNEF,AC?平面MNEF,∴AC∥平面MNEF.∴平面MNEF為所求的平面α.
6.(2024·遼寧朝陽模擬)如圖,在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1的中點(diǎn),點(diǎn)P是側(cè)面CDD1C1上的動(dòng)點(diǎn),且MP∥平面AB1C,則線段MP長度的取值范圍是　　　　　　　　.?
解析 如圖,取DC的中點(diǎn)N,C1C的中點(diǎn)R,B1C1的中點(diǎn)H,連接NM,NR,MH, HR,MR.根據(jù)正方體的性質(zhì)可得MN∥B1C∥HR,MN?平面AB1C,B1C?平面AB1C,所以MN∥平面AB1C.同理可證MH∥平面AB1C.MN∩MH=M,MN,MH?平面MNRH,所以平面MNRH∥平面AB1C,又平面MNRH∩平面CDD1C1=NR,且MP∥平面AB1C,MP?平面MNRH,點(diǎn)P是側(cè)面CDD1C1上的動(dòng)點(diǎn),所以點(diǎn)P
7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,AC交BD于點(diǎn)O,E是PD上一點(diǎn),且PB∥平面ACE.(1)證明:E為PD的中點(diǎn);(2)在線段PA上是否存在點(diǎn)F,使得平面OEF∥平面PBC?若存在,請(qǐng)給出點(diǎn)F的位置,并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)證明 連接OE.因?yàn)镻B∥平面ACE,PB?平面PBD,平面PBD∩平面ACE=EO,所以PB∥EO.又底面ABCD為平行四邊形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn),所以E為PD的中點(diǎn).
(2)解 存在,F為PA中點(diǎn)時(shí),平面OEF∥平面PBC.因?yàn)镕為PA的中點(diǎn),E為PD的中點(diǎn),所以EF∥AD.因?yàn)锽C∥AD,所以EF∥BC.因?yàn)镋F?平面PBC,BC?平面PBC,所以EF∥平面PBC.同理可證得OE∥平面PBC.因?yàn)镺E∩EF=E,OE,EF?平面OEF,所以平面OEF∥平面PBC.
8.如圖,在幾何體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是正方形,ED∥FC, AD=ED=2FC=4,M,N,Q分別為AD,CD,EB的中點(diǎn),P為ED上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn).證明:(1)FQ∥平面ABCD;(2)平面PMN∥平面EBF.
證明 (1)如圖,連接AC,BD.設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,連接OQ,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,則O為BD的中點(diǎn),又Q為EB的中點(diǎn),于是OQ∥ED∥FC, OQ= ED=FC,即四邊形OQFC為平行四邊形,則FQ∥OC.而FQ?平面ABCD,OC?平面ABCD,所以FQ∥平面ABCD.
(2)取ED的中點(diǎn)H,連接AH,CH,HF.因?yàn)镋H=HD=FC,且ED∥FC,則四邊形HDCF,EHCF都為平行四邊形,有EF∥HC,HF∥CD∥AB, HF=CD=AB,于是四邊形AHFB為平行四邊形,即有AH∥BF.而P為ED上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn),則P為HD的中點(diǎn).又N為CD的中點(diǎn),則PN∥HC,因此EF∥PN.又EF?平面EBF,PN?平面EBF,則PN∥平面EBF.顯然PM∥AH∥BF,又BF?平面EBF,PM?平面EBF,則PM∥平面EBF,而PM∩PN=P,PM,PN?平面PMN,所以平面PMN∥平面EBF.
9.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)E,F分別在線段AC,A1C上,且滿足CE=2EA,CF=2FA1.(1)證明:EF∥平面BB1C1C.(2)在線段B1C上是否存在點(diǎn)G,使得平面EFG∥平面AA1B1B?若存在,求出 ;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)證明 ∵CE=2EA,CF=2FA1,
又AA1∥BB1,∴EF∥BB1.∵BB1?平面BB1C1C,EF?平面BB1C1C,∴EF∥平面BB1C1C.

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