中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納專練專題13 平行四邊形（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型演練
題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解
1．在下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）
A．對(duì)邊相等B．對(duì)角相等C．對(duì)角線相等D．內(nèi)角和為
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】∵平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等，內(nèi)角和為，
∴平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是對(duì)角線相等；
故選：C．
2．如圖，平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則與的面積比為（）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【答案】C
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知，，得出；即，再根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形
∴，
∴
∴
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)
∴
∴
故選：C．
3．如圖，平行四邊形中，的平分線交于E，，，則的長(zhǎng)（）
A．4B．5C．5.5D．6
【答案】B
【分析】由在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)E，易證得，繼而求得的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：B
4．在中，的平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)是______．
【答案】4或8
【分析】分兩種情形討論即可①如圖1中，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，②如圖2中，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)．由平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的判定可得出答案．
【詳解】解：如圖，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
同理可證：，
，
，
，
，
；
如圖中，
同理可知，，
，
．
，
綜上所述為或，
故答案為：或．
5．如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E在上，以為折痕，把向上翻折，點(diǎn)A正好落在邊的點(diǎn)F處，若的周長(zhǎng)為6，的周長(zhǎng)為，那么的長(zhǎng)為_(kāi)________．
【答案】7
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，，從而平行四邊形的周長(zhǎng)可以轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)，求出，再由的周長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】∵向上翻折，點(diǎn)A正好落在邊上，
∴，，
∵的周長(zhǎng)為6，的周長(zhǎng)為20，
∴，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，即，
∴．
故答案為：7．
6．如圖，在平行四邊形中，，，．求平行四邊形的面積．
【答案】
【分析】過(guò)D作于E，由平行四邊形的性質(zhì)得，，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得，然后由勾股定理得，即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，過(guò)D作于E，則，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四邊形的面積．
7．如圖，在平行四邊形中，是它的一條對(duì)角線．
(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)連接，若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法畫出圖形，即可求解；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到，再由三角形的外角性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴ ，
∴．
8．已知：中，，AE平分交BC于E點(diǎn)．
(1)求的度數(shù)；
(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)128°；
(2)116°；
【分析】（1）由ABCD是平行四邊形可得AD∥BC，由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠BAD；
（2）由角平分線的定義可得∠DAE，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠AEC；
【詳解】(1)解：∵ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=52°，
∴∠BAD=180°-52°=128°，
(2)解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=64°；
∵AD∥BC，
∴∠DAE+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°-64°=116°；
題型二利用平行四邊形的性質(zhì)證明
9．如圖，在平行四邊形中，，，的平分線交于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，再結(jié)合角平分線的定義可證∠CBF=∠CFB，進(jìn)而可求出DF的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵平行四邊形ABCD，，，
∴ ，AB=CD=3，BC=AD=5，
∴∠ABE=∠CFE，
∵∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠CBF=∠CFB，
∴CF=CB=5，
∴DF=CF-CD=5-3=2
故選：C．
10．如圖，中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O分別與BC，AD交與點(diǎn)M，N，下列結(jié)論中，不一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)推理證明即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，A成立，不符合題意；
∵AD∥BC，
∴，
∵點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，，C、D成立，不符合題意；
不一定成立，B符合題意；
故選：B．
11．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長(zhǎng)度的最小值為（）
A．6B．8C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，可以得到當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP取得最小值，此時(shí)CP的值就是AQ的最小值，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵四邊形PAQC是平行四邊形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP取得最小值，
∵∠BAC＝45°，
，
設(shè)，
在Rt△APC中，AB＝AC＝8，
則，即，
解得，
故選：D．
12．如圖，在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于E，如果AE＝4，DE＝3，DC＝5，則AC長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】連接CE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO＝CO，然后判斷出OE垂直平分AC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得CE＝AE＝4，利用勾股定理的逆定理得到∠CED＝90°，得到△AEC是等腰直角三角形，即可求得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接CE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE＝4，
∵DE＝3，
∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC＝AE＝4，
故答案為：4．
13．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝45°，AD＝2，E，H分別為邊AB，CD上一點(diǎn)．將平行四邊形ABCD沿EH翻折，使得AD的對(duì)應(yīng)線段FG經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，若FG⊥CD，C為FG的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度為 _____．
【答案】
【分析】延長(zhǎng)CF與AB交于點(diǎn)M，由平行四邊形的性質(zhì)得BC，GM⊥AB，即可得，然后可得GF，∠EFG，進(jìn)而得FM，∠EFM，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)CF與AB交于點(diǎn)M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，BC=AD=2，
∵FG⊥CD，
∴CM⊥AB，
∵∠B=45°，
∴BM=CM，
∴，
∴CM，
由折疊知GF=AD=2，
∵C為FG的中點(diǎn)，
∴CG=1，
∴，
∵∠EFG=∠A=180°-∠B=135°，
∴∠MFE＝45°，
∴．
故答案為：．
14．已知：如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、為對(duì)角線上兩點(diǎn)，且求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出答案．
