題型一 y=ax2與y=ax2+k的圖像與性質(zhì)
1．點，都在拋物線上．若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分別把點，代入拋物線解析式，再由，列出不等式，即可求解．
【詳解】解：∵點，都在拋物線上，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴
解得：．
故選：D
2．已知，是二次函數(shù)圖象上的兩點，則下列命題正確的是（ ）
A．若，時，則B．若，時，則
C．若，時，則D．若，時，則
【答案】D
【分析】根據(jù)是二次函數(shù)圖象上的兩點，最終得出，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，同正同負時得到，再分別求出的取值范圍即可求解．
【詳解】解：在上，
，
，
，
，
當絕對值里面同為正時，得，
，
，
，
當絕對值里面同為負時，得，
，
，
，
故，時，，
故選：D．
3．已知拋物線過，，三點，則，，大小關系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象開口向上，距離對稱軸越遠函數(shù)值越大即可比較．
【詳解】解：∵函數(shù)的對稱軸為y軸，開口向上，
∴距離對稱軸越遠函數(shù)值越大．
∵，，到y(tǒng)軸的距離依次為：2，0，1，
∴．
故選C．
4．拋物線的頂點坐標是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式直接求解即可．
【詳解】解：，
∴頂點坐標是．
故答案為：．
5．如圖，在平面直角坐標系中，的邊OA在x軸上，，，拋物線與OB交于C點，過點C作交AB于D點．若CD過的重心G，則點G的坐標為___________．
【答案】
【分析】連接，延長與交于點E，設B點坐標為（2，b），根據(jù)三角形的重心用b表示G點坐標，再用b表示直線的解析式，進而求得與拋物線的交點C，然后根據(jù)軸列出方程求得b的值，便可寫出G點坐標．
【詳解】解：連接，延長與交于點E，則，
設B點坐標為，
∵G是的重心，
∴，
∴G點橫坐標，
G點橫坐標，
∴，
設直線的解析式為，
則，
∴，
∴直線的解析式為，
當時，或，
∴，
∵軸，
∴，
解得（舍）或，
∴，
故答案為：．
題型二 y=a（x-h）2與y=a（x-h）2+k的圖像與性質(zhì)
1．設函數(shù)，．直線的圖象與函數(shù)，的圖象分別交于點，，得（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)題意分別畫出的圖象，繼而根據(jù)圖象即可求解．
【詳解】解：∵直線的圖象與函數(shù)，的圖象分別交于點，，
A. 若，如圖所示，
則
B. 若，如圖所示，
則
則，
故B選項不合題意，
C. 若，如圖所示，
∴，故C選項正確，D選項不正確；
故選：C．
7．對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．開口向上B．對稱軸是直線
C．當時，隨的增大而減小D．頂點坐標為
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式可得，該二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是直線，頂點坐標為，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，
【詳解】對于二次函數(shù)，，則開口向下，對稱軸是直線，頂點坐標為，
故A，B選項錯誤，D選項正確，
當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，
∴當時，隨的增大先增大后減小，故C選項錯誤，
故選：D．
8．關于二次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)圖象的開口向下
B．函數(shù)圖象的頂點坐標是
C．該函數(shù)有最大值，最大值是
D．當時，隨的增大而增大
【答案】D
【分析】由拋物線的表達式和二次函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可．
【詳解】解：中，
的系數(shù)為，，函數(shù)圖象開口向上，A錯誤；
函數(shù)圖象的頂點坐標是，B錯誤；
函數(shù)圖象開口向上，有最小值為，C錯誤；
函數(shù)圖象的對稱軸為，時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大，D正確．
故選：D．
9．拋物線的頂點坐標是_____．
【答案】
【分析】根據(jù)頂點式的頂點坐標為求解即可．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標是，故答案為：．
10．二次函數(shù)的圖象上任意二點連線不與x軸平行，則t的取值范圍為______．
【答案】或
【分析】先根據(jù)函數(shù)表達式得出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)題意可得該二次函數(shù)的圖象取對稱軸的左邊或?qū)ΨQ軸的右邊，即可進行解答．
【詳解】解：∵二次函數(shù)表達式為，
∴該函數(shù)的對稱軸為直線，
∵圖象上任意二點連線不與x軸平行，
∴或，
∵，
∴，
解得：或．
故答案為：或．
題型三 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)
1．已知二次函數(shù)，圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在該函數(shù)圖象上，且，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)共有（ ）個．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】分別判斷a、b、c的符號，即可判斷①；根據(jù)圖象與x軸交點個數(shù)，即可判斷②；把代入即可判斷③；根據(jù)該二次函數(shù)的最大值，即可判斷④；根據(jù)該函數(shù)的開口方向判斷其增減性，即可判斷⑤．
【詳解】解：①由圖可知：∵圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，圖象與y軸相交于正半軸，
∴，
∴，故①不正確；
②∵函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，
∴，故②正確；
③∵該函數(shù)圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線，
∴該函數(shù)與x軸另一個交點坐標為，
∴當時，，故③正確；
④∵對稱軸為直線，函數(shù)開口向下，
∴當時，y有最大值，
把代入得：，
把代入得：，
∵，
∴，則，故④正確；
⑤∵函數(shù)開口向下，
∴離對稱軸越遠函數(shù)值越小，
∵對稱軸為直線，，
∴，故⑤不正確，
綜上：正確的有②③④．
故選：B．
2．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，直線是它的對稱軸，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤方程有兩個相等的實數(shù)根．⑥，其中正確的有( )
