1.以立體幾何的定義、基本事實(shí)和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、面面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理. 2.能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)直線l與平面α平行.(2)直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理
2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理
1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化
(1)平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想，解題過(guò)程中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向.(2)在應(yīng)用判定定理與性質(zhì)定理時(shí)，一定要寫(xiě)全定理滿足的條件，否則可能是假命題.
1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
解析　(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯(cuò)誤.(2)若a∥α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯(cuò)誤.(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，故(3)錯(cuò)誤.
(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.(　　)(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無(wú)數(shù)條.(　　)(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(　　)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(　　)
2.(必修二P143T1改編)如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的(　　)A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無(wú)數(shù)條直線不相交D.任意一條直線都不相交
解析　因?yàn)橹本€a∥平面α，直線a與平面α無(wú)公共點(diǎn)，因此直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交.
3.(必修二P138例3改編)如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)_____________.
解析　因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.
解析?、儆删€面平行的判定定理知lα；②由線面平行的判定定理知lα.
KAODIANJUJIAOTUPO
考點(diǎn)一　直線與平面平行的判定與性質(zhì)
角度1　直線與平面平行的判定例1 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點(diǎn).求證：BE∥平面PAD.
證明　法一　如圖，取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)A.由題意知EF為△PDC的中位線，
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.
法二　如圖，延長(zhǎng)DA，CB相交于點(diǎn)H，連接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
又E為PC的中點(diǎn)，∴BE∥PH，又BE平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD.法三　如圖，取CD的中點(diǎn)H，連接BH，HE，
∵E為PC的中點(diǎn)，∴EH∥PD，又EH平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，
又由題意知AB綉DH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.
角度2　直線與平面平行的性質(zhì)例2 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.
證明　如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，又OM平面BMD，PA平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA平面PAHG，∴PA∥GH.
1.判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn)).(2)利用線面平行的判定定理(aα，bα，a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aα?a∥β).(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aβ，a∥α?a∥β).2.應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面確定交線.
訓(xùn)練1 如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).(1)求證：AM∥平面BDE；
證明　如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，且四邊形ACEF是矩形，所以EM∥OA且EM＝OA，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE，又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
解　l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.
考點(diǎn)二　平面與平面平行的判定與性質(zhì)
例3 (2024·濰坊質(zhì)檢)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為棱B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn).(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
證明　∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，∴EF∥A1C1.∵A1C1?平面A1C1G，EF平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G.又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四邊形A1GBF為平行四邊形，∴BF∥A1G.∵A1G?平面A1C1G，BF平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn).
證明　∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的直線交BC于H，則A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn).
證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β).(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ).
訓(xùn)練2 如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過(guò)BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合).(1)求證：BC∥GH；
證明　∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.
(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.
證明　∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.
考點(diǎn)三　平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
如圖，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.
由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn).
在△A1BC1中，O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，∴OD1∥BC1.又OD1?平面AB1D1，BC1平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.
解　由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.
解決面面平行問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過(guò)于“模式化”.(2)解答探索性問(wèn)題的基本策略是先假設(shè)，再?lài)?yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法.
解析　如圖，連接D1A，AC，D1C，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為AB，BC，C1D1的中點(diǎn)，所以AC∥EF，又EF平面ACD1，AC平面ACD1，所以EF∥平面ACD1，易知EG∥AD1，
所以同理可得EG∥平面ACD1，
又EF∩EG＝E，EF，EG平面EFG，所以平面ACD1∥平面EFG.因?yàn)橹本€D1P∥平面EFG，所以點(diǎn)P在直線AC上.
微點(diǎn)突破　 截面（交線）問(wèn)題
1.作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：（1）在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；（2）凡是相交的直線都要畫(huà)出它們的交點(diǎn)；（3）凡是相交的平面都要畫(huà)出它們的交線.2.作交線的方法有如下兩種：（1）利用基本事實(shí)3作交線；（2）利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.
例1 (2024·寧波質(zhì)檢)已知四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)且PF＝2FC，則平面BEF截四棱錐P－ABCD所得的截面圖形是(　　)A.斜三角形B.梯形C.平行四邊形D.兩組對(duì)邊均不平行的四邊形
解析　如圖，延長(zhǎng)EF和DC，設(shè)其交點(diǎn)為G，連接BG，延長(zhǎng)DA并與直線BG交于點(diǎn)H，連接HE交PA于點(diǎn)K，
連接KB，得四邊形EFBK，假設(shè)KE∥BF，易證BF∥平面PAD，易知BC∥平面PAD，易得平面PBC∥平面PAD，與平面PBC與平面PAD有公共點(diǎn)P矛盾，故假設(shè)不成立，因此KE與BF不平行，同理可證KB與EF不平行，因此四邊形EFBK的兩組對(duì)邊均不平行，故選D.