【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
在和中，
，
，
，
即．
15．如圖，在中，．
(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在上截取，使；作的平分線交于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）所作的圖形中，連接交于點(diǎn)G，證明：．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用尺規(guī)作圖畫出圖形，即可求解；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，再由平分，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)E、F即為所求；
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
16．如圖，在?ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠DAE＝35°．
(1)求證：△AED≌△CFB；
(2)求∠CBF的度數(shù)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)∠CBF＝55°
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得到∠DAE＝∠BCF，再結(jié)合條件即可．
（2）利用互余求角度，結(jié)合（1）中的全等解題即可．
【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD＝CB，
又AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC．
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（AAS）；
（2）解：在Rt△ADE中，∠DAE＝35°，∠DEA＝C＝90°，
∠ADE＝90°﹣∠DAE＝55°，
∵△AED≌△CFB（AAS），
∴∠CBF＝∠ADE＝55°
17．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥DE，AE=AD，AE交BC于O．
(1)求證：∠BCA=∠EAC；
(2)若CE=3，AC=4，求COE的周長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)8
【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明∠DAC=∠BCA，再由三線合一定理證明，即可證明∠BCA=∠EAC；
（2）先根據(jù)等角對(duì)等邊證明OA=OC，再由勾股定理求出AE的長(zhǎng)，最后證明△COE的周長(zhǎng)= AE+CE即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AE=AD，AC⊥ED，
∴，
∴∠BCA=∠EAC；
（2）解：∵∠BCA=∠EAC，
∴OA=OC，
∵AC⊥DE，即∠ACE=90°，
∴在Rt△ACE中，由勾股定理得：，
∴△COE的周長(zhǎng)=CE+OC+OE=OA+OE+CE=AE+CE=8．
18．如圖，在平行四邊形中，，是對(duì)角線，是的平分線，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)若，，寫出圖中長(zhǎng)度等于的所有線段．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出答案；
（2）利用等邊三角形的判定方法得出和是等邊三角形，再證明得出≌（ASA），即可得出，進(jìn)而可判定為矩形，再利用矩形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得答案．
【詳解】（1）證明：如圖，
是的平分線，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
．
（2）解：，
理由：如圖，，，
，
，
，
則是等邊三角形，
可得，，
，
，
是直角三角形，，
在和中，
≌（ASA），
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形．
，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
．
題型三判斷能否構(gòu)成平行四邊形
19．下列命題中，真命題的是（）
A．一組對(duì)角相等且一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
B．一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形
C．兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
D．一組鄰邊相等且一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形
【答案】C
【分析】對(duì)各個(gè)命題逐一判斷后找到正確的即可確定真命題．
【詳解】解：、一組對(duì)角相等且一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，如等腰梯形，原命題是假命題,不符合題意；
B、一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題,不符合題意；
C、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，原命題是真命題,符合題意；
D、一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題,不符合題意；
故選：C
20．下列四組條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）．
A．AB＝DC，AD＝BCB．
C．，AB＝DCD．，AD＝BC
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可．
【詳解】解：A．∵AB=DC，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形），故該選項(xiàng)不符合題意；
B．∵，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形），故該選項(xiàng)不符合題意；
C．∵，AB=DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），故該選項(xiàng)不符合題意；
D．由，AD=BC不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
21．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理推理判斷即可．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以∠ABD=∠CDB，
因?yàn)椤螦OB=∠COD，
所以△AOB≌△COD，
所以O(shè)B=OD，
所以四邊形ABCD是平行四邊形，
故A可以，不符合題意；
因?yàn)椋?br>所以∠DAC=∠BCA，
因?yàn)锳C=CA，
所以△ACD≌△CAB，
所以AD=BC，
所以四邊形ABCD是平行四邊形，
故B可以，不符合題意；
因?yàn)椋?br>無(wú)法判定四邊形ABCD是平行四邊形，
故C不可以，符合題意；
因?yàn)椋?br>所以四邊形ABCD是平行四邊形，
故D可以，不符合題意；
故選：C．
22．如圖，是四邊形的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，則下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行線的判定方法判斷即可得到結(jié)果．
【詳解】解：A. ，
，
，
四邊形是平行四邊形，故不符合題意；
B. ，
，
，
四邊形是平行四邊形，故不符合題意；
C. ，
，不能判斷四邊形是平行四邊形，故符合題意；
D. ，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，故不符合題意．
故選：C．
23．下列命題錯(cuò)誤的是（）
A．一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形不一定是平行四邊形
B．一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連接的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形不一定是平行四邊形
C．一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)連接的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形不一定是平行四邊形
D．一組對(duì)邊相等一組對(duì)角相等的四邊形不一定是平行四邊形
【答案】B
【分析】根據(jù)所給的每一個(gè)命題進(jìn)行推導(dǎo)，看是否符合平行四邊形的判定定理：A、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；B、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；C、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；D、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
【詳解】A、一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形，但不能證明另一組對(duì)邊也相等或平行，故該命題正確；
B、一組對(duì)角相等，這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連接的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是四邊形，能證明另一組對(duì)角也相等，故該命題錯(cuò)誤；
C、一組對(duì)角相等，這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連接的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形，不能證明另一組對(duì)角也相等，故該命題正確；
D、一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，不能證明另一組對(duì)邊也相等或平行，故該命題正確；故選：B．
題型四證明四邊形是平行四邊形
24．如圖，已知在四邊形中，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)A，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】先證明，得，再證，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