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出，，進而可判斷①；根據(jù)根的二次函數(shù)與坐標軸的交點可判斷②；根據(jù)特殊點的函數(shù)值和二次函數(shù)的對稱性可判斷③；對稱軸為直線可判斷④；根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系可判斷⑤；根據(jù)特殊點的函數(shù)值和平方差公式可判斷⑥．
【詳解】①拋物線的開口向下：，對稱軸為直線，∴，
∵拋物線與軸交于正半軸：；
∴，故①錯誤；
②∵拋物線與軸有兩個交點：，故②正確；
③∵對稱軸為直線，
∴與時y的值相等，
∵時，，
∴時，，
∵，
∴，
∴，故③錯誤；
④對稱軸為直線，∴，故④錯誤；
⑤∵頂點坐標：，
∴當且僅當時，，
∴有兩個相等的實數(shù)根．故⑤正確；
⑥由圖可知：，
∴，
∴；故⑥正確；
綜上：正確的是②⑤⑥，共3個．
故選C．
3．設二次函數(shù)，（m，n是實數(shù)，）的最小值分別為p，q，則（ ）
A．若，則，B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)對稱軸公式求出和的對稱軸，再依據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出，存在最小值，進而得出，，結(jié)合條件得出，列出方程求解即可．
【詳解】解：由兩函數(shù)表達式可知，
函數(shù)的對稱軸為，
函數(shù)的對稱軸為，
∵二次函數(shù)，（m，n是實數(shù)，）的最小值分別為p，q
∴兩函數(shù)圖象均開口向上，即，兩函數(shù)均在對稱軸上取到最小值，
則有，
若，則有
解得：或（舍去），
將代入p，q得：，
故選：D．
4．若拋物線M：與拋物線：關于y軸對稱，則_____．
【答案】
【分析】拋物線M：與拋物線：關于軸對稱，即，寫出對應系數(shù)的值即可
【詳解】解：∵拋物線M：與拋物線：關于y軸對稱，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
故答案為：．
5．已知，是拋物線上的兩點，其對稱軸是直線，若時，總有，同一坐標系中有，且拋物線與線段有兩個不相同的交點，則的取值范圍是______．
【答案】
【分析】由確定拋線開口向上，如圖所示，利用待定系數(shù)法求得線段的解析式為，再由拋物線與線段有兩個不相同的交點，聯(lián)立，將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程為，從而拋物線與線段有兩個不相同的交點，即一元二次方程為有兩個不同的實數(shù)根，得到，要使拋物線與線段有兩個不相同的交點，則必須滿足：當和時，拋物線上對應的點都應該在線段上方或與M，N重合，但時，拋物線上對應的點必在線段上方，得到只需滿足即可，解不等式得即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴點與對稱軸的距離比點與對稱軸的距離更遠，如果拋線開口向下，那么，這與題意不符，
∴拋線開口向上，如圖所示：
設直線的解析式為，則依題意可得，解得，
線段的解析式為，
∵拋物線與線段有兩個不相同的交點，
∴依題意可得，可化為一元二次方程為，
∵拋物線與線段有兩個不相同的交點，即一元二次方程為有兩個不同的實數(shù)根，
，即，解不等式組得，
又要使拋物線與線段有兩個不相同的交點，則必須滿足：當和時，拋物線上對應的點都應該在線段上方或與M，N重合，但時，拋物線上對應的點必在線段上方，
只需滿足即可，解得，
綜上所述：當時，拋物線與線段有兩個不相同的交點，
故答案為：．
題型四 二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系
1．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點且與x軸交點的橫坐標分別為，，其中，，下列結(jié)論：①，②，③，④，⑤其中結(jié)論正確的有（ ）
A．5個B．4個C．3個D．2個
【答案】A
【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，由圖可知對稱軸，當時，，當時，，當時，，進而對各個結(jié)論進行判斷．
【詳解】解：由拋物線的開口向下知，
與軸的交點為在軸的正半軸上，得，
∵對稱軸為，，
∴，
∴，故②正確；
由圖可知，當時，，
∴，故①正確；
由圖可知，拋物線頂點的縱坐標大于2，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正確；
由圖可知，當時，，當時，，
∴，，
∴，
由，，得，即，
由，，得，
∴，故④正確；
，，
∴，
∴，
即，故⑤正確；
綜上可知，正確的結(jié)論有5個．
故選A．
2．如圖，二次函數(shù) 與軸交點的橫坐標為與軸正半軸的交點為，，，則下列結(jié)論正確的是( )
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線與坐標軸的交點判斷A選項，根據(jù)當時，，判斷B選項，根據(jù)開口方向以及對稱軸，與軸的交點，判斷C選項，根據(jù)可得對稱軸，繼而判斷D選項，即可求解．
【詳解】由圖象可知，拋物線與軸有兩個交點，
∴，
故A錯誤，不符合題意；
由圖象可知當時，，
故B錯誤，不符合題意；
∵拋物線開口方向向下，
．
拋物線與軸的交點是，和，，其中，
對稱軸，
．
拋物線與軸交于正半軸，
，
，
故C錯誤，不符合題意；
∵，，
，
，
，
即，
故D正確，符合題意．
故選：D．
3．拋物線（）的部分圖象如圖，則下列說法：①；②；③；④，正確的是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)（）的圖象和系數(shù)、、的關系解答即可．
【詳解】∵拋物線（）的圖象開口向上，
∴，
∵對稱軸，
∴，
∴，
拋物線（）的圖象與軸交于，
∴，
∴，故①正確；
∵對稱軸，
∴，
∴，故②正確；
∵拋物線（）的圖象與軸有兩個交點，
∴，
∴，故③正確；
∵根據(jù)拋物線（）的圖象可知，
時，，
∴，故④正確；
故選：D
4．二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論是________．（請將正確結(jié)論的序號填在橫線上）
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)開口方向，與與y軸交于y軸正半軸，對稱軸為直線，即可判斷②③；根據(jù)當時，即可判斷④．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，
∴，故①正確；
∵二次函數(shù)開口向下，與y軸交于y軸正半軸，
∴，
∵二次函數(shù)對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，，故②，③正確；
∵當時，，
∴，故④正確；
∴正確的結(jié)論是①②③④，
故答案為：①②③④．
5．二次函數(shù)的部分圖象如圖，圖象過點），對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④當時，y的值隨x值的增大而增大；⑤（m為任意實數(shù)）．其中正確的結(jié)論有______（填序號）．
