【知識(shí)要點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)1 全等三角形及其性質(zhì)
全等圖形概念：能完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形。
全等圖形的性質(zhì)：①形狀相同。②大小相等。③對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。④周長、面積相等。
全等三角形概念：能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。
【補(bǔ)充】兩個(gè)三角形全等，互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。
表示方法：全等用符號(hào)“≌”，讀作“全等于”。書寫三角形全等時(shí)，要注意對應(yīng)頂點(diǎn)字母要寫在對應(yīng)位置上。
全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換。
變換方式（常見）：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)。
全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。
考查題型一 全等三角形的性質(zhì)
典例1．（2021·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是對應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是對應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由題意易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后問題可求解．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式1-1．（2020·山東淄博·中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式1-2．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．下列結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：∵將 SKIPIF 1 < 0 以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故①正確；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，故②正確；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故③正確
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
變式1-3．（2020·天津·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為D，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】本題可通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABC與△DEC全等，故可判斷A選項(xiàng)；可利用相似的性質(zhì)結(jié)合反證法判斷B，C選項(xiàng)；最后根據(jù)角的互換，直角互余判斷D選項(xiàng)．
【詳解】由已知得：△ABC SKIPIF 1 < 0 △DEC，則AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF SKIPIF 1 < 0 △ABC，則 SKIPIF 1 < 0 ，
假設(shè)BC=EF，則有AE=AB，
由圖顯然可知AE SKIPIF 1 < 0 AB，故假設(shè)BC=EF不成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
假設(shè)∠AEF=∠D，則∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED為等腰直角三角形，即△ABC為等腰直角三角形，
因?yàn)轭}干信息△ABC未說明其三角形性質(zhì)，故假設(shè)∠AEF=∠D不一定成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，證明過程常用角的互換、直角互余作為解題工具，另外證明題當(dāng)中反證法也極為常見，需要熟練利用．
變式1-4．（2020·湖南懷化·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________o．
【答案】130
【分析】證明△ABC≌△ADC即可．
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠D=∠B=130°，
故答案為：130．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握判定定理是解題關(guān)鍵．
知識(shí)點(diǎn)2：全等三角形的判定（重點(diǎn)）
【備注】判定兩個(gè)三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等。
證題的思路（重點(diǎn)）：
考查題型二 利用SSS證明兩個(gè)三角形全等
典例2．（2021·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是對應(yīng)頂．（2021·江蘇鹽城·中考真題）工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個(gè)角．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 的兩邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上分別在取 SKIPIF 1 < 0 ，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的射線 SKIPIF 1 < 0 就是 SKIPIF 1 < 0 的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)全等三角形的判定條件判斷即可．
【詳解】解：由題意可知 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 (SSS)
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 就是 SKIPIF 1 < 0 的平分線
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的判定、熟練掌握全等三角形的判定是關(guān)鍵．
變式2-1．（2022·山西·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，且 SKIPIF 1 < 0 ，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則線段AN的長為_________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】連接AE、AF、EN，首先可證得 SKIPIF 1 < 0 ，AE=AF，可證得 SKIPIF 1 < 0 垂直平分EF，可得EN=FN，再根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長，再根據(jù)勾股定理即可求得AN的長．
【詳解】解：如圖：連接AE、AF、EN，
SKIPIF 1 < 0 四邊形ABCD是正方形
SKIPIF 1 < 0 設(shè)AB=BC=CD=AD=a， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 垂直平分EF，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得a=20，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，證得 SKIPIF 1 < 0 垂直平分EF是解決本題的關(guān)鍵．
變式2-2．（2022·廣西·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，BD是它的一條對角線，
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(3)連接BE，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)50°
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，可利用“SSS”證明三角形全等；
（2）根據(jù)垂直平分線的作法即可解答；
（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，由等腰三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．
（1）
SKIPIF 1 < 0 四邊形ABCD是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）
如圖，EF即為所求；
（3）
SKIPIF 1 < 0 BD的垂直平分線為EF，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
變式2-3．（2022·廣西·中考真題）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動(dòng)小組實(shí)地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝ SKIPIF 1 < 0
(1)求證：△ABC≌△CDA ；
(2)求草坪造型的面積．
【答案】(1)見解析
(2)草坪造型的面積為 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)“SSS”直接證明三角形全等即可；
（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出 SKIPIF 1 < 0 的長度，繼而求出 SKIPIF 1 < 0 的面積，再由全等三角形面積相等得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出草坪造型的面積．
