【知識(shí)要點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)一 平行四邊形
平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
平行四邊形的表示：用符號(hào)“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。
平行四邊形的性質(zhì)：1)對(duì)邊平行且相等； 2)對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)； 3)對(duì)角線互相平分；
4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)稱中心。
平行四邊形的判定定理：
1)邊：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
2)角：④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
⑤任意兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．
3)邊與角：⑥一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；
4)對(duì)角線：⑦對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
平行四邊形的面積公式：面積=底×高
平行線的性質(zhì)：1）平行線間的距離都相等；
2）兩條平行線間的任何平行線段都相等；
3）等底等高的平行四邊形面積相等。
考查題型一 添加一個(gè)條件成為平行四邊形
典例1．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)D，E分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在 SKIPIF 1 < 0 的延長線上．添加一個(gè)條件，使得四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，則這個(gè)條件可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用三角形中位線定理得到DE∥AC且DE= SKIPIF 1 < 0 AC，結(jié)合平行四邊形的判定定理進(jìn)行選擇．
【詳解】解：∵在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AC且DE= SKIPIF 1 < 0 AC，
A、根據(jù)∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
B、根據(jù)DE=EF可以判定DF=AC，由“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)正確．
C、根據(jù)AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
D、根據(jù)AD=CF，F(xiàn)D∥AC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
變式1-1．（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為___________ （寫一個(gè)即可）．
【答案】AB SKIPIF 1 < 0 DC(答案不唯一)
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件解答即可．
【詳解】解：∵AB=DC，
再加AB SKIPIF 1 < 0 DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故答案為：AB SKIPIF 1 < 0 DC(答案不唯一)
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
變式1-2．（2020·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件____，使四邊形ABCD是平行四邊形（填一個(gè)即可）．
【答案】AD=BC（答案不唯一）
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法添加一個(gè)條件即可．
【詳解】解：根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可以添加條件AD=BC，
根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以添加條件AB∥DC，
本題只需添加一個(gè)即可，
故答案為：AD=BC（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
變式1-3．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．請(qǐng)你添加一個(gè)條件______________，使 SKIPIF 1 < 0 ．（填一種情況即可）
【答案】AD=BC（答案不唯一）
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)添加條件證明AB=CD.
【詳解】解：添加的條件：AD=BC，理由是：
∵∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.
變式1-4．（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分別為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，你添加的條件是________；
（2）添加了條件后，證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，符合題意即可）；（2）見解析
【分析】（1）由題意可知 SKIPIF 1 < 0 ，要使得四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，則使得 SKIPIF 1 < 0 即可，從而添加適當(dāng)條件即可；
（2）根據(jù)（1）的思路，利用平行四邊形的定義證明即可．
【詳解】（1）顯然，直接添加 SKIPIF 1 < 0 ，可根據(jù)定義得到結(jié)果，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，符合題意即可）；
（2）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．
考查題型二 平行四邊形的證明
典例2．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分別為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形．
【答案】見解析
【分析】結(jié)合已知條件推知 SKIPIF 1 < 0 ；然后由全等三角形的判定定理 SKIPIF 1 < 0 證得 SKIPIF 1 < 0 ，則其對(duì)應(yīng)邊相等： SKIPIF 1 < 0 ；最后根據(jù)“對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．
【詳解】證明： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
變式2-1．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
(1)求證：∠ACB＝∠DFE；
(2)連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形BFEC是平行四邊形
【分析】（1）證△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，則BC∥EF，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
（1）
證明：∵AF=CD，
∴AF ＋ CF = CD ＋ CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 △ABC≌△DEF（SSS）
SKIPIF 1 < 0
（2）
如圖，四邊形BFEC是平行四邊形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB=∠DFE，
∴BC SKIPIF 1 < 0 EF，
又∶ BC = EF，
SKIPIF 1 < 0 四邊形BFEC是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行網(wǎng)邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
變式2-2．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）先根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明結(jié)論；
（2）先證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，證明四邊形ABCD為菱形，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形．
（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形和平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．
變式2-3．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且 SKIPIF 1 < 0 ，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點(diǎn)O．
(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
(2)若AC平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求四邊形AFCE的面積．
【答案】(1)詳見解析；
(2)24．
【分析】（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；
（2）由平行線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)解得 SKIPIF 1 < 0 ，繼而證明 SKIPIF 1 < 0 ，由此證明平行四邊形AFCE是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合正切函數(shù)的定義解得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù)三角形面積公式解答．
【詳解】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 四邊形ABCD是平行四邊形
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四邊形AFCE是平行四邊形．
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知四邊形AFCE是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 平行四邊形AFCE是菱形．
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
變式2-4．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知 SKIPIF 1 < 0 ，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得 SKIPIF 1 < 0 ．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）
(1)求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形；
(2)求雕塑的高（即點(diǎn)G到 SKIPIF 1 < 0 的距離）．
（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】(1)見解析
(2)雕塑的高為7.5m，詳見解析
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，計(jì)算AG的長，利用 ∠A的正弦可得結(jié)論．
（1）
證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴ ∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四邊形DEFG為平行四邊形；
（2）
如圖，過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
在Rt△APG中，sinA= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 =0.96，
∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高為7.5m.