【答案】①③
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為直線即可判斷①；把代入，再根據(jù)圖象即可判斷②；根據(jù)圖象可知函數(shù)經(jīng)過點，再根據(jù)①中的 ，即可判斷③；根據(jù)函數(shù)的對稱軸和增減性即可判斷④；根據(jù)函數(shù)開口向下，對稱軸為直線可得，當時，函數(shù)取得最大值，即可判斷⑤．
【詳解】解：①∵該函數(shù)對稱軸為直線，
∴，整理得：，
∴，
故①正確，符合題意；
②把代入，
由圖可知，當時，函數(shù)值小于0，
∴，則，
故②不正確，不符合題意；
③由圖可知，當時，，
把代入，
由①可得：，
∴，
故③正確，符合題意；
④由圖可知，當時，y的值隨x值的增大而增大，
故④不正確，不符合題意；
⑤把代入得：，
把代入得：，
∵當時，函數(shù)取得最大值，
∴，即，
故⑤不正確，不符合題意；
故答案為：①③．
題型五 二次函數(shù)的對稱性
1．點，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口向下，然后根據(jù)拋物線的增減性和對稱性判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴對稱軸為直線，拋物線開口向下，
∴，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，
∴，
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，點，關于對稱軸對稱，
∴，
∴，
故選：C．
2．二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如下表：
下列判斷正確的是（ ）A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可以求出拋物線的對稱軸，再根據(jù)對稱性即可得到大小關系．
【詳解】解：由表格可以得到：拋物線對稱軸為，
∵
∴
故選C．
3．已知拋物線（，為常數(shù)）經(jīng)過不同的兩點，那么該拋物線的頂點坐標不可能是下列中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出拋物線的對稱軸為直線，再根據(jù)拋物線經(jīng)過不同兩點的縱坐標為m相同，得，求出拋物線的頂點坐標為，再把A、B、C、D選項代入計算，即可得答案．
【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，
拋物線經(jīng)過不同兩點的縱坐標為m相同，
拋物線的對稱軸為
，
而拋物線的頂點縱坐標為：，
拋物線的頂點坐標為，
當時，，故A選項不符合題意，
當時，，故B選項符合題意，
當時，，故C選項不符合題意，
當時，，故D選項不符合題意，
故選：B．
4．若函數(shù)經(jīng)過點和，則該函數(shù)的對軸稱是直線_____．
【答案】
【分析】根據(jù)點和關于對稱軸對稱，求出對稱軸即可．
【詳解】解：∵經(jīng)過點和，
∴和的函數(shù)值相同，
∴點和關于拋物線的對稱軸對稱，
∴拋物線的對稱軸為直線；
故答案為：．
5．二次函數(shù)圖象的對稱軸為__________．
【答案】直線
【分析】（方法1）令，求出兩個對稱的點的坐標，利用拋物線上對稱的點的坐標求出對稱軸；（方法2）利用先將二次函數(shù)的表達式化成一般形式，再利用求對稱軸的公式求解即可．
【詳解】（方法1）∵令，
則，，
∴該二次函數(shù)圖象上兩個對稱的點的坐標分別為，，
∴該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線．
故答案為：直線．
（方法2）∵，
∴該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線．
故答案為：直線．
題型六 二次函數(shù)的最值
1．若關于的方程有兩個實根，則的最大值是（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得出，，根據(jù)方程解的定義得出，將，，代入整理得出，根據(jù)方程有兩個實數(shù)根得出，根據(jù)m的范圍求出最大值即可．
【詳解】解：∵關于的方程有兩個實根，
∴，，，
即，
∴
，
∵關于的方程有兩個實根，
∴，
即，
∵當時，的值隨m的增大而增大，
∴當時，有最大值，且最大值為：，
即的最大值為4，故B正確．
故選：B．
2．若函數(shù)在上的最小值為4，則實數(shù)a的值為（ ）
A．或3B．－1或1C．0或2D．2或4
【答案】A
【分析】求出函數(shù)值為4時的自變量值，再根據(jù)開口方向，得到關于a的方程，解之即可．
【詳解】解：∵函數(shù)在上的最小值為4，
∴令，
解得：或，
∵，
∴函數(shù)圖象開口向上，
∴或，
∴或，
故選A．
3．二次函數(shù)（為實數(shù)，且），對于滿足的任意一個的值，都有，則的最大值為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由該二次函數(shù)解析式可知，該函數(shù)圖像的開口方向向下，對稱軸為，該函數(shù)的最大值為，由題意可解得，根據(jù)函數(shù)圖像可知的值越小，其對稱軸越靠左，滿足的的值越小，故令即可求得的最大值．
【詳解】解：∵函數(shù)，且，
∴該函數(shù)圖像的開口方向向下，對稱軸為，該函數(shù)有最大值，其最大值為，
若要滿足的任意一個的值，都有，
則有，解得，
對于該函數(shù)圖像的對稱軸，
的值越小，其對稱軸越靠左，如下圖，
結(jié)合圖像可知，的值越小，滿足的的值越小，
∴當取的最大值，即時，令，
解得，，
∴滿足的的最大值為，
即的最大值為．
故選：D．
4．二次函數(shù)的最小值是_____．
【答案】
【分析】根據(jù)配方法化為頂點式即可求解．
【詳解】解：
，
∵，
∴當時，最小值為，
故答案為：．
5．若點在二次函數(shù)的圖象上，且點P到y(tǒng)軸的距離不大于3，則n的取值范圍是___________．
【答案】
【分析】根據(jù)點P到y(tǒng)軸的距離不大于3，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的取值范圍即可．
【詳解】解：∵點在二次函數(shù)的圖象上，
∴，
∵點P到y(tǒng)軸的距離不大于3，
∴，
∵，拋物線的對稱軸為直線；
∴拋物線上的點到對稱軸的距離越遠，函數(shù)值越大，
∵，
∴當時，有最小值：；當時，有最大值：；
∴；
故答案為：．
題型七 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
1．二次函數(shù)的圖象過不同的六點、、、、、，則、、的大小關系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將，，代入，求出a，b，c的值，從而得出該拋物線開口向下，對稱軸為，再根據(jù)離對稱軸水平距離的大小即可得到答案．
【詳解】將，，代入，
得：，解得：，
∴該拋物線開口向下，對稱軸為．
∵離對稱軸最遠，離對稱軸最近，
∴．
故選B．