【詳解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 草坪造型的面積 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，草坪造型的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
變式2-4．（2022·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)E，C為對角線 SKIPIF 1 < 0 上的兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ．連接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而結(jié)論得證；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而結(jié)論得證．
（1）
證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形．
（2）
證明：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，AC=DE，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定．
變式2-5．（2022·廣西玉林·中考真題）問題情境：
在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，老師給出了如圖的圖形及下面三個(gè)等式：① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 若以其中兩個(gè)等式作為已知條件，能否得到余下一個(gè)等式成立？
解決方案：探究 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 全等．
問題解決：
(1)當(dāng)選擇①②作為已知條件時(shí)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 全等嗎？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；
(2)當(dāng)任意選擇兩個(gè)等式作為已知條件時(shí)，請用畫樹狀圖法或列表法求 SKIPIF 1 < 0 的概率．
【答案】(1)全等，理由見詳解
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用SSS即可作答；
（2）先找到可以證明△ABD≌△ACD的條件組合，再利用列表法列舉即可求解．
（1）
全等，
理由：∵AB=AC，DB=DC，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)；
（2）
根據(jù)全等的判定方法可知①、②組合(SSS)或者①、③組合(SAS)可證明△ABD≌△ACD，
根據(jù)題意列表如下：
由表可知總的可能情況有6種，其中能判定△ABD≌△ACD的組合有4種，
能判定△ABD≌△ACD的概率為：4÷6= SKIPIF 1 < 0 ，
故所求概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、用列表法或樹狀圖法求解概率的知識(shí)，掌握全等的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．
變式2-6．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若DE＝5，cs∠ABD＝ SKIPIF 1 < 0 ，求OE的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）連接OD，可推出∠BDC＝90°，進(jìn)而得出DE＝BE，然后證明△DOE≌△BOE，求出∠ODE＝∠ABC＝90°即可得出結(jié)論；
（2 ）可推出∠C＝∠ABD，解直角△ABC求得AC，進(jìn)而根據(jù)三角形中位線定理求得OE．
（1）
證明：如圖，連接OD，
∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴DE＝BE＝EC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
在△DOE和△BOE中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△DOE≌△BOE（SSS），
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，
∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，
∴∠C＝∠ABD，
在Rt△ABC中，AC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵OA＝OB，BE＝CE，
∴OE＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形中位線定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．
考查題型三 利用SAS證明兩個(gè)三角形全等
典例3．（2021·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是對應(yīng)頂．（2022·浙江金華·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)O， SKIPIF 1 < 0 ，不添加輔助線，判定 SKIPIF 1 < 0 的依據(jù)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正好是兩邊一夾角，即可得出答案．
【詳解】解：∵在△ABO和△DCO中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握兩邊對應(yīng)相等，且其夾角也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，是解題的關(guān)鍵．
變式3-1．（2022·重慶·中考真題）如圖，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，對角線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)O． E、F分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
【答案】C
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，進(jìn)而得到∠CBE的度數(shù)．
【詳解】解：在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式3-2．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】連接CF、CG、AE，證 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)A、E、F、C四點(diǎn)共線時(shí)，即得最小值；
【詳解】解：如圖，連接CF、CG、AE，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，最小，
SKIPIF 1 < 0
∴d1＋d2＋d3的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，正確構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
變式3-3（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 為（ ）
A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣ SKIPIF 1 < 0 α
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 即可．
【詳解】∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，
∴AP=CP，PF=PB， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠AFP=∠CBP，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
變式3-4．（2022·吉林·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】證明見解析
【分析】先利用三角形全等的判定定理（ SKIPIF 1 < 0 定理）證出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】證明：在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式3-5．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)M，N．求證：
(1) SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）先利用菱形的性質(zhì)和已知條件證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可利用SAS證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，先利用ASA證明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，再由（1）中結(jié)論推出 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）
證明：由菱形的性質(zhì)可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
證明：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，
由菱形的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式3-6．（2022·新疆·中考真題）在 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)D，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點(diǎn)．延長DF到點(diǎn)E，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接BE．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求證：四邊形BCDE是平行四邊形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）利用SAS直接證明；
