2.如圖,三棱臺ABC-A1B1C1的下底面是正三角形,AB⊥BB1,B1C1⊥BB1,則二面角A-BB1-C的大小是(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°
解析 在三棱臺ABC-A1B1C1中,因為B1C1∥BC,且B1C1⊥BB1,所以BC⊥BB1.又AB⊥BB1,且AB∩BC=B,AB,BC?平面ABC,所以B1B⊥平面ABC,所以∠ABC為二面角A-BB1-C的平面角.因為△ABC為等邊三角形,所以∠ABC=60°.
3.(2024·湖南長沙模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E在線段BB1上運動,則下列直線與平面AD1E的夾角為定值的是(　　)A.B1CB.BC1C.A1CD.AC1
解析 連接BC1.因為BC1∥AD1,且AD1?平面AD1E, BC1?平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E,所以BC1與平面AD1E的夾角始終為0°.而直線B1C,A1C,AC1與平面AD1E的夾角均會因為點E的位置的不同而不同.
4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD, AB=AP=2,點E,F分別是PC,PD的中點,則點C到平面AEF的距離為(　　)
解析 在四棱錐P-ABCD中,因為底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,所以CD⊥AD,CD⊥PA,又AD∩PA=A,AD,PA?平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又PD?平面PAD,所以CD⊥PD.因為點E,F分別是PC,PD的中點,所以CD∥EF,所以PD⊥EF,又PA=AD,則AF⊥PD,且EF∩AF=F,AF,EF?平面AEF,所以PD⊥平面AEF,所以線段PF為點P到平面AEF的距離,又E是PC的中點,所以點C與點P到平面AEF的距離相等,又PF= ,所以點C到平面AEF的距離為
5.(2023·全國乙,理9)已知△ABC為等腰直角三角形,AB為斜邊,△ABD為等邊三角形,若二面角C-AB-D為150°,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為(　　)
(方法二)取AB中點O,連接OC,OD.以O(shè)為原點,OA,OC所在直線分別為x軸、y軸,過O點作平面ABC的垂線為z軸建立空間直角坐標系(圖略).設(shè)
6.(2024·河南名校聯(lián)考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD, ∠ABC=∠ACD=60°,AB=BC=2,CD=1,且二面角P-BC-A為60°,則四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為(　　)
解析 因為AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC為正三角形.取BC的中點E,連接PE,AE,則AE⊥BC.因為PA⊥底面ABCD,BC?平面ABCD,所以PA⊥BC,又PA∩AE=A,PA,AE?平面PAE,所以BC⊥平面PAE,則BC⊥PE,則∠PEA為二面角P-BC-A的平面角,所以∠PEA=60°,所以PA=AEtan 60°=3,
為PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD,又PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因為PD?平面PAD,所以CD⊥PD.
7.(2022·浙江,8)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分別是棱BC,A1C1上的點.記EF與AA1所成的角為α,EF與平面ABC所成的角為β,二面角F-BC-A的平面角為γ,則(　　)A.α≤β≤γB.β≤α≤γC.β≤γ≤αD.α≤γ≤β
8.(多選題)(2022·新高考Ⅰ,9)已知正方體ABCD -A1B1C1D1,則(　 　)A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°
解析 連接AD1,∵在正方體ABCD -A1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直線BC1與DA1所成的角為90°,故A正確;連接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1?平面A1B1C, B1C?平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1?平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直線BC1與CA1所成的角為90°,故B正確;連接A1C1,交B1D1于點O,連接BO.易證C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO為直線BC1與平面BB1D1D所成的角.設(shè)
∴∠C1BO=30°,故C錯誤;∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角.又∠C1BC=45°,∴直線BC1與平面ABCD所成的角為45°,故D正確.故選ABD.
9.如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=3,PB=PC=BC=6,則二面角P-BC-A的正弦值為　　　　.?
解析 取BC的中點D,連接PD,AD.因為PB=PC,所以PD⊥BC.因為PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.因為PD?平面PAD,PA?平面PAD,PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD.因為AD?平面PAD,所以BC⊥AD.所以∠PDA為二面角P-BC-A的平面角.因為PB=PC=BC=6,所以
10.如圖,AB是圓柱OO1的一條母線,BC是底面圓的一條直徑,D是圓O上一點,且AB=BC=5,CD=3.(1)求直線AC與平面ABD所成角的正弦值;(2)求點B到平面ACD的距離.
解 (1)∵AB⊥平面BCD,BC,CD?平面BCD,∴AB⊥CD,AB⊥BC.∵BC是圓O的直徑,∴BD⊥CD,又AB∩BD=B,AB,BD?平面ABD,∴CD⊥平面ABD,∴∠CAD即為直線AC與平面ABD所成角.
(2)過點B作BM⊥AD,垂足為M.由(1)知CD⊥平面ABD,CD?平面ACD,∴平面ABD⊥平面ACD,又平面ABD∩平面ACD=AD,BM?平面ABD,BM⊥AD,∴BM⊥平面ACD.
11.(2024·海南?？谀M)如圖,點P是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上的一個動點,直線AP與平面ABCD所成的角為45°,則點P的軌跡長度為(　　)
13.如圖,△ACD和△BCD都是邊長為2的等邊三角形,平面ACD⊥平面BCD,BE⊥平面BCD.(1)證明:BE∥平面ACD;(2)若點E到平面ABC的距離為 ,求平面ECD與平面BCD夾角的正切值.
(1)證明 如圖,取CD的中點O,連接AO,則AO⊥CD.又平面ACD⊥平面BCD,且平面ACD∩平面BCD=CD,AO?平面ACD,則AO⊥平面BCD.又BE⊥平面BCD,所以BE∥AO.又BE?平面ACD,AO?平面ACD,所以BE∥平面ACD.
因為BE⊥平面BCD,DF?平面BCD,則DF⊥BE,又DF⊥BC,BE∩BC=B,BE?平面EBC,BC?平面EBC,所以DF⊥平面EBC.因為BE∥AO,所以點A到平面EBC的距離等于點O到平面EBC的距離,為
14.(2024·江蘇淮安模擬)刻漏是中國古代用來計時的儀器,利用附有刻度的浮箭隨著受水壺的水面上升來指示時間.為了使受水壺得到均勻水流,古代的科學家們發(fā)明了一種三級漏壺,壺形都為正四棱臺.自上而下,三個漏壺的上口寬依次遞減1寸(約3.3厘米),下底寬和深度也依次遞減1寸.自上而下設(shè)三個漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角依次為θ1,θ2,θ3,則(　　)A.θ1+θ3=2θ2B.sin θ1+sin θ3=2sin θ2C.cs θ1+cs θ3=2cs θ2D.tan θ1+tan θ3=2tan θ2

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