2．如圖，拋物線（，為常數(shù)）經(jīng)過點，點，點在該拋物線上，其橫坐標為，若該拋物線在點左側(cè)部分（包括點）的最低點的縱坐標為．則的值為（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】首先通過待定系數(shù)法求該拋物線的解析式及頂點坐標，再分類討論點P在拋物線對稱軸右側(cè)及左側(cè)兩種情況，分別求出頂點為最低點和點P為最低點時m的值即可．
【詳解】解：將，分別代入得，
解得
，
，
拋物線頂點坐標為，對稱軸為直線，
當時，拋物線頂點為最低點，
，
解得，
當時，點P為最低點，
將代入得，
解得(舍)，，
或，
故選：D．
3．“人一定要有夢想，萬一實現(xiàn)了呢？”鞏立姣的這句賽后感言在網(wǎng)絡上廣為流傳，激勵了許多正在拼搏的人．如圖是她在鉛球練習中的一次擲球，鉛球出手以后的軌跡可近似看作是拋物線的一部分，已知鉛球出手時離地面1.6米，鉛球離拋擲點水平距離3米時達到最高，此時鉛球離地面2.5米．如圖，以水平面為軸，她所站位置的鉛垂線為軸建立平面直角坐標系，則她擲鉛球的運動路線的函數(shù)表達式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意設出拋物線解析式為，再把點的坐標代入解析式求出的值即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，，
設拋物線解析式為，
將點的坐標代入解析式得：，
解得：，
鞏立姣擲鉛球的運動路線的函數(shù)表達式為，
故選：A．
4．已知一次函數(shù)的圖像與軸的交點為，若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則二次函數(shù)的解析式為________．
【答案】
【分析】一次函數(shù)的圖像與軸的交點為，可求出點的坐標，再將點的坐標代入二次函數(shù)即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，當時，，
∴點的坐標為，
把點的坐標代入二次函數(shù)得，
∴，
∴，
∴二次函數(shù)的解析式為，
故答案為：．
5．已知拋物線的頂點坐標是，且與y軸的交點坐標為，則該拋物線的解析式為______________．
【答案】
【分析】根據(jù)已知信息直接設該拋物線的頂點式，然后代入，求解即可．
【詳解】解：由題意，設該拋物線解析式為，，
將代入得：，
解得：，
∴，
故答案為：．
題型八 二次函數(shù)圖像的平移
1．將二次函數(shù)的圖象向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到拋物線，則，的值分別是( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)上加下減，左加右減的平移規(guī)律進行求解即可．
【詳解】解：將二次函數(shù)的圖象向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到的拋物線解析式為，即，
∴，，
故選C．
2．將拋物線通過一次平移可得到拋物線，對這一平移過程描述正確的是（ ）
A．向上平移5個單位長度B．向下平移5個單位長度
C．向左平移5個單位長度D．向右平移5個單位長度
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的平移法則，結(jié)合已知拋物線的解析式即可得到答案．
【詳解】解：將拋物線通過一次平移可得到拋物線，
由到的變化，由函數(shù)圖像平移法則知，將拋物線向左平移5個單位長度即可得到拋物線，
故選：C．
3．將二次函數(shù)的圖像先向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到二次函數(shù)的圖像，則、、的值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的平移法則：左加右減、上加下減按要求平移后將兩個函數(shù)解析式對比即可得到答案．
【詳解】解：將二次函數(shù)的圖像先向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到二次函數(shù)，與為同一個解析式，
，解得，
故選：D．
4．將拋物線向左平移2個単位．再向上平移3個單位，所得拋物線的解析式為______．
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律：“上加下減” ，“左加右減”，再進行求解即可得．
【詳解】解：根據(jù)“上加下減”的原則可知，拋物線向上平移3個單位所得拋物線的解析式為；
根據(jù)“左加右減”的原則可知，拋物線向左平移2個單位所得拋物線的解析式為．
故答案為．
5．將二次函數(shù)的圖象先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為________________________．
【答案】
【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．
【詳解】解：由“上加下減”“左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)的圖象先向上平移2個單位，所得函數(shù)的解析式為：；
由“左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)的圖象先向右平移3個單位所得函數(shù)的解析式為：．
故答案為：
題型九 二次函數(shù)與一元二次方程的關系
1．如圖，若拋物線與x軸的一個交點坐標為，則拋物線與x軸的另一個交點坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖象的對稱性求解即可．
【詳解】解：由圖象可知，拋物線的對稱軸為直線，
∵拋物線與x軸的一個交點坐標為，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為，
故選：C．
2．二次函數(shù)的圖象如圖所示．下列結(jié)論:①；②；③；④，其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、根的個數(shù)與判別式的關系解決此題．
【詳解】解：由圖象可知開口向上，則，故①正確，該二次函數(shù)的對稱軸為直線，所以；故②正確；
因為該二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，所以，故③正確；
當時，則，故④正確；
故選D
3．如果關于的分式方程有整數(shù)解，且二次函數(shù)的圖象與軸有交點，那么符合條件的所有整數(shù)的個數(shù)有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】A
【分析】先利用二次函數(shù)的圖象與x軸有交點得到m的取值范圍，解分式方程，結(jié)合m的取值范圍與題意求出所有符合條件的m值即可得到答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸有交點，
∴且，
解得：且，
解分式方程得，
∵分式方程有可能產(chǎn)生增根2，
∴，
∴，
∵關于x的分式方程有整數(shù)解，
∴或或，