（2）利用 SKIPIF 1 < 0 和已知條件證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可推出四邊形BCDE是平行四邊形．
（1）
證明：∵點(diǎn)F為邊AB的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
證明：∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形BCDE是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定方法，難度較小，根據(jù)所給條件正確選用平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
變式3-7．（2022·湖南株洲·中考真題）如圖所示，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在四邊形 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 上，連接 SKIPIF 1 < 0 ，并延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）利用SAS可以直接證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得出 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合已知條件 SKIPIF 1 < 0 即可證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形．
（1）
證明：∵ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 是對頂角，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）
證明：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延長線上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定和平行四邊形的判定，難度較小，熟練掌握全等三角形、平行線及平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
變式3-8．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且點(diǎn)D在線段 SKIPIF 1 < 0 上，連 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）證出∠BAD=∠CAE，由SAS證明△ABD≌△ACE即可；
（2）先由全等三角形的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形，得到 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠AEC的度數(shù)，即可求出∠CED的度數(shù)．
【詳解】（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 （SAS）；
（2）解：由（1） SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
變式3-9．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，等邊 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E為高 SKIPIF 1 < 0 上的一動(dòng)點(diǎn)，以 SKIPIF 1 < 0 為邊作等邊 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______________， SKIPIF 1 < 0 的最小值為______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##30度 SKIPIF 1 < 0
【分析】① SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，從而證 SKIPIF 1 < 0 ，最后得到答案．
②過點(diǎn)D作定直線CF的對稱點(diǎn)G，連CG，證出 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中垂線，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再證 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，利用勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案．
【詳解】解：①∵ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
②（將軍飲馬問題）
過點(diǎn)D作定直線CF的對稱點(diǎn)G，連CG，
∴ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中垂線， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，將軍飲馬，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練運(yùn)用將軍飲馬是解題的關(guān)鍵，具有較強(qiáng)的綜合性．
考查題型四 利用ASA證明兩個(gè)三角形全等
典例4．（2022·湖南湘西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（ ）
A．24B．22C．20D．18
【答案】B
【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時(shí)，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進(jìn)而可求解．
【詳解】∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴當(dāng)GH最小時(shí)，即MH⊥AB時(shí)四邊形ACGH的周長有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四邊形ACGH為矩形，
∴GH＝8，
∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，確定GH的值是解題的關(guān)鍵．
變式4-1．（2021·重慶·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先證明 SKIPIF 1 < 0 ，再證明四邊形MOND的面積等于， SKIPIF 1 < 0 的面積，繼而解得正方形的面積，據(jù)此解題．
【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線BD⊥AC，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 四邊形MOND的面積是1，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 正方形ABCD的面積是4，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
變式4-2．（2021·四川綿陽·中考真題）如圖，在邊長為3的正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】由正方形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 證得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （負(fù)值舍去），
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故選： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明 SKIPIF 1 < 0 是解題的關(guān)鍵．
變式4-3．（2022·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求證：DE=BC．
【答案】證明見解析
【分析】利用角邊角證明△CDE≌△ABC，即可證明DE=BC．
【詳解】證明：∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B．
又∵CD=AB，∠DCE=∠A，
∴△CDE≌△ABC(ASA)．
∴DE=BC．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
變式4-4．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，B是線段AC的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】證明過程見詳解
【分析】運(yùn)行平行線的性質(zhì)可證∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，結(jié)論即可得證．
【詳解】證明∵B是AC中點(diǎn)，
∴AB=BC，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠A=∠EBC，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等的知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．
變式4-5．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分別平分 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的周長為56， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【答案】(1)見詳解
(2)84