25．如圖，已知在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)角邊角，證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)平行四邊形的判定定理，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
26．已知，點(diǎn)B，D在線段AF上，，且．
(1)求證：；
(2)連接，，求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）由得到，即，由得到，即可證明；
（2）連接，，由（1）知，可得，，則，即可證得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖所示：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）連接，，
由（1）知，
∴，．
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
27．如圖，在中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連接，，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)12cm2
【分析】（1）證DE是△ABC的中位線，得DEBC，BC=2DE，再證DE=BF，即可得出四邊形DEFB是平行四邊形；
（2）由（1）得：BF=DE=3，四邊形DEFB是平行四邊形，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)四邊形的面積=BF?CD，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DEBC，BC=2DE，
∵CF=3BF，
∴BC=2BF，
∴DE=BF，
∴四邊形DEFB是平行四邊形；
（2）解：由（1）得：DE=BF=3cm，
∵D是AC的中點(diǎn)，CE=5cm，
∴AB=10cm，BC=6cm，
∵∠ACB=90°，
∴AC=（cm），
∴CD=cm
∴四邊形DEFB的面積=BF?CD=4×3=12（cm2）．
28．如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
(1)求證：∠ACB＝∠DFE；
(2)連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)四邊形BFEC是平行四邊形
【分析】（1）證△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，則BC∥EF，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵AF=CD，
∴AF ＋ CF = CD ＋ CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
△ABC≌△DEF（SSS）
（2）如圖，四邊形BFEC是平行四邊形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB=∠DFE，
∴BC EF，
又∶ BC = EF，
四邊形BFEC是平行四邊形．
29．如圖，中，D是邊上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作∥交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形：
(2)若，，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到四邊形ADCE是平行四邊形；
（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，．
∵F是AC中點(diǎn)，
∴．
在與中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四邊形ADCE是平行四邊形；
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，
在中，，，，，
由勾股定理得，
∴，
在中，，，，
∴，
∴．
30．已知：如圖，在四邊形ABCD中，，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC的中點(diǎn)．
(1)求證：≌；
(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，得到∠ABO =∠CDO，∠BAO=∠DCO，再結(jié)合AO = CO，即可證明結(jié)論成立；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得到AB = CD，即可證明四邊形ABCD是平行四邊形．
【詳解】（1）證明：∵AB//CD
∴∠ABO =∠CDO，∠BAO=∠DCO，
∵O是AC的中點(diǎn)，
∴AO = CO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB ≌ △COD（AAS）；
（2）證明：由（1）知△AOB ≌ △COD，
∴AB = CD
又AB//CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
31．如圖，在四邊形中，點(diǎn)E，C為對(duì)角線上的兩點(diǎn)，．連接．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，求證：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由可得，證明，則，，進(jìn)而結(jié)論得證；
（2）由，可知，，則，證明，進(jìn)而結(jié)論得證．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）證明：由（1）知，，
∴，AC=DE，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
題型五利用矩形的性質(zhì)求角度和線段長(zhǎng)度
32．如圖，矩形中，，交于點(diǎn)O，M，N分別為，的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，得到．
【詳解】解：∵矩形中，，交于點(diǎn)O，
則，
∵
∴
在中，M，N分別為，的中點(diǎn)
∴
∴
故選：A
33．如圖，矩形中，于，且：：，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用矩形的性質(zhì)結(jié)合：：，求解再求解再利用角的和差即可得到答案．
【詳解】解：∵矩形中，
∴
∵：：，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
故選C．
34．如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，C分別在直線a，b上，且，，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先過(guò)點(diǎn)D作，由，可求得∠3的度數(shù)，易得，繼而求得答案．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
35．如圖，矩形的對(duì)角線，，則的長(zhǎng)是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分可得，再根據(jù)鄰角互補(bǔ)求出的度數(shù)，然后得到是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解
【詳解】解：在矩形中，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
故選：C．
36．如圖，點(diǎn)為矩形對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（）
A．1B．2C．3D．6
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的兩條對(duì)角線相等，即可解答．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，
故選：D．
37．如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，則的長(zhǎng)為（）
A．4B．6C．8D．
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合已知求得，從而得出，在中，由勾股定理可求得的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
在中，
故選：D．
38．如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．
（1）求證：．
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）18°
【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形得出OA=OD，再證△AEO≌△DFO（AAS），即可得出結(jié)論．
（2）由矩形的性質(zhì)得出∠BAD=90°，OA=OB，則∠OAB=∠OBA，結(jié)合已知求出∠BAE=36°，則∠OBA=∠OAB=54°，即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴，AC=BD；
∴OA=OD
∵AE⊥BD于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠AEO=∠DFO=90°，
在△AEO和△DFO中，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴AE=DF，
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD=2：3，
∴∠BAE=36°，
∵∠AEB=90°
∴∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，
∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=54°-36°=18°．
39．如圖，在平行四邊形中，于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，與交于點(diǎn)．
(1)求證：四邊形為矩形；
(2)若，，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線段的和差關(guān)系可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，即可得出，，可證明四邊形AEFD為平行四邊形，根據(jù)即可得結(jié)論；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，可得為直角三角形，利用“面積法”可求出的長(zhǎng)，即可得答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
