2025高考數(shù)學一輪復(fù)習-第7章-立體幾何與空間向量-第4講空間直線、平面的平行系【課件】-課件下載-教習網(wǎng)

課程標準　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、面面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．　2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題．
1．直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行．
(2)直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理
2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點的兩個平面叫做平行平面．
(2)平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理
1.平行關(guān)系中的三個重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.
2．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化
1．判斷下列結(jié)論是否正確(正確的在括號內(nèi)打“√”，錯誤的在括號內(nèi)打“×”).(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．(　　)(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．(　　)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(　　)
(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(　　)解析：(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯誤．(2)若a∥α，P∈α，則過點P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯誤．(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，故(3)錯誤．
2．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的(　　)A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．無數(shù)條直線不相交D．任意一條直線都不相交解析：因為直線a∥平面α，直線a與平面α無公共點，因此直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交．
解析：①由線面平行的判定定理知l?α；②由線面平行的判定定理知l?α.
直線與平面平行的判定與性質(zhì)
角度1　直線與平面平行的判定例1　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點，求證：(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.
[證明]　(1)如圖，連接BD交AC于O，連接OF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點．又∵F是PD的中點，∴OF∥PB.又∵OF?平面ACF，PB?平面ACF，∴PB∥平面ACF.
判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點).(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).
如圖，四邊形ABCD為矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求證：BF∥平面CDE.
證明：法一：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD.∵AB?平面CDE，CD?平面CDE，∴AB∥平面CDE.又AF∥ED，∵AF?平面CDE，ED?平面CDE，∴AF∥平面CDE.∵AF∩AB＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，∴平面ABF∥平面CDE，又BF?平面ABF，∴BF∥平面CDE.
法二：如圖，在ED上取點N，使DN＝AF，連接NC，NF，∵AF∥DN，且AF＝DN，∴四邊形ADNF為平行四邊形，∴AD∥FN，且AD＝FN.又四邊形ABCD為矩形，AD∥BC且AD＝BC，∴FN∥BC，且FN＝BC，∴四邊形BCNF為平行四邊形，∴BF∥NC.∵BF?平面CDE，NC?平面CDE，∴BF∥平面CDE.
角度2　直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用例2　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.
[證明]　如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點．又M是PC的中點，∴PA∥OM.又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．
如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點．(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
(1)證明：如圖，記AC與BD的交點為O，連接OE.因為O，M分別為AC，EF的中點，且四邊形ACEF是矩形，所以EM∥OA且EM＝OA，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因為OE?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.
(2)解：l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE.又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM.同理，AM∥平面BDE.又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.
平面與平面平行的判定與性質(zhì)
例3　如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合).(1)求證：BC∥HG；(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.
[證明]　(1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，又平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥HG.
(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.
證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β).(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ).
如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，證明：B1D1∥l.
證明：(1)由題設(shè)知BB1綉DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1綉B(tài)1C1綉B(tài)C，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以直線l∥BD.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
所以PR∥平面A1D1DA.又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.
證明平行關(guān)系的常用方法熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關(guān)鍵；面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．
如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．
(1)證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.