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)證 SKIPIF 1 < 0 即可求證；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（1）
證明：在 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 分別平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
如圖，作 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的周長為56，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
變式4-6．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，將矩形紙片 SKIPIF 1 < 0 折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)證明見解析
(2) SKIPIF 1 < 0 cm
【分析】（1）利用ASA證明即可；
（2）過點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，求出FG的長，設(shè)AE=xcm，用x表示出DE的長，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
（1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 （ASA）；
（2）
如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴ SKIPIF 1 < 0 cm,
設(shè)AE=xcm，
∴EP=xcm，
由 SKIPIF 1 < 0 知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中， SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC=BG+GC= SKIPIF 1 < 0 (cm）．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
變式4-7．（2022·云南·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長BE與CD的延長線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF=90°
(1)求證：四邊形ABDF是矩形；
(2)若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．
【答案】(1)見解析；
(2)18．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定證得 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，即可得到AB=DF，從而證明四邊形ABDF是平行四邊形，再根據(jù)∠BDF=90°即可證明四邊形ABDF是矩形；
（2）根據(jù)全等的性質(zhì)、矩形性質(zhì)及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四邊形性質(zhì)求得CF=6，最后利用梯形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠BAE=∠FDE，
∵E為線段AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 （ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∵∠BDF=90°，
∴四邊形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）知，四邊形ABDF是矩形，
∴AB=DF=3，∠AFD=90°，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=3，
∴CF=CD+DF=3+3=6，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．
變式4-8（2022·貴州貴陽·中考真題）如圖，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)見詳解
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先證明四邊形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE證得∠MBO=∠OMF，結(jié)合∠A=90°=∠NFM即可證明；
（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=AB-BM=8-ME，在Rt△AME中， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，則NO可求．
（1）
在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∠A=∠D=90°， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABE≌△FMN；
（2）
連接ME，如圖，
∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴根據(jù)（1）中全等的結(jié)論可知MN=BE=10，
∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，
∴BO=OE= SKIPIF 1 < 0 =5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在Rt△BMO中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ON=MN-MO= SKIPIF 1 < 0 ．
即NO的長為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
考查題型五 利用AAS證明兩個(gè)三角形全等
典例5．（2022·遼寧營口·中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)M在 SKIPIF 1 < 0 邊上，把 SKIPIF 1 < 0 沿直線 SKIPIF 1 < 0 折疊，使點(diǎn)B落在 SKIPIF 1 < 0 邊上的點(diǎn)E處，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為F，若 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE= SKIPIF 1 < 0 ，從而可得AD=BC= SKIPIF 1 < 0 ，最后求得AE的長．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把 SKIPIF 1 < 0 沿直線 SKIPIF 1 < 0 折疊，使點(diǎn)B落在 SKIPIF 1 < 0 邊上的點(diǎn)E處，
∴BC=EC，
在△BFC與△CDE中，
SKIPIF 1 < 0
∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴DE=CF=2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD=BC=CE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AE=AD-DE= SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形中的折疊問題．
變式5-1．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 沿BD折疊到 SKIPIF 1 < 0 位置，DE交AB于點(diǎn)F，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3， SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)折疊可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在△AFD和△EFB中 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明 SKIPIF 1 < 0 ，是解題的關(guān)鍵．
變式5-2（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．以 SKIPIF 1 < 0 為一邊在第一象限作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，則對角線 SKIPIF 1 < 0 所在直線的解析式為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，先證明 SKIPIF 1 < 0 ，再由全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得 SKIPIF 1 < 0 ，最后由待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：正方形 SKIPIF 1 < 0 中，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 所在的直線解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，涉及正方形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
變式5-3．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)B到x軸的距離為4，若將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】過B作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，構(gòu)建 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
【詳解】過B作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由旋轉(zhuǎn)可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及如何構(gòu)造全等三角形求得線段的長度，準(zhǔn)確構(gòu)造全等三角形求得線段長度是解題的關(guān)鍵．