即，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴，
∴平行四邊形為矩形；
（2）解：由（1）知，四邊形為矩形，
∴，，
∵，
∴
∴為直角三角形，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
40．如圖，在矩形中，E是上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，設(shè)．
(1)若，求證：；
(2)若，，且D、B、F在同一直線上時(shí)，求λ的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用證明解題；
（2）利用同角的余角相等得到，利用三角函數(shù)、勾股定理解得長(zhǎng)，進(jìn)而求出的值．
【詳解】（1）證明：連接，如圖：
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）當(dāng)D、B、F在同一直線上時(shí)，如圖所示：
∵四邊形為矩形，
∴，
在中，，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴．
41．如圖，在四邊形中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)求證：四邊形為矩形；
(2)若，，求的長(zhǎng)度．結(jié)果可保留根號(hào)
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)，，得到四邊形為平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和，得到，即可得證；
（2）證明，得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)，求出，進(jìn)而得到，再利用勾股定理，進(jìn)行求解即可。
【詳解】（1）證明：在四邊形中，，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
四邊形是矩形；
（2）解：，
，
為的中點(diǎn)，
．
在和中
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
為的中點(diǎn)，
，
在中，由勾股定理得：．
題型六利用矩形的性質(zhì)證明
42．如圖，四邊形是矩形，對(duì)角線相交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．
【答案】見(jiàn)詳解
【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得，對(duì)邊平行可得，再證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得，從而得證．
【詳解】證明：∵四邊形是矩形，
∴，，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴．
43．如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，，，垂足為．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】，理由見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)題中條件，可以判斷．要證明兩條線段相等，只需證明包含這兩條邊的，再利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：．
理由如下：
在矩形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
44．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且AF＝CE，求證：DF＝BE．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】利用矩形的性質(zhì)，證明Rt△ADF≌Rt△CBE，即可得解．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，
在Rt△ADF與Rt△CBE中，
AD＝CB，AF＝CE，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴DF＝BE．
45．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，連接BM，CM，且BM＝CM．
(1)求證：四邊形ABCD是矩形；
(2)若△BCM是直角三角形，寫出AD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由SSS證明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行線的性質(zhì)得出∠A+∠D=，證出∠A=，即可得出結(jié)論；
（2）先證明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=，再證明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，
∴AM=DM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，，
在△ABM和△DCM中，
∵，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A=∠D，
∵，
∴∠A+∠D=，
∴∠A=，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形；
（2）解：AD與AB之間的數(shù)量關(guān)系：AD=2AB，理由如下：
∵△BCM是直角三角形，BM=CM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠MBC=，
由（1）得：四邊形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB=AM，
∵點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，
∴AD=2AM ，
∴AD=2AB．
46．在矩形ABCD中，E在BC的延長(zhǎng)線上，連接DE，過(guò)點(diǎn)B作BF//DE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
(1)求證：BF＝DE；
(2)連接AE，若AF＝1，AB＝2，AD，求證：AE平分∠DEB．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，BF∥DE，即可得出四邊形FBED是平行四邊形，進(jìn)而解答即可；
（2）由勾股定理得出BF，由平行四邊形的性質(zhì)得出DF∥BE，DE=BF，則∠DAE=∠AEB，證出DE=AD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAE=∠DEA，得出∠AEB=∠DEA即可．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵BF∥DE，
∴四邊形FBED是平行四邊形，
∴BF=DE；
（2）如圖，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠FAB=90°，
∵AF=1，AB=2，
∴由勾股定理得：，
∵四邊形BEDF為平行四邊形，
∴DF∥BE，DE=BF，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AD，
∴DE=AD，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠AEB=∠DEA，
即AE平分∠DEB．
47．如圖，在矩形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)27
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，BC∥AD，根據(jù)平行四邊形的判定可推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，從而結(jié)論得證；
（2）先根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)并結(jié)合（1）可得，即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，，
即，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴；
（2）解：∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
由（1）知，；
∴的周長(zhǎng)為：
．
∴的周長(zhǎng)為．
題型七證明四邊形是矩形
48．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，且．
(1)求證：四邊形為矩形；
(2)若，，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)21
【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形完成證明．
（2）利用矩形性質(zhì)，得到是等腰直角三角形，求得的長(zhǎng)，過(guò)D作于M，則是等腰直角三角形，運(yùn)用勾股定理求得的長(zhǎng)即可得解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴，
∴四邊形為矩形．
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
由（1）可知，四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
如圖，過(guò)D作于M，則是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
49．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，且，求出，根據(jù)矩形的判定推出即可；
（2）根據(jù)矩形性質(zhì)求出，求出，解直角三角形求出即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形；
（2）解：∵，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴．
∴．
50．如圖，中，為邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、、．
(1)求證：；
(2)若，求證：四邊形是矩形．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）只需要利用證明即可；