解析　如圖，設(shè)B1C1的中點(diǎn)為E，球面與棱BB1，CC1的交點(diǎn)分別為P，Q，
連接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD為等邊三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1為等邊三角形，
∴E為球面截側(cè)面BCC1B1所得截面圓的圓心，
訓(xùn)練 (1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長(zhǎng)為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為_(kāi)_______.
解析　如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM∥C1E交B1C1于點(diǎn)M，
過(guò)點(diǎn)M作BD的平行線，交C1D1于點(diǎn)N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，
解析　設(shè)球O的半徑為r，則AB＝BC＝2r，
又O2為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)2P⊥AB.又O1O2∩O2P＝O2，O1O2，O2P?平面O1O2P，
所以AB⊥平面O1O2P，又OH?平面O1O2P，所以AB⊥OH.因?yàn)镺H⊥O2P，且AB∩O2P＝O2，AB，O2P?平面ABP，所以O(shè)H⊥平面ABP.
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.如圖，已知P為四邊形ABCD外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BD，PD上的點(diǎn)，若EF∥平面PBC，則(　　)A.EF∥PAB.EF∥PBC.EF∥PCD.以上均有可能
解析　由線面平行的性質(zhì)定理可知EF∥PB.
2.如果AB，BC，CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過(guò)它們中點(diǎn)的平面和直線AC的位置關(guān)系是(　　)A.平行B.相交C.AC在此平面內(nèi)D.平行或相交
解析　如圖，把這三條線段放在正方體內(nèi)，可得AC∥EF，AC平面EFG，EF平面EFG，故AC∥平面EFG.
3.下列命題中正確的是(　　)A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面B.若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，則b∥α
解析　A中，a可以在過(guò)b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，故D正確.
4.已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.4∶25
解析　∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
5.(2024·成都診斷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是(　　)①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④
解析　對(duì)于①，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因?yàn)锳B∥C1D1，且AB＝C1D1，所以四邊形AD1C1B為平行四邊形，故AD1∥BC1，故①正確；對(duì)于②，易證BD∥B1D1，AB1∥DC1，BD?平面BDC1，B1D1平面BDC1，所以B1D1∥平面BDC1，
同理可得AB1∥平面BDC1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，故平面AB1D1∥平面BDC1，故②正確；對(duì)于③，由正方體ABCD－A1B1C1D1易知，AD1與DC1異面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)锳D1∥BC1，AD1平面BDC1，BC1?平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正確.故選A.
6.(2024·杭州質(zhì)檢)已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，則“α∥β”的充要條件是(　　)A.平面α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與β平行B.存在直線l與α，β所成的角相等C.存在平面γ，滿足γ∥α且γ∥βD.平面α內(nèi)存在不共線的三個(gè)點(diǎn)到β的距離相等
解析　對(duì)于A，如果α∩β＝l，則在α內(nèi)與l平行的直線有無(wú)數(shù)條，這無(wú)數(shù)條直線都與平面β平行，但此時(shí)α不平行于β，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果α∩β＝m，在空間內(nèi)必存在直線lα，lβ，且l與m平行，此時(shí)l也與兩個(gè)平面平行，即直線l與α，β所成的角都等于0，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如果α∥β，則一定存在平面γ，滿足γ∥α且γ∥β，若γ∥α且γ∥β，則也一定有α∥β，則“α∥β”的充要條件是“存在平面γ，滿足γ∥α且γ∥β”，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)α∥β時(shí)，α內(nèi)必存在不共線的三個(gè)點(diǎn)到β的距離相等，但當(dāng)α∩β＝m時(shí)，同樣可以在α內(nèi)找到不共線的三個(gè)點(diǎn)到β的距離相等，故D錯(cuò)誤.故選C.