變式5-4．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，對角線交于點(diǎn)E，反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像經(jīng)過點(diǎn)C，E．若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則k的值是_________．
【答案】4
【分析】作CF垂直y軸， 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，a)，可證明 SKIPIF 1 < 0 （AAS），得到CF=OB=a，BF=AO=3，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镋為正方形對稱線交點(diǎn)，所以E為AC中點(diǎn)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，即可求出k的值．
【詳解】作CF垂直y軸于點(diǎn)F，如圖，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，a)，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°
∴∠OAB=∠FBC
在△BFC和△AOB中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴BF=AO=3，CF=OB=a
∴OF=OB+BF=3+a
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，3+a)
∵點(diǎn)E是正方形對角線交點(diǎn)，
∴點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0
∵反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，E
∴ SKIPIF 1 < 0
解得：k=4
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與圖形的綜合應(yīng)用，巧用正方形的性質(zhì)求C、E點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
變式5-5．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，點(diǎn)C在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見解析
【分析】直接根據(jù)一線三垂直模型利用AAS證明 SKIPIF 1 < 0 即可．
【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B=∠D=∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知一線三垂直模型是解題的關(guān)鍵．
變式5-6．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)N，使CN=AM，連接MN交AC于點(diǎn)P，MH⊥AC于點(diǎn)H．
(1)求證：MP=NP；
(2)若AB＝a，求線段PH的長（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)見詳解；
(2)0.5a．
【分析】（1）過點(diǎn)M作MQ SKIPIF 1 < 0 CN，證明 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)推出AH=HQ，則PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
【詳解】（1）如下圖所示，過點(diǎn)M作MQ SKIPIF 1 < 0 CN，
∵ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，MQ SKIPIF 1 < 0 CN，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
則AM=AQ，且∠A=60°，
∴ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，則MQ=AM=CN，
又∵M(jìn)Q SKIPIF 1 < 0 CN，
∴∠QMP=∠CNP，
在 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
則MP=NP；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
又由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
則PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形全等的判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
變式5-7．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，AE與CD交于點(diǎn)F．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由矩形與折疊的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，從而可得結(jié)論；
（2）先證明 SKIPIF 1 < 0 ，再求解 SKIPIF 1 < 0 ， 結(jié)合對折的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）證明：將矩形ABCD沿對角線AC折疊，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在△DAF和△ECF中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵．
變式5-8．（2022·湖南長沙·中考真題）如圖，AC平分 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分別為B，D．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求四邊形ABCD的面積．
【答案】(1)見解析
(2)12
【分析】（1）由角平分線的定義和垂直的定義求出 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合已知條件，利用“AAS”即可求證；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角形的面積公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)四邊形ABCD的面積 SKIPIF 1 < 0 求解即可．
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 AC平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形ABCD的面積 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．
變式5-9．（2022·重慶·中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個(gè)矩形的長乘寬，小明想用其驗(yàn)證一個(gè)底為a，高為h的三角形的面積公式為 SKIPIF 1 < 0 ．想法是：以 SKIPIF 1 < 0 為邊作矩形 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)A在邊 SKIPIF 1 < 0 上，再過點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來得到驗(yàn)證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 的垂線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D．（只保留作圖痕跡）
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴______①____．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴______②_____．
又∵_(dá)___③______．
∴ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
同理可得：_____④______．
SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】圖見解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE
【分析】根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可，利用垂直的定義得到∠ADC=∠F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，即可證明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，AD即為所求，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ADC=∠F．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠1=∠2．
又∵AC=AC．
∴ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
同理可得：△ABD≌△BAE．
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
變式5-10．（2022·浙江溫州·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，O是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 的延長線交線段 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)G，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形．