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作輔助線構(gòu)建直角三角形解決問題．
變式2-5．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）探究四邊形 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并說明理由；
（2）連接 SKIPIF 1 < 0 ，分別交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】（1）平行四邊形，見解析；（2）16
【分析】（1）利用平行四邊形的判定定理，兩組對(duì)邊分別平行是平行四邊形即可證明；
（2）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，找到邊與邊的等量關(guān)系，再利用三角形相似，建立等式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形．
理由如下：
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理、相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定理，能進(jìn)行相關(guān)的證明．
變式2-6．（2021·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AO＝CO，點(diǎn)E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四邊形AECD的面積．
【答案】（1）見解析；（2）24
【分析】（1）根據(jù)題意可證明 SKIPIF 1 < 0 ，得到OD＝OE，從而根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形”證明即可；
（2）根據(jù)AB=BC，AO=CO，可證明BD為AC 的中垂線，從而推出四邊形AECD為菱形，然后根據(jù)條件求出DE的長度，即可利用菱形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：在△AOE 和△COD中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四邊形AECD 是平行四邊形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO為AC的垂直平分線， SKIPIF 1 < 0 ．
∴平行四邊形 AECD是菱形．
∵AC＝8，
SKIPIF 1 < 0 ．
在 Rt△COD 中，CD＝5，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 AECD 的面積為24．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定與面積計(jì)算，掌握基本的判定方法，熟練掌握菱形的面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．
考查題型三 利用平行線的性質(zhì)求解
典例3．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，一定正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．
變式3-1．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積是（ ）
A．96B． SKIPIF 1 < 0 C．192D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°，根據(jù)四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【詳解】解：依題意 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AB＝8， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
∴平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式3-2．（2022·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F．若AB=6，AC=8，DE=4，則BF的長為（ ）
A．4B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】利用平行四邊形ABCD的面積公式即可求解．
【詳解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴S平行四邊形ABCD=DE×AB=2× SKIPIF 1 < 0 ×AC×BF，
∴4×6=2× SKIPIF 1 < 0 ×8×BF，
∴BF=3，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形ABCD的面積公式求垂線段的長是解題的關(guān)鍵．
變式3-3．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在 SKIPIF 1 < 0 中（如圖），連接 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行和兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，再通過等量代換即可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB SKIPIF 1 < 0 CD
∴∠DCA＝∠CAB，
∵ SKIPIF 1 < 0 ∠DCA+∠ACB， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 40o+80o=120o，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并熟練運(yùn)用．
變式3-4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸平行， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸平行， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，延長BD交CE于點(diǎn)F，可證明△COE≌△ABE（AAS），則OE=BD= SKIPIF 1 < 0 ；由S△BDC= SKIPIF 1 < 0 ?BD?CF= SKIPIF 1 < 0 可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3 SKIPIF 1 < 0 ，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4 SKIPIF 1 < 0 ；設(shè)C（m， SKIPIF 1 < 0 ），D（m+9，4 SKIPIF 1 < 0 ），則k= SKIPIF 1 < 0 m=4 SKIPIF 1 < 0 （m+9），求出m的值即可求出k的值．
【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，延長BD交CE于點(diǎn)F，
∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴AB SKIPIF 1 < 0 OC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BD SKIPIF 1 < 0 y軸，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD= SKIPIF 1 < 0 ，
∵S△BDC= SKIPIF 1 < 0 ?BD?CF= SKIPIF 1 < 0 ，
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3 SKIPIF 1 < 0 ．
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)C（m， SKIPIF 1 < 0 ），D（m+9，4 SKIPIF 1 < 0 ），
∵反比例函數(shù)y= SKIPIF 1 < 0 （x＜0）的圖像經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，
∴k= SKIPIF 1 < 0 m=4 SKIPIF 1 < 0 （m+9），
∴m=-12，
∴k=-12 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合問題，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)幾何關(guān)系消去參數(shù)的值是本題解題關(guān)鍵．