解得或或或或或，
又∵且，，
∴或，
∴符合條件的所有整數(shù)的個數(shù)為2，
故選：A．
4．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，該圖象與軸的另一個交點為C，則的長為________．
【答案】3
【分析】把A、B的坐標代入函數(shù)解析式，求出b、c的值，得出函數(shù)解析式，求出函數(shù)與x軸的交點，即可得出答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，
∴代入得：，
解得：，
即，
當時，，
解得：，
∴，
∴，
故答案為：3．
5．拋物線的部分圖象如圖所示，則關于的方程的解是_____．
【答案】,
【分析】根據(jù)拋物線與軸交點坐標求得，再根據(jù)拋物線的對稱軸求得，將、代入方程，解方程即可．
【詳解】∵拋物線與軸的交點為，
將點代入拋物線，得：,
∵對稱軸為，
∴，
解得：，
∴方程為，即，
∴方程的解為，，
故答案為：，．
題型十 圖像法確定一元二次方程的近似根
1．小星利用表格中的數(shù)據(jù)，估算一元二次方程的根，
由此可以確定，方程的一個根的大致范圍是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】觀察表格可知，隨的值逐漸增大，的值在之間由負到正，故可判斷時，對應的的值在之間．
【詳解】解：根據(jù)表格可知，時，對應的的值在之間．故選：C．
2．在估算一元二次方程的根時，小彬列表如右：由此可估算方程的一個根x的范圍是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，根據(jù)代數(shù)式的值的變化趨勢，即可進行解答．
【詳解】解：由表可知，
當時，，
當時，，
∴方程的一個根x的范圍是，
故選：B．
3．一元二次方程的兩個根分別為和4，若二次函數(shù)與軸的交點為，，則對于，的范圍描述正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用將向上平移3個單位得到，即可求解．
【詳解】解：將向上平移3個單位得到，
而拋物線開口向上，
則，在和4之間，
故選：C．
4．拋物線如圖所示，利用圖象可得方程的近似解為________（精確到0.1）．
【答案】 或1.7
【分析】拋物線與x軸的兩個交點，就是方程的兩個根．
【詳解】解：∵拋物線與x軸的兩個交點分別是、，
又∵拋物線與x軸的兩個交點，就是方程的兩個根，
∴方程的兩個近似根是 或1.7．
故答案為： 或1.7
5．如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A(﹣3，6)，B(1，3)，則方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1
【分析】根據(jù)拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A（﹣3，6），B（1，3），可得方程ax2＝bx+c的解為x1＝﹣3，x2＝1，即可求解．
【詳解】解：∵拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A（﹣3，6），B（1，3），
∴方程ax2＝bx+c的解為x1＝﹣3，x2＝1，
∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案為：x1＝﹣3，x2＝1．
題型十一 二次函數(shù)與不等式的關系
1．如圖是二次函數(shù)的圖像，則不等式的解集是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】求出點關于對稱軸的對稱點，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出的解集．
【詳解】解：由圖可知二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，與y軸的交點坐標為，
由二次函數(shù)圖象的對稱性可知，點也在函數(shù)的圖象上，
由圖可知，當或時，對應的y值小于3，
因此的解集為：或．
故選D．
2．我們規(guī)定：形如的函數(shù)叫作“型”函數(shù)．如圖是“型”函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，以下結(jié)論：
①圖象關于軸對稱；
②不等式的解集是或；
③方程有兩個實數(shù)解時．正確的是（ ）
A．①②．B．②③．C．①③．D．①②③．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象直接判斷A，根據(jù)二次函數(shù)與坐標軸的交點分析，根據(jù)對稱性可得軸與軸左邊的交點為，即可判斷B，根據(jù)圖象可知當或時，原方程有兩個實數(shù)根，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，此圖像關于軸對稱，故①正確；
②對稱性可得軸與軸左邊的交點為，則不等式即的解集是或，故②正確；
③∵，當時，，頂點坐標為和，且與軸交于點，
∴當或時，方程有兩個實數(shù)解，
故③不正確，故選：A．
3．新定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數(shù)（c為常數(shù)）在的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由點的縱坐標是橫坐標的2倍可得二倍點在直線上，由可得二倍點所在線段的端點坐標，結(jié)合圖象，通過求拋物線與線段的交點求解．
【詳解】解：由題意可得二倍點所在直線為，
將代入得，
將代入得，
設，，如圖，
聯(lián)立與，得方程，
即
拋物線與直線有兩個交點，
，
解得，
當直線和直線與拋物線交點在點A，上方時，拋物線與線段有兩個交點，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
．
故選D．
4．如圖，已知拋物線 與直線相交于兩點，則不等式的取值范圍是________．
【答案】
【分析】由圖像可求得的解集，即可獲得答案．
【詳解】解：∵拋物線 與直線相交于兩點，
∴由圖可知，的解集為，
∴不等式的解集為．
故答案為：．
5．如圖，一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像交于兩點，則當時，x的取值范圍為_______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知當一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方的部分的自變量的取值，即為不等式的解集，根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標，即可求解．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像交于兩點，
∴當時，x的取值范圍為，
故答案為：．
題型十二 二次函數(shù)的實際應用