（2）只需要證明與相等且互相平分，即可證明四邊形是矩形．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵為邊的中點(diǎn)，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴與相等且互相平分，
∴四邊形是矩形；
51．如圖，已知在中，，
小明同學(xué)進(jìn)行了以下操作：
第一步：作出的中點(diǎn)E；
第二步：連接并延長(zhǎng)到D，使得；
第三步：連接和．
則四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】矩形，理由見(jiàn)解析
【分析】由題意易得，然后可證四邊形是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)矩形的判定定理可求解．
【詳解】解：四邊形是矩形，理由如下：
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴平行四邊形為矩形．
52．如圖，在平行四邊形中，是對(duì)角線．
(1)用基本尺規(guī)作圖完成以下作圖，取邊的點(diǎn)E，使得，并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，再連接；
(2)若，猜想四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)四邊形是矩形，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作法，即可求解；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，可證得四邊形是平行四邊形，即可．
【詳解】（1）解∶如圖，即為所求；
（2）解∶ 四邊形是矩形，理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形．
題型八利用菱形的性質(zhì)求解
53．如圖，菱形中，交于，于，連接，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由菱形的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
54．如圖，在菱形中，，分別在，上，且，與交于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，得到，從而得到，得到，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，
∴
又∵，
∴
∴，即為的中點(diǎn)
∴，
∴
故選C
55．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN所在的直線翻折得到，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）
A．－1B．－1C．－1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，在N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)M、、C三點(diǎn)共線，得出的位置，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出C的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：如圖所示：
由折疊可知M=MA，
∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，
∴2MA=2MD=AD=2，
∴M= MA=1是定值，
∵M(jìn)+C≥MC，
∴當(dāng)線段長(zhǎng)度是最小值時(shí)，在MC上，
過(guò)點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，
∵菱形ABCD，
∴CDAB
∴∠FDM=∠A=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=，
∴FC=FD+CD=，F(xiàn)M=，
∴MC=，
∴C=MC-M=-1．
故選：B．
56．如圖，菱形中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．若菱形的周長(zhǎng)為32，則線段的長(zhǎng)為（）
A．4B．6C．8D．12
【答案】A
【分析】先由菱形的性質(zhì)求出菱形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線定理求解即可．
【詳解】解：∵菱形的周長(zhǎng)為32，
∴，
∴，
∵E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．
∴是的中位線，
∴，
故選：A．
57．在菱形中，，，則菱形的周長(zhǎng)為（）
A．48B．30C．20D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，可以求得，，在中，根據(jù)勾股定理可以求得的長(zhǎng)，即可求菱形的周長(zhǎng)．
【詳解】解：菱形對(duì)角線互相垂直平分，如下圖：
，，
，
菱形的周長(zhǎng)．
故選：C．
58．如圖，在菱形中，，則菱形的周長(zhǎng)是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由菱形中，，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可求得，，，然后由勾股定理求得的長(zhǎng)，即可解答．
【詳解】解：∵菱形中，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴菱形的周長(zhǎng)，
故選：D．
59．如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．若陰影部分的面積為5，則菱形的面積為（）
A．10B．15
C．20D．25
【答案】C
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，，，可利用ASA證明，可得，即可得，即可得．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，，，，
在和中，
∴（ASA），
∴，
∴，
∴，
故選：C．
60．如圖，已知菱形的兩條對(duì)角線與長(zhǎng)分別是和，則這個(gè)菱形的面積是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接由菱形面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，
∴，
故選：C．
61．如圖，四邊形是菱形，于點(diǎn) ．若，，則的長(zhǎng)度為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，也等于邊長(zhǎng)乘以高解題．
【詳解】∵四邊形為菱形，
∴，設(shè)與交于點(diǎn)O，
，
則，
，
，
即．
故選C．
題型九利用菱形的性質(zhì)證明
62．下列說(shuō)法正確的是（）
A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形
B．矩形的對(duì)角線相等且互相平分
C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
D．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形
【答案】B
【分析】利用平行四邊形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定依次判斷可求解．
【詳解】解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、矩形的對(duì)角線相等且互相平分，故選項(xiàng)B符合題意；
C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
63．下列命題中正確的是（）
A．菱形的對(duì)角線相等B．矩形的對(duì)角線互相垂直平分
C．對(duì)角線平分對(duì)角的平行四邊形是菱形D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形
【答案】C
【分析】分別根據(jù)矩形的性質(zhì)與判斷、菱形的判斷與性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：A．菱形的對(duì)角線互相垂直平分，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，故A不符合題意；
B．矩形的對(duì)角線相等且互相平分，不一定互相垂直，故B不符合題意；
C．對(duì)角線平分對(duì)角的平行四邊形是菱形，描述正確，故C符合題意；
D．對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，故D不符合題意．
故選：C．
64．下列說(shuō)法正確的是（）
A．矩形的對(duì)角線互相垂直B．矩形的鄰邊相等
C．菱形的對(duì)角線互相垂直平分D．菱形的對(duì)角線相等
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以及特殊平行四邊形的性質(zhì)逐個(gè)進(jìn)行判定即可．
【詳解】解：A、矩形的對(duì)角線不一定垂直，故錯(cuò)誤；
B、矩形鄰邊不一定相等，故錯(cuò)誤；
C、菱形的對(duì)角線互相垂直平分，故正確；
D、菱形對(duì)角線不相等，故錯(cuò)誤．
故選：C．
65．以下條件中能判定平行四邊形為菱形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)菱形的判定定理即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：
如圖：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
故選：C．
66．如圖，在中，、分別為邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)、在上，且，若添加一個(gè)條件使四邊形是菱形，則下列可以添加的條件是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，連接交于，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：可以添加的條件是，
理由：四邊形是平行四邊形，
，，
、分別為邊、的中點(diǎn)，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
即，
，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
連接交于，
，，
，
四邊形是菱形，
故選：D．
題型十證明四邊形是菱形
67．如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)，連接，，.