變式3-5．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形OBAD的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，頂點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上．若平行四邊形OBAD的面積是5，則k的值是（ ）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】連接OA，設(shè)AB交y軸于點(diǎn)C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，AB∥OD，再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接OA，設(shè)AB交y軸于點(diǎn)C，
∵四邊形OBAD是平行四邊形，平行四邊形OBAD的面積是5，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，AB∥OD，
∴AB⊥y軸，
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
變式3-6．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖,在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，那么四邊形 SKIPIF 1 < 0 的周長是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】B
【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，則可以推出四邊形AFDE是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可以證明□AFDE的周長等于AB＋AC．
【詳解】∵DE∥AB，DF∥AC，
則四邊形AFDE是平行四邊形，
∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，
∴BF＝FD，DE＝EC，
所以□AFDE的周長等于AB＋AC＝10．
故答案為B
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵．
變式3-7．（2021·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是 SKIPIF 1 < 0 ，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)以及點(diǎn)的平移性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2，-2)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，-2)，
∴點(diǎn)B到點(diǎn)C為水平向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，
∴A到D也應(yīng)向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，1)，
故選:C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及平移的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟知點(diǎn)的平移特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
變式3-8．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A（1，0），與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn)B（0，2），虛線為其對(duì)稱軸，若將拋物線向下平移兩個(gè)單位長度得拋物線 SKIPIF 1 < 0 ，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】連接AB，OM，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形ABOM面積求解即可．
【詳解】設(shè)平移后的拋物線與對(duì)稱軸所在的直線交于點(diǎn)M，連接AB，OM．
由題意可知，AM=OB，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴OA=1，OB=AM=2，
∵拋物線是軸對(duì)稱圖形，
∴圖中兩個(gè)陰影部分的面積和即為四邊形ABOM的面積，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形ABOM為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性和陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化陰影圖形的面積．
變式3-9．（2021·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】延長EG交AB于H，根據(jù)平行四邊形與三角板的性質(zhì)， SKIPIF 1 < 0 ，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定義，計(jì)算出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，延長EG交AB于H，
∵∠BMF=∠BGE=90°，
∴MF//EH，
∴∠BFM=∠BHE，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠BFM=∠BHE=60°，
∵在平行四邊形ABCD中，DC//AB，
∴∠DEH=∠BHE=60°，
∵∠GEN=45°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與一副特殊三角形板的性質(zhì)，關(guān)鍵在于作出輔助線，利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解．
變式3-10．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過點(diǎn)C， SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】3
【分析】過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，先證四邊形CDEB為矩形，得出CD=BE，再證Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根據(jù)S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA= SKIPIF 1 < 0 即可．
【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，
∴CD∥BE，
∵四邊形ABCO為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，OC=AB，
∴四邊形CDEB為平行四邊形，
∵CD⊥OA，
∴四邊形CDEB為矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴S△OCD=S△CAD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA= SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為3．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)．
變式3-11．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．利用尺規(guī)在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上分別截取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；分別以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為圓心，大于 SKIPIF 1 < 0 的長為半徑作弧，兩弧在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；作射線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖所示，過點(diǎn)H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到 SKIPIF 1 < 0 ，從而求出HM，CM的長，進(jìn)而求出BM的長，即可利用勾股定理求出BH的長．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)H作HM⊥BC于M，
由作圖方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長是解題的關(guān)鍵．