1．如圖，正方形的邊長為，動點沿的路徑移動，過點作交正方形的一邊于點，則的面積與點運動的路程之間形成的函數(shù)關系圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分點在上和點在上兩種情況討論，分別列出面積與點運動的路程之間形成的函數(shù)關系式，即可判斷函數(shù)圖像．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，則是等腰直角三角形，
∴，
當點在上時，即，，
點在上時，即，，
∴函數(shù)圖象是：開口向上和開口向下的兩段二次函數(shù)的圖象，
故選：B．
2．如圖，當某運動員以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有函數(shù)關系．下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．小球從飛出到落地要用
B．小球飛行的最大高度為
C．當小球飛出時間從到時，飛行的高度隨時間的增大而減小
D．當小球飛出時間從到時，飛行的高度隨時間的增大而減小
【答案】C
【分析】根據(jù)解析式，令，解方程，即可判斷A，將解析式化為頂點式，進而即可求解．
【詳解】解：由題意，，令，即，
解得：，
∴小球從飛出到落地要用，故A正確，不符合題意；
∵，最大值為，故B正確，符合題意；
∴對稱軸為直線，開口向下，當時，飛行的高度隨著時間的增大而增大，故C錯誤，不符合題意；
當時，飛行的高度隨時間的增大而減小，故D正確，不符合題意；
故選：C．
3．如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，左右兩個拋物線形是全等的，正常水位時，大孔水面寬度為20m，頂點距水面6m，小孔頂點距水面4.5m，當水位上漲剛好淹沒小孔時，大孔的水面寬度為（ ）
A．5mB．mC．10mD．m
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，可以得到A、B、M的坐標，設出函數(shù)關系式，待定系數(shù)求解函數(shù)式．根據(jù)NC的長度，得出函數(shù)的y坐標，代入解析式，即可得出E、F的坐標，進而得出答案．
【詳解】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標系，
由題意得，M點坐標為，A點坐標為，B點坐標為，
設中間大拋物線的函數(shù)式為
代入三點的坐標可得：
解得：
∴函數(shù)式為
∴令米，
代入解析式得，，
∴可得米．
故選：C．
4．如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面時，水面寬，水面下降，水面寬______．
【答案】
【分析】根據(jù)已知建立平面直角坐標系，進而求出二次函數(shù)解析式，再通過把代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．
【詳解】建立平面直角坐標系，設橫軸x通過，縱軸y通過中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，
拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A，B兩點，和長為的一半，為2米，
拋物線頂點C坐標為
通過以上條件可設頂點式，其中可通過將A點坐標
代入到拋物線解析式得出：所以拋物線解析式為
當水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：
當時，對應的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線與拋物線相交的兩點之間的距離，
可以通過把代入拋物線解析式得出：
解得：
所以水面寬度為米
故答案是：
5．一名男生參加拋實心球測試，已知球的高度與水平距離之間的關系是，則這名男生拋實心球的成績是_____．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，令，解方程即可求解．
【詳解】解：依題意，令中，，
即，
整理得：
解得：（舍去），
∴這名男生拋實心球的成績是，
故答案為：．
題型十三 二次函數(shù)的綜合
1．如圖，拋物線與x軸分別交于點，點B，與y軸交于點．
(1)求拋物線的解析式及點B的坐標；
(2)若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當時，求點P的坐標；
(3)點在拋物線上，當m取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值．
【答案】(1)拋物線的解析式為，點B的坐標為
(2)
(3)時，最大
【分析】（1）把點A和點C的坐標代入，求出b和c即可；
（2）先求出該拋物線的對稱軸為直線，設，再根據(jù)兩點之間的距離公式，列出方程求解即可；
（3）作于Q，交于點D，先用待定系數(shù)法求解直線的解析式，即可將點D和點M的坐標表示出來，最后根據(jù)三角形的面積公式，列出面積的表達式即可求解．
【詳解】（1）解：由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點，
得，
解得．
則拋物線的解析式為．
∵令，有，
解得，，．
則該拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為．
（2）∵拋物線的對稱軸為直線．
∵點P為該拋物線對稱軸上，
∴設，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
（3）如圖2，
作于Q，交于點D，
∵，，
設直線的函數(shù)解析式為，
將點，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∴．
∵點在拋物線上，
∴．
∴．
∴，
∴當時，最大．
2．在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于點、點B，交y軸于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，點E為第一象限拋物線上一點，過點E作軸，垂足為點M，交直線于點N，設點B的橫坐標為m，長為d，求d與m的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量m的取值范圍)；
(3)如圖2，在(2)的條件下，直線經(jīng)過點A，且與y軸交于點D．點F為線段上的一點，連接交x軸正半軸于點G，當時，求點N的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)(，)
【分析】（1）直接運用待定系數(shù)法即可解答；
（2）先求出點B的坐標，然后再運用待定系數(shù)法確定直線解析式，設，則，最后根據(jù)即可解答；
（3）先求出點D的坐標，再求出的值，過點F作軸于點H，證明可得，再在在上取點K，使得，連接，然后說明，再在中運用勾股定理可得；設F，則，根據(jù)點N在直線上列式求得t，進而確定點N的坐標．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，點
∴，解得：
∴拋物線的解析式為．
（2）解：拋物線經(jīng)過點、點B，
令，
∴，解得，
∴
設直線解析式為
∵
∴，解得：
∴直線BC解析式為:
設，則
∴，即．
（3）解：直線交y軸于點D，當時，
∴
又∵
∴，
∴
過點F作軸于點H，
∵軸于點M，