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)如果，，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）要證明四邊形是菱形，可根據(jù)“四條邊相等的四邊形是菱形”或“一組鄰邊相等的平行四邊形菱形”進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)四邊形是菱形可以得出，，結(jié)合，可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)；又因?yàn)镋，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求出線段的長(zhǎng)．
【詳解】（1）（1）∵四邊形是菱形，∴，
又∵分別是的中點(diǎn)，
∴是△的中位線
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴四邊形是菱形.
（2）（2）∵菱形，
∴，，
∴，
∴
∵分別是、的中點(diǎn)，
∴
68．如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，且，連接．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求菱形的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)24
【分析】（1）根據(jù)菱形的判定即可證明四邊形ADCF是菱形；
（2）根據(jù)，，根據(jù)即可求菱形ADCF的面積．
【詳解】（1）證明：，且是的中點(diǎn)，
又
四邊形是平行四邊形．
平行四邊形是菱形．
（2）解：平行四邊形是菱形，
，
是的中點(diǎn)，
，
69．如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作，的平行線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求菱形的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；
（2）先由矩形性質(zhì)，得，再判定是等邊三角形，得，再由菱形的性質(zhì)得,，然后由勾股定理長(zhǎng)，即可求得長(zhǎng)，最后由菱形面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明： ∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵矩形，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
由（1）知：四邊形是菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
答：菱形的面積為．
70．如圖1，在中，，，是斜邊上的中線，點(diǎn)E為射線上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．
(1)若，垂足為G，點(diǎn)F與點(diǎn)D在直線的異側(cè)，連接．如圖2，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)若，，則的長(zhǎng)度為_(kāi)___________．
【答案】(1)四邊形為菱形，理由見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理證明即可；
（2）證明，作交于點(diǎn)H，設(shè)，則，求出，進(jìn)一步可求出．
【詳解】（1）解：四邊形為菱形，理由如下：
∵，，
∴，
∵是斜邊上的中線，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得：，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為菱形．
（2）解：∵，，
∴，
∵是斜邊上的中線，
∴，
∵，
∴，
作交于點(diǎn)H，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴．
故答案為：
71．如圖，在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，E分別是及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)當(dāng)滿足____________條件時(shí)，四邊形為菱形．（填寫序號(hào)）
①．②，③，④．
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)①，理由見(jiàn)詳解
【分析】（1）由已知條件，據(jù)證得，則可證得，繼而證得四邊形是平行四邊形；
（2）由，得到，由得，即互相垂直平分，然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形是菱形．
【詳解】（1）證明：在中，D是邊的中點(diǎn)，
∴
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）滿足條件①時(shí)四邊形為菱形．
理由：若時(shí)，為等腰三角形，
∵為中線，
∴，
即，
由（1）知，，
∴，
∴平行四邊形為菱形．
故答案為：①．
題型十一利用正方形的性質(zhì)求解
72．如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，再根據(jù)定理證出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
故選：A．
73．如圖，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．E、F分別為上一點(diǎn)，且，連接．若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴．
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴（SAS）．
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故選：B．
74．如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊、上，連接、、．已知平分，，則的長(zhǎng)為（）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)正方形性質(zhì)和角平分線的定義，證明，得到，，再利用“”證明，得到，最后利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：過(guò)A作，
四邊形是正方形，
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
在和中，
,
在中，
解得：，
故選D．
75．如圖，在正方形中，與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)四邊形是正方形，得出，，，即可得出四邊形是矩形，，可判斷，然后根據(jù)勾股定理求出答案．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∴，，．
∵，
∴四邊形是矩形，
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
解得cm（負(fù)值舍去），
∴的值為cm．
故選：B．
76．如圖，已知，相鄰兩條平行線間的距離都等于，如果正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，與交于點(diǎn)，則正方形的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】過(guò)點(diǎn)D作，交于G點(diǎn)，交于F點(diǎn)，然后證明出和全等，從而得出，根據(jù)勾股定理求出的平方，即正方形的面積．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作，交于G點(diǎn)，交于F點(diǎn)，
∵，，
∴，
即．
∵為正方形，
∴．
∴．
又∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
即正方形ABCD的面積為5．
故選B．
77．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點(diǎn)M，N．若正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】連接ED，由EC=AE得到點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)得到ED=EC、∠EDN=∠ECM=45°、∠DEC=90°，進(jìn)而結(jié)合EF⊥EG得到∠MEC=∠NED，從而得證△MEC≌△NED，再由全等三角形的性質(zhì)得到重疊部分四邊形EMCN的面積與△EDC的面積，最后由正方形的邊長(zhǎng)求得結(jié)果．
【詳解】解：連接ED，
∵AE=EC，
∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DEC=90°，DE=EC，∠EDN=∠ECM=45°，
∴∠DEN+∠NEC=90°，
∵EF⊥EG，
∴∠MEC+∠NEC=90°，
∴∠DEN=∠CEM，
∴△MEC≌△NED（ASA），
∴，
∴，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴AC=4，
∴ED=EC=2，
∴=?ED?EC=×2×2=4，
∴重疊部分四邊形EMCN的面積為4．
故選：B．
78．如圖，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折，再對(duì)折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開(kāi)后可得到（）
A．三角形B．梯形C．正方形D．五邊形
【答案】C
【分析】根據(jù)題意知，對(duì)折實(shí)際上就是對(duì)稱，對(duì)折兩次的話，剪下應(yīng)有4條邊，并且這4條邊還相等，從而可以進(jìn)行從題后的答案中選擇．
【詳解】解：由題意知，對(duì)折實(shí)際上就是對(duì)稱，對(duì)折2次的話，剪下應(yīng)有4條邊，并且這4條邊還相等，
且每個(gè)角等于90度，
其只有正方形滿足這一條件．
故選C．
79．如圖，正方形ABCD中，AB=12，點(diǎn)E在邊CD上，且BG=CG，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF，下列結(jié)論：①∠EAG＝45°：②CE＝3DE；③AG∥CF；④S△FGC=，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】①由正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可證明Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），推出∠BAG=∠FAG，根據(jù)∠DAE=∠FAE，可得∠EAG=∠BAD=45°；②由題意得EF=DE，GB=CG=GF=6，設(shè)DE=EF=x，則CE=12-x，在Rt△ECG中，（12-x）2+36=（x+6）2，求出x，則可得到CE=2DE；③由CG=BG，BG=GF，可得CG=GF，則∠GFC=∠GCF，因?yàn)椤螦GB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，可推出∠AGB=∠GCF，則AG∥CF；④由S△GCE=×GC×CE，又因?yàn)椤鱃FC和△FCE等高，可得S△GFC：S△FEC=3：2，S△GFC=×24=．
【詳解】解：①∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，
由折疊的性質(zhì)可得，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°=∠B，AB=AF，
又∵AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠DAE=∠FAE，
∴∠EAG=∠BAD=45°，故①正確；
②由題意得EF=DE，GB=CG=GF=6，
設(shè)DE=EF=x，則CE=12-x，
在Rt△ECG中，（12-x）2+62=（x+6）2，
∴x=4，
∴DE=4，CE=8，
∴CE=2DE，故②錯(cuò)誤；
③∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴∠GFC=∠GCF，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴AG∥CF，故③正確；
④∵S△GCE=×GC×CE=×6×8=24，
又∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FEC=3：2，
∴S△GFC=×24=，故④正確；
綜上，正確的是①③④，共3個(gè)．
故選：C．
題型十二利用正方形的性質(zhì)證明
80．如圖，在正方形中，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，若，，則線段的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】過(guò)作，垂足為，根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，確定，從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，確定為等腰三角形，結(jié)合“三線合一”得到是邊上的中線，進(jìn)而，即，在中，，，利用勾股定理求解即可得到答案．
【詳解】解：過(guò)作，垂足為，如圖所示：
，，
在正方形中，，
，
，
，
在和中，
，
，
將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
，
，
由“三線合一”可得是邊上的中線，即，
，
在中，，，設(shè)，則，由勾股定理得到，即，化簡(jiǎn)得，解得或（線段長(zhǎng)負(fù)值舍去），
，
故選：B．
81．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，是對(duì)角線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，．給出下列結(jié)論：①；②四邊形的周長(zhǎng)為8；③；④的最小值為2．其中正確結(jié)論有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】由題意可得，，則四邊形是矩形，可以得出，，即可判定①②，連接，則有，要使最小，則為最小，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短即可求解．
【詳解】∵四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)為4，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴四邊形是矩形，、都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，故①錯(cuò)誤；
∴，故②正確；
連接，如圖所示，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，，，
∴（SAS），
∴，故③正確；
要使最小，則為最小，則需滿足，
∴此時(shí)為等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∴，
∴的最小值為，故④錯(cuò)誤；
綜上分析：正確的有2個(gè)，故B正確．
故選：B．
82．如圖，在正方形中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在上，且，若四邊形的面積是，的長(zhǎng)為1，則正方形的邊長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角形的面積公式得到，由勾股定理即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故選：D．
83．如圖，在正方形紙片中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，折疊正方形紙片，使落在上，點(diǎn)恰好與上的點(diǎn)重合，展開(kāi)后，折疊分別交，于，，連接，下列結(jié)論：①②③④四邊形是菱形，正確的有（）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】C
【分析】由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)得出，，再由三角形的內(nèi)角和求出．故①正確；由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)，判斷出四邊形是平行四邊形，再由，得出四邊形是菱形．利用的直角三角形，由勾股定理得出，，得出，故②④正確；由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)，得到，所以，故③錯(cuò)誤．
【詳解】解：由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)得出，，
，
故①正確；
由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)得出，，，，
，
，
，
又，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形．
在中，，在中，，
，
故②④正確．
由四邊形是正方形和折疊性質(zhì)知，，，，
在和中，
，
，
故③錯(cuò)誤．
綜上可知，①②④正確．
故選C．
84．已知：如圖，，是正方形的對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且．那么四邊形不具備的條件是（）
A．對(duì)角線相等B．四邊相等C．對(duì)角線互相垂直D．對(duì)邊平行
【答案】A