變式3-12．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)P為 SKIPIF 1 < 0 邊上任意一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為鄰邊作平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 長度的最小值為_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點(diǎn)P的位置，再證明 SKIPIF 1 < 0 利用對(duì)應(yīng)線段的比得到 SKIPIF 1 < 0 的長度，繼而得到PQ的長度．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過O作BC的垂線 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴則PQ的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】考查線段的最小值問題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長度，本題的關(guān)鍵是利用垂線段最短求解，學(xué)生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題．
變式3-13．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得： BM = B1M1 = B2M2 = 3，∠AOA1 =∠AOA2 = 90°，可得B1和B2的坐標(biāo)，即是B'的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵A(-1，2)， OC= 4，
∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3，
AB//x軸，BM= 3．
將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O分別順時(shí)針、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，
由旋轉(zhuǎn)得：OM=OM1=OM2=2，
∠AOA1=∠AOA2=90°
BM=B1M1=B2M2=3，
A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，
∴B1和B2的坐標(biāo)分別為： (-2，3)， (2，-3)，
∴B'即是圖中的B1和B2，坐標(biāo)就是， B' (-2， 3)， (2，-3)，
故答案為： (-2，3)或 (2， -3)．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
變式3-14．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，?OCDE的頂點(diǎn)C在x軸上，頂點(diǎn)E在直線AB上，則?OCDE的面積為_______．
【答案】2
【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，根據(jù)題意以及平行四邊形的性質(zhì)得出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，然后運(yùn)用平行四邊形面積計(jì)算公式計(jì)算即可．
【詳解】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2×0+4＝4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），OB＝4．
∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，
∴OD＝ SKIPIF 1 < 0 OB＝ SKIPIF 1 < 0 ×4＝2．
∵四邊形OCDE為平行四邊形，點(diǎn)C在x軸上，
∴DE∥x軸．
當(dāng)y＝2時(shí)，2x+4＝2，
解得：x＝﹣1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，2），
∴DE＝1，
∴OC＝1，
∴?OCDE的面積＝OC?OD＝1×2＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．
考查題型四 利用平行線的性質(zhì)證明
典例4．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BF＝DE．
(1)求證：BE＝DF；
(2)求證： SKIPIF 1 < 0 ABE≌ SKIPIF 1 < 0 CDF．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ABE≌ SKIPIF 1 < 0 CDF．
（1）
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ABE≌ SKIPIF 1 < 0 CDF（SAS）．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、全等三角形的相關(guān)知識(shí)．
變式4-1．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，E，G，H，F(xiàn)分別是 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】證明過程見解析
【分析】先由四邊形ABCD為平行四邊形得到∠A=∠C，AB=CD，進(jìn)而根據(jù)BE=DH得到AE=CH，最后再證明△AEF≌△CHG即可．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
【點(diǎn)睛】本題考察了平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
變式4-2．（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)角線， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)請(qǐng)用尺規(guī)作 SKIPIF 1 < 0 的角平分線 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 （要求保留作圖痕跡，不寫作法，在確認(rèn)答案后，請(qǐng)用黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）；
(2)根據(jù)圖形猜想四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整．
證明：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ______（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ______（______）（填推理的依據(jù)）
又∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
∴ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．
【答案】(1)詳見解析
(2)∠DBC；BF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
【分析】（1）根據(jù)作角平分線的步驟作 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）結(jié)合圖形和已有步驟合理填寫即可；
（1）
解：如圖，根據(jù)角平分線的作圖步驟，得到DE，即為所求；
（2）
證明：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.
又∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）
又∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
變式4-3．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)O是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn)E，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，判斷四邊形 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形．理由見解析
【分析】（1）證△ABO≌△DEO（AAS），得OB=OE，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，再證AB=BD，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵點(diǎn)O是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS）
∴ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
（2）四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形.