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)E，F(xiàn)分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合O是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，利用“AAS”得出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形；
（2）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得出CD=2，根據(jù)勾股定理得出AC的長，即可得出DE，根據(jù)平行四邊形的性，得出 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）
解：（1）∵E，F(xiàn)分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵O是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形．
（2）
∵ SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，根據(jù)題意證明 SKIPIF 1 < 0 ，是解題的關(guān)鍵．
考查題型六 利用HL證明兩個(gè)三角形全等
典例6．（2022·天津·中考真題）如圖，△OAB的頂點(diǎn)O(0，0)，頂點(diǎn)A，B分別在第一、四象限，且AB⊥x軸，若AB=6，OA=OB=5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用HL證明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【詳解】解：∵AB⊥x軸，
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC= SKIPIF 1 < 0 AB=3，
∵OA=5，
∴OC= SKIPIF 1 < 0 4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3），
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
變式6-1．（2022·湖北恩施·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形ABMP為矩形
B．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形
C．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
D．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 或6s
【答案】D
【分析】計(jì)算AP和BM的長，得到AP≠BM，判斷選項(xiàng)A；計(jì)算PD和CM的長，得到PD≠CM，判斷選項(xiàng)B；按PM=CD，且PM與CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分類討論判斷選項(xiàng)C和D．
【詳解】解：由題意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，則四邊形ABMP不是矩形，該選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，則四邊形CDPM不是平行四邊形，該選項(xiàng)不符合題意；
作CE⊥AD于點(diǎn)E，則∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
當(dāng)PM=CD，且PM與CD不平行時(shí)，作MF⊥AD于點(diǎn)F，CE⊥AD于點(diǎn)E，
∴四邊形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
當(dāng)PM=CD，且PM∥CD時(shí)，
∴四邊形CDPM是平行四邊形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；
綜上，當(dāng)PM=CD時(shí)，t=4s或6s；選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，應(yīng)注意分類討論，求出所有符合條件的t的值．
變式6-2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，點(diǎn)E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，將正方形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折疊，得到點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長 SKIPIF 1 < 0 交線段 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)P，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長度為___________．
【答案】2
【分析】連接AP，根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：連接AP，如圖所示，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得x＝2，則DP的長度為2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．
變式6-3．（2022·湖北隨州·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形．
(1)求證 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)已知平行四邊形ABCD的面積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)證明見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）直接根據(jù)已知條件證明 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 全等即可得出答案．
（2）由平行四邊形的面積公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后即可得出答案．
（1）
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
由題意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并能靈活運(yùn)用．
變式6-4．（2022·貴州遵義·中考真題）將正方形 SKIPIF 1 < 0 和菱形 SKIPIF 1 < 0 按照如圖所示擺放，頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合，菱形 SKIPIF 1 < 0 的對角線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可得證；
（2）連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求得正方形和菱形的對角線的長度，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可求解．
（1）
證明： SKIPIF 1 < 0 正方形 SKIPIF 1 < 0 和菱形 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
（2）
如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即AB=4，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理， SKIPIF 1 < 0 ，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
考查題型七 全等三角形綜合問題
典例7（2022·湖南常德·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定方法可判斷B；根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)可判斷C；利用等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)可判斷D．
【詳解】A．∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BE=BC，故A正確；
B．∵點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，
∴CF=BF=AF= SKIPIF 1 < 0 AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA= SKIPIF 1 < 0 AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延長BF交CE于點(diǎn)H，則∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正確．
C．∵BF∥ED，BF=DE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；
D．∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG= SKIPIF 1 < 0 CG，
∴CG=2FG．
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG．故D錯(cuò)誤．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角邊等于斜邊的一半，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，正確理解旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式7-1．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 交BC于點(diǎn)E，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接OP．則下列結