【分析】正方形，且，可證得四邊形是平行四邊形，是菱形，由此平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，是正方形的對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且，
∴根據(jù)“邊邊邊”關(guān)系可得，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，且鄰邊相等，
∴四邊形是菱形，
∴四邊形具備的條件有四邊相等，對(duì)角線相互垂直，對(duì)邊平行，不具備的條件時(shí)對(duì)角線相等，
故選：．
題型十三證明四邊形是正方形
85．在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B，C分別作，，、交于點(diǎn)F．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)當(dāng)和滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，四邊形是正方形？并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由，，可得四邊形是平行四邊形，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得，即可得到平行四邊形是菱形；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得到，即可得到菱形四邊形是正方形．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．理由如下：
∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
由（1）知，四邊形是菱形，
∴四邊形是正方形．
86．如圖，、是中的內(nèi)、外角平分線，于，于，交的延長(zhǎng)線于．
(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
(2)與相等嗎？為什么？
(3)當(dāng)滿足______時(shí)，四邊形是一個(gè)正方形？并給出證明．
【答案】(1)四邊形是矩形，理由見(jiàn)解析
(2)，理由見(jiàn)解析
(3)為等腰直角三角形時(shí)，四邊形是一個(gè)正方形，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）利用矩形的判定方法得出，即可得出答案；
（2）利用矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定得出，進(jìn)而得出答案；
（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及正方形的判定得出即可．
【詳解】（1）解：四邊形是矩形；
理由：、是中的內(nèi)、外角平分線，
，
于，于，
，
則，
四邊形是矩形；
（2）解：，
理由：連接
在和中，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
；
（3）解：為等腰直角三角形時(shí)，四邊形是一個(gè)正方形，
理由：∵為等腰直角三角形時(shí)，，，
是斜邊上的中線，
，
四邊形是矩形，
矩形是正方形．
87．在中，平分，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，連接.
(1)求證：；
(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)四邊形是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)∠ABC=90°，理由見(jiàn)解析
【分析】對(duì)于（1），先證明△AOD≌△EOB，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得；
對(duì)于（2），先判定四邊形ABED是菱形，可得當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，菱形ABED是正方形，據(jù)此即可得結(jié)論．
【詳解】（1）∵，
∴∠CBD=∠ADB.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
又∵，
∴BO=DO.
又∵∠AOD=∠EOB，∠CBD=∠ADB，
∴△AOD≌△EOB，
∴AO=EO；
（2）當(dāng)△ABC滿足∠ABC=90°時(shí)，四邊形ABED是正方形．理由：
∵△AOD≌△EOB，
∴AD=BE，
又∵，
∴四邊形ABED是平行四邊形.
∵，
∴四邊形ABED是菱形，
∴當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，菱形ABED是正方形，
即當(dāng)△ABC滿足∠ABC=90°時(shí)，四邊形ABED是正方形．
88．如圖，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E是DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若AE＝CE．
(1)求證：四邊形ABCD是菱形；
(2)若∠BAO＝∠ABO，判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)正方形，見(jiàn)解析
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AO=CO，BO=DO，再由等腰三角形的性質(zhì)可證BD⊥AC，即可得出結(jié)論；
（2）證AO=BO，得AC=BD，則平行四邊形ABCD是矩形，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CE，
∴BD⊥AC，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
（2）解：四邊形ABCD是正方形，理由如下：
由（1）知，四邊形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵∠BAO=∠ABO，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形ABCD是正方形．
89．如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．
(1)求證：四邊形ABCD是正方形；
(2)延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說(shuō)明理由．
(3)如圖2，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點(diǎn)G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，請(qǐng)類比（2），求DE的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)等腰三角形，理由見(jiàn)解析
(3)8
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得AD＝AB，即可得四邊形ABCD是正方形；
（2）利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得AE＝BF，由已知BH＝AE可得BH＝BF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得即可得AH＝AF，△AHF是等腰三角形；
（3）延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H，使BH＝AE＝6，連接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等邊三角形，則AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代換可得DE＝AH＝8．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形ABCD是正方形；
（2）解：△AHF是等腰三角形，
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABH＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
∵BH＝AE，
∴BH＝BF，
∵∠ABH＝90°，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形；
（3）解：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H，使BH＝AE＝6，連接AH，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠BAD，
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等邊三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．

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