理由：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式4-4．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，E為 SKIPIF 1 < 0 邊的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的延長線和 SKIPIF 1 < 0 的延長線相交于點(diǎn)F．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）連接 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)為G，若 SKIPIF 1 < 0 的面積為2，求平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【答案】（1）證明見解析；（2）24．
【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點(diǎn)，可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，則答案可證；
（2）先證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而得出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，則答案可解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的面積為2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
考查題型五 利用平行線的性質(zhì)與判定求解
典例5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．四邊形 SKIPIF 1 < 0 周長不變B． SKIPIF 1 < 0
C．四邊形 SKIPIF 1 < 0 面積不變D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：由題意可知，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；故D符合題意；
隨著一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中， SKIPIF 1 < 0 不一定等于 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 周長、面積都會(huì)改變；故A、B、C不符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊相等．
變式5-1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)E，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的周長比為（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
【答案】D
【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明 SKIPIF 1 < 0 ，最后利相似三角形周長的比等于相似比即可求出．
【詳解】如圖：由題意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形DCBM為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．
變式5-2．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)E，點(diǎn)O為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長，交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn)D，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)G，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為48，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為（ ）
A．5.5B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】由題意易得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)相似比與面積比的關(guān)系可求解．
【詳解】解：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，AE=EF， SKIPIF 1 < 0 ，
∵平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為48，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 同高不同底，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．
變式5-3．（2021·江西·中考真題）如圖，將 SKIPIF 1 < 0 沿對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 翻折，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的周長為______．
【答案】4a+2b
【分析】根據(jù)題意并利用折疊的性質(zhì)可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，計(jì)算可得到∠ECD=20 SKIPIF 1 < 0 ，∠ACE=∠ACB=40 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角形的外角性質(zhì)得到∠CFD=∠D=80 SKIPIF 1 < 0 ，再等角對(duì)等邊即可求解．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠ACE=∠ACB，
∵∠ACE=2∠ECD，
∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180 SKIPIF 1 < 0 ，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180 SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ECD=20 SKIPIF 1 < 0 ，∠ACE=∠ACB=40 SKIPIF 1 < 0 =∠FAC，
∠CFD=∠FAC+∠FCA=80 SKIPIF 1 < 0 =∠B=∠D，
∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，
則?ABCD的周長為2AD+2CD=4a+2b，
故答案為：4a+2b．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
變式5-4．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．
【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，EF＝CG，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，
由勾股定理得，AG＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝10，
∴AF+CE的最小值為10，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．
變式5-5．（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，試猜想 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；
實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將 SKIPIF 1 < 0 沿著 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將 SKIPIF 1 < 0 沿過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，折痕交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．該小組提出一個(gè)問題：若此 SKIPIF 1 < 0 的面積為20，邊長 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求圖中陰影部分（四邊形 SKIPIF 1 < 0 ）的面積．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ，見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）如圖，分別延長 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB= SKIPIF 1 < 0 ∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG= SKIPIF 1 < 0 ，可得AG=BG；
（3）如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進(jìn)而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長，根據(jù)S陰=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 ．
如圖，分別延長 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)P，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在△PDF和△BCF中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△PDF≌△BCF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．
∵將 SKIPIF 1 < 0 沿著 SKIPIF 1 < 0 所在直線折疊，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠CFB=∠C′FB= SKIPIF 1 < 0 ∠CFC′， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠FDC′=∠FC′D，
∵ SKIPIF 1 < 0 =∠FDC′+∠FC′D，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠FC′D=∠C′FB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，DC=AB，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，
∵ SKIPIF 1 < 0 的面積為20，邊長 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
∴BH=50÷5=4，
∴CH= SKIPIF 1 < 0 ，A′H=A′B-BH=1，
∵將 SKIPIF 1 < 0 沿過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，
∵ SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，AB//CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠MBH=45°，
∴△MBQ是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，
∴∠A′=∠C，
∵∠A′HN=∠CHB，
∴△A′NH∽△CBH，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：NH=2，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，MQ⊥A′B，
∴NH//MQ，
∴△A′NH∽△A′MQ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：MQ= SKIPIF 1 < 0 ，
∴S陰=S△A′MB-S△A′NH= SKIPIF 1 < 0 A′B·MQ- SKIPIF 1 < 0 A′H·NH= SKIPIF 1 < 0 ×5× SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ×1×2= SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．
知識(shí)點(diǎn)二 三角形中位線
三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
幾何描述：
∵DE是△ABC的中位線
∴DE∥BC,DE=BC
三角形中位線定理的作用：
位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。
數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。
常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：
結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半。
結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。
結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。
結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。
考查題型六 與三角形中位線有關(guān)的計(jì)算
典例6．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為（ ）
A．6B．12C．24D．48
【答案】C
【分析】由菱形的性質(zhì)可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周長為:4BC=4×6=24．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出BC=6．
變式6-1．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D，E分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】D
【分析】利用中位線的性質(zhì)：平行三角形的第三邊且等于第三邊的一半即可求解．
【詳解】∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵BC=4，
∴DE=2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的判定與性質(zhì)，掌握中位線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