7.(2024·新鄉(xiāng)模擬)在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是(　　)
解析　對(duì)于A，如圖①，連接B1N，由正方體的性質(zhì)可知BM∥B1N，又B1N與平面CNQ相交，所以直線BM與平面CNQ不平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，如圖②，連接AC，AQ，由正方體的性質(zhì)可知NQ∥AC，故平面CNQ即為平面ACNQ，而B(niǎo)M∥AQ，BM平面CNQ，AQ平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故B正確；
對(duì)于C，如圖③，連接BQ，由中位線定理及正三棱柱的性質(zhì)可知NQ∥BC，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點(diǎn)B，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，假設(shè)直線BM與平面CNQ平行，如圖④，過(guò)點(diǎn)M作CQ的平行線交A1B1于點(diǎn)D，則D是線段A1B1上靠近點(diǎn)B1的四等分點(diǎn)，連接BD，由MD∥CQ，MD平面CNQ，CQ平面CNQ，可得MD∥平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，MD∩BM＝M，MD，BM平面BDM，則平面BDM∥平面CNQ，而平面ABB1A1與平面BDM、平面CNQ分別相交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故D錯(cuò)誤.故選B.
8.如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件_________________________________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況)
點(diǎn)M在線段FH上(或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合)
解析　連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N(圖略)，則FH∥DD1，HN∥BD，易證得FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，F(xiàn)H∩HN＝H，F(xiàn)H，HN平面FHN，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
9.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上.若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________.
解析　因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，
10.我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·商功》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分別是BB1和A1C1的中點(diǎn)，則平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積為 .
解析　延長(zhǎng)AN，與CC1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，
則P∈平面BB1C1C，連接PM，與B1C1交于點(diǎn)E，連接NE，得到的四邊形AMEN是平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形，
11.如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，PD＝AB＝2，AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).設(shè)平面PDC∩平面PBE＝l.證明：(1)DF∥平面PBE；
證明　取PB中點(diǎn)G，連接FG，EG，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，且DE＝FG，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以DF∥GE，因?yàn)镈F平面PBE，GE平面PBE，所以DF∥平面PBE.
證明　由(1)知DF∥平面PBE，又DF平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.
12.如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：(1)BE∥平面DMF；
證明　如圖，連接AE，則AE必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛DEF為平行四邊形，所以O(shè)為AE的中點(diǎn)，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE∥平面DMF.
(2)平面BDE∥平面MNG.
證明　因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥NG，又DE平面MNG，NG平面MNG，所以DE∥平面MNG，因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.
13.(多選)(2024·蘇州質(zhì)量評(píng)估)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，則(　　　)A.平面PBC內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與平面PAD平行B.平面PAD和平面PBC的交線與底面ABCD平行C.平面PAB和平面PCD的交線與底面ABCD平行D.平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行
解析　設(shè)平面PBC∩平面PAD＝l，在平面PBC內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與l平行，且不在平面PAD內(nèi)，則在平面PBC內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與平面PAD平行，故A正確；若l∥平面ABCD，l平面PBC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，則l∥BC，
同理，l∥AD，則BC∥AD，這與四邊形ABCD為梯形矛盾，故B錯(cuò)誤；設(shè)平面PAB∩平面PCD＝m，∵AB∥CD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴AB∥m，又AB平面ABCD，m平面ABCD，∴m∥平面ABCD，故C正確；假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一條直線a與BC平行，則BC∥平面PAD，又BC平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，則BC∥AD，不符合題意，∴平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行，故D正確.
14.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)P在棱DD1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否都有MN∥平面A1C1P，證明你的結(jié)論；
解　當(dāng)點(diǎn)P在棱DD1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，都有MN∥平面A1C1P.證明如下：連接AC，在正方形ABCD中，MN為△ABC的中位線，可得MN∥AC，由正方體的截面性質(zhì)可得四邊形A1ACC1為矩形，則AC∥A1C1，可得MN∥A1C1，又MN平面A1C1P，A1C1?平面A1C1P，則MN∥平面A1C1P.
證明　取A1A的中點(diǎn)F，連接PF，F(xiàn)B1，取B1B的中點(diǎn)E，連接AE，由FP∥A1D1，F(xiàn)P＝A1D1，A1D1∥B1C1，A1D1＝B1C1，可得FP∥B1C1，F(xiàn)P＝B1C1，即四邊形FPC1B1為平行四邊形，可得FB1∥PC1，由E為B1B的中點(diǎn)，且B1Q＝3QB，可得Q為BE的中點(diǎn)，且MQ∥AE，
由AEB1F為平行四邊形，可得AE∥FB1，即有MQ∥PC1.又MQ平面A1C1P，PC1平面A1C1P，則MQ∥平面A1C1P，又MN∥平面A1C1P，MN∩MQ＝M，MN，MQ平面MNQ，則平面MNQ∥平面A1C1P.

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