∴
又∵
∴，
∴
在上取點K，使得，連接
∵，
∴
∴，
又∵
∴，
∴，
在中，，
∴
又∵，
∴，解得
設F，則，
∴
∴，
∴點N的坐標是，
又∵點N在直線上
∴，解得
當時，，
∴點N坐標是(，)．
3．二次函數(shù)的圖象，與軸交于原點和點，頂點的坐標為．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)大家知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，過，兩點可畫無數(shù)條拋物線，設頂點為，過點向軸、軸作垂線，垂足為點，．求當所得的四邊形為正方形時的二次函數(shù)表達式；
(3)點在（1）中求出的二次函數(shù)圖象上，且點的坐標為，是否存在的面積為2，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或．
【分析】（1）設拋物線解析式為：，將代入待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意得出對稱軸為直線，或，設拋物線解析式為：，將代入待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（3）直線的解析式為：，設，則，求得，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵頂點的坐標為；
設拋物線解析式為：，
∵拋物線與軸交于原點，將代入得，
∴
解得，
∴拋物線的解析式為
（2）解：∵拋物線過，兩點，
∴對稱軸為直線，
依題意，四邊形為正方形
∴或
∴設拋物線解析式為：
∵拋物線與軸交于原點，
∴或
解得或，
∴拋物線的解析式為或
綜上所述，解析式為：或
（3）解：∵，，
設直線的解析式為：，
，
∴直線的解析式為：，
設，則
∴
∵的面積為2，
∴
即
解得：,
當時，，則
當時，，則
當時，，則
當時，，則
綜上所述：或或或．
4．閱讀下面的問題及其解決途徑．結(jié)合閱讀內(nèi)容，完成下面的問題．
(1)填寫下面的空格．
(2)將函數(shù)的圖象沿軸翻折，所得到的圖象對應的函數(shù)表達式為 ．
(3)將函數(shù) ，，是常數(shù)，的圖象先向左平移個單位長度，再沿軸翻折，最后繞原點旋轉(zhuǎn)，求所得到的圖象對應的函數(shù)表達式．
【答案】(1)，y，
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)材料可得將向右平移個單位后，坐標為，再將坐標代入原函數(shù)解析式．
（2）設函數(shù)的圖象的任意點坐標為，求出點沿軸翻折后坐標，進而求解．
（3）設變換后新的函數(shù)圖像上任意點的坐標為然后將點繞原點旋轉(zhuǎn)，再沿軸翻折，再向右平移個單位長度，得出點變換后的坐標代入原解析式求解．
【詳解】（1）解：將向右平移個單位后，坐標為，
平移后的圖象對應的函數(shù)表達式為，
故答案為：，y，．
（2）設函數(shù)的圖象的任意點坐標為，將關于軸翻折后得到，
∴翻折后的圖象對應的函數(shù)表達式為．
故答案為：．
（3）方法一
設變換后新的函數(shù)圖像上任意點的坐標為．
將點繞原點旋轉(zhuǎn)，得點．
將點沿軸翻折，得點．
將點向右平移個單位長度，得點．
因為點在函數(shù)的圖像上，
所以．
即所得到的圖像對應的函數(shù)表達式是．
方法二
原函數(shù)可化為．
將函數(shù)的圖像向左平移1個單位長度，得函數(shù)的圖像．
將函數(shù)的圖像沿y軸翻折，得函數(shù)的圖像．
將函數(shù)的圖像繞原點旋轉(zhuǎn)180°，得函數(shù)的圖像．
∴所得到的圖像對應的函數(shù)表達式是．
5．城市綠化部門定期安排灑水車為公路兩側(cè)綠化帶澆水，如圖1，灑水車沿著平行于公路路牙方向行駛，噴水口離地豎直高度為．如圖2，可以把灑水車噴出水的內(nèi)、外邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．內(nèi)邊緣拋物線是由外邊緣拋物線向左平移得到，外邊拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，
(1)求外邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；
(2)求內(nèi)邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標；
(3)當時，判斷灑水車行駛時噴出的水能否澆灌到整個綠化帶，并說明理由．
【答案】(1)噴出水的最大射程為；
(2)點的坐標為；
(3)不能，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可得是外邊緣拋物線的頂點，拋物線過點，用頂點式即可求解函數(shù)解析式，求出函數(shù)值為0時的x的值即可求噴出水的最大射程；
（2）根據(jù)對稱軸為直線可得點的對稱點為，則是由向左平移得到的，即可求出點B的坐標；
（3）當時，，則，求出當時的函數(shù)值，即可判斷．
【詳解】（1）解：如圖1，由題意得是外邊緣拋物線的頂點，
設，
又∵拋物線過點，
∴，
∴，
∴外邊緣拋物線的函數(shù)解析式為，
當時，，解得，（舍去），
∴噴出水的最大射程為；
（2）∵對稱軸為直線，
∴點的對稱點為，
∴是由向左平移得到的，
由（1）可得，
∴點的坐標為；
（3）∵當時，，則，
∴點F的橫坐標為6，
把代入，
∴所以不能澆灌到整個綠化帶．
題型十四 二次函數(shù)與幾何的綜合
1．已知拋物線與x軸交于點，兩點，與y軸交于點C，連接BC．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線上是否存在點，使得、兩點到直線的距離相等，如果存在，求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；
(3)點為軸上一動點，以為旋轉(zhuǎn)中心，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，其中點的對應點為點，當拋物線的對稱軸剛好經(jīng)過中點時，求此時點的坐標．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意分與相交與平行兩種情況分析，分別求解即可；
（3）設的中點為，的中點為，，由，拋物線的對稱軸為直線，設與軸交于點，過點作于點，連接，證明，根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于點，兩點，
∴
解得：
∴拋物線解析式為：；
（2）解：由，令，解得：，
∴,
①當與相交時，如圖，
過點作的垂線，則，
在與中，
∴
∴，
∴為的中點，
∵,
∴,
設直線的解析式為，
∴
解得：
∴直線的解析式為：，
∴
解得：或
∴,
②當時，點到的距離相等，
∵,
設直線的解析式為,
則
解得：
∴直線的解析式為
設直線的解析式為，
將點代入得，，
解得：
∴直線的解析式為，
∴
解得：或
∴，
綜上所述，或
（3）解：如圖所示，設的中點為，的中點為，，
由，拋物線的對稱軸為直線，
設與軸交于點，過點作于點，連接，
由（2）可知，
∵以為旋轉(zhuǎn)中心，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)，且點在上，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴
∴
∴，
解得：，
∴．
2．拋物線經(jīng)過點，，與y軸交于點，點P是拋物線上的一個動點，且在第二象限．
(1)求該拋物線的表達式；
(2)如圖1，過點P作軸交直線于點M，作軸交直線于點N，求的最大值；
(3)如圖2，連接，，，，設的面積為，的面積為，若，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）將，，代入函數(shù)表達式，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出直線的表達式，設，求出M，N的坐標，得到的長，利用二次函數(shù)的最值求解即可；
（3）設，求出直線的表達式，根據(jù)與y軸交點得到點D坐標，根據(jù)三角形面積計算方法得到，，根據(jù)，得到方程，解之可得點P坐標．
【詳解】（1）解：將，，代入，
得，解得：，
∴拋物線的表達式為；
（2）設直線的表達式為：，
將，代入，得：
，解得：，
∴直線的表達式為：，
設，，
則在中，令，
則，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴當時，的最大值為；
（3）設，
∵P在第二象限，
∴，
∵，，，
設直線的表達式為，
則，解得：，
∴直線的表達式為，
令，則，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
解得：（舍）或，
∴點P的坐標為．
3．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點（在的左側(cè))，與軸交于點，頂點為．
(1)請直接寫出點的坐標．
(2)如圖（1），在軸上找一點，使得的周長最小，求點的坐標；
(3)如圖（2），點為拋物線對稱軸上的動點，使得為以為底角的等腰三角形?若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)當?shù)闹荛L最小，點的坐標為 ；
(3)的坐標為：或或
【分析】(1)根據(jù)拋物線的與軸有兩個交點可到一元二次方程，由此可得坐標，再根據(jù)函數(shù)解析式即可求得；
(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可求得當?shù)淖钚≈禃r點的坐標；
(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論即可得到點坐標．
【詳解】（1）解：在中，令有
解得：，，
∵在的左側(cè)，
∴，，
在中，令時，則，
∴，
∵，
∴頂點：；
（2）解：作點關于軸對稱的點，連接交軸于點，此時的周長最小，如圖：
∵，
∴．
設直線的解析式為，
則有，解得：，
∴直線的解析式為，
在中，令時，解得，，
∴，
∴當?shù)闹荛L最小，點的坐標為，
（3）解：存在，設，
∵，
∴，
①當時，如圖：
∴，解或，
∴或
②當時．如圖：
∴，解得，
∴
綜上所述，的坐標為：
或或．
4．如圖：已知直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線經(jīng)過點B，且與x軸交于點．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接、，設點M的橫坐標為m，四邊形的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；
(3)若點P在平面內(nèi)，點Q在直線上，平面內(nèi)是否存在點P使得以O，B，P， Q為頂點的四邊形是菱形．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)，，，；
【分析】（1）根據(jù)直線解析式求出點B的坐標，將B、C兩點坐標代入解析式即可得到答案；
（2）連接，表示出M的坐標，根據(jù)列出S與m的函數(shù)關系式，最后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；
（3）設點，分、、分別為對角線三類討論，根據(jù)對角線互相平分得到點P的坐標， 最后根據(jù)菱形的鄰邊相等即可得到答案；
【詳解】（1）解：當時，，
∴點B的坐標為，
將，代入拋物線解析式可得，
，
解得：，
∴該拋物線的解析式為：；
（2）解：連接，
∵點M的橫坐標為m，
∴，
當時，
，解得，
∴，
∴
，
∵，
∴當時，S最大，
；
（3）解：設點，
①當為對角線時，
∵O，B，P， Q為頂點的四邊形是菱形，
∴與互相平分，，
∴點P的坐標為，
解得：，
∴；
②當為對角線時，
∵O，B，P， Q為頂點的四邊形是菱形，
∴與互相平分，，
∴點P的坐標為，
∴，
解得：，
∴，；
③當為對角線時，
∵O，B，P， Q為頂點的四邊形是菱形，
∴與互相平分，，
∴P的坐標為，
∴，
解得： （與B重合舍去），，
∴；
綜上所述存在4點使以O，B，P， Q為頂點的四邊形是菱形：，，，；
5．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線交x軸正半軸于點C，交x軸負半軸于點A，交y軸于點B，且．
(1)如圖1，求拋物線的解析式；
(2)如圖2，點P為拋物線第一象限上一點，連接交y軸于點D，作軸于點E，設點E的橫坐標為t，線段的長為d，求d與t的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
(3)如圖3，在（2）的條件下，作軸，點F在直線下方的第一象限內(nèi)，連接、，若四邊形的面積為8，且，求P點的坐標．
【答案】(1)；
(2)；
(3)P點的坐標為或．
【分析】（1）先求出得，進而利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求出，，再證，利用相似三角形的性質(zhì)即可得解；
（3）延長交軸于點，先證，進而得，，再證，利用相似三角形的性質(zhì)得，從而利用四邊形的面積為，即可得，從而即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線中，令，則，
∴，
∴，
把代入得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：拋物線中，令，則，
解得或，
∴，，
∴，
當時，，
∴，
∵軸軸，軸，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∵點為拋物線第一象限上一點，
∴，
∴與的函數(shù)關系式為；
（3）解：延長交軸于點，
∵軸軸，軸，軸，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵四邊形的面積為，
∴，即，
解得或，
當時，，點，
當時，，點，
∴點的坐標為或．
x
0
1
2
3
y
1
m
n
1
x
…
0
1.1
1.2
1.3
1.4
…
…
－2
－0.68
－0.32
0.08
0.52
…
x
1
問題：將函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，所得到的圖象對應的函數(shù)表達式是什么？

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