變式6-2．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】如圖，連接EF，先證明 SKIPIF 1 < 0 再求解 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 再求解 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，求解 SKIPIF 1 < 0 再利用三角形的中位線的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：如圖，連接EF，
∵正方形ABCD的面積為3，
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的中位線的性質(zhì)，求解 SKIPIF 1 < 0 是解本題的關(guān)鍵．
變式6-3．（2021·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ．若菱形 SKIPIF 1 < 0 的面積為8，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】連接 SKIPIF 1 < 0 ，相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)三角形中位線定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用三角形的面積公式即可得．
【詳解】解：如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ，相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，且它的面積為8，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式6-4．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是____．
【答案】40°
【分析】如圖，由折疊的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后易得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：如圖所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
由折疊的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為40°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式6-5．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】由題意可求出 SKIPIF 1 < 0 ，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可求此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，然后在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則 SKIPIF 1 < 0 ，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝ SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，問題得解．
【詳解】解：∵D為AB中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時(shí)DE1∥BC， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵DE1∥BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等邊三角形，
∴DE1＝DE2＝E1E2＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴E1E2＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上， SKIPIF 1 < 0 的值為： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵．
變式6-6．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片 SKIPIF 1 < 0 ，第1次折疊使點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 邊上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處，折痕 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；第2次折疊使點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處，折痕 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _____________．
【答案】6
【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，由第二次折疊得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而得到 SKIPIF 1 < 0 ，易得MN是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，最后由三角形的中位線求解．
【詳解】解：∵已知三角形紙片 SKIPIF 1 < 0 ，第1次折疊使點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 邊上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處，折痕 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵第2次折疊使點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處，折痕 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴MN是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解答關(guān)鍵．
變式6-7．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別是1，4，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是_______．
【答案】6
【分析】根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，先求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)A、D求出B點(diǎn)橫坐標(biāo)．
【詳解】設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是b；
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0，C的橫坐標(biāo)是1 ，C，D是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是6．
故答案為6．
【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，三角形中線的性質(zhì)，正確的使用中點(diǎn)坐標(biāo)公式并正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
變式6-8．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點(diǎn)，連接EF， SKIPIF 1 < 0 ，求BD的長及四邊形ABCD的周長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0 ，四邊形ABCD的周長為 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得證；
（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 的長， SKIPIF 1 < 0 中，勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 菱形形 SKIPIF 1 < 0 的周長為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
考查題型七 利用三角形中位線解決三角形面積問題
典例7．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為 SKIPIF 1 < 0 的等邊 SKIPIF 1 < 0 中，分別取 SKIPIF 1 < 0 三邊的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得△ SKIPIF 1 < 0 ；再分別取△ SKIPIF 1 < 0 三邊的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得△ SKIPIF 1 < 0 ；這樣依次下去 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)過第2021次操作后得△ SKIPIF 1 < 0 ，則△ SKIPIF 1 < 0 的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算，再總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可得．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理．
變式7-1．（2021·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（ ）
A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2
【答案】B
【分析】由三角形的中位線定理可得DE= SKIPIF 1 < 0 BC，DE∥BC，可證△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴DE= SKIPIF 1 < 0 BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵S△ADE=3，
∴S△ABC=12，
∴四邊形BDEC的面積=12-3=9(cm2)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式7-2．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長，交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為48，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為（ ）
A．4B．5C．2D．3
【答案】C
【分析】由題意易得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)相似比與面積比的關(guān)系可求解．
【詳解】解：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，AE=EF， SKIPIF 1 < 0 ，
∵平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為48，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 同高不同底，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．
變式7-4．（2020·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，D、E分別是AB和AC的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．30B．25C．22．5D．20
【答案】D
【分析】首先判斷出△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出△ABC的面積．
【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是AB和AC的中點(diǎn)，則DE∥BC且DE= SKIPIF 1 < 0 BC，故可以判斷出△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可知 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 =1：4，則 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 =3：4，題中已知 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 =5， SKIPIF 1 < 0 =20
故本題選擇D
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出DE是中位線，從而判斷△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解本題．
變式7-5．（2020·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，延長 SKIPIF 1 < 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形 SKIPIF 1 < 0 的面積等于2，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為_________．（用含正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 的式子表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先計(jì)算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面積，然后再根據(jù)其面積的表達(dá)式找出其一般規(guī)律進(jìn)而求解．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 面積是矩形ABCD面積的一半，∴梯形BCDE的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，由中線平分所在三角形的面積可知，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可以計(jì)算出：
SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面積分別為： SKIPIF 1 < 0 ，
觀察規(guī)律，其分母分別為2,4,8，符合 SKIPIF 1 < 0 ，分子規(guī)律為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，三角形面積公式，矩形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是能求出前面三個(gè)三角形的面積表達(dá)式，進(jìn)而找出規(guī)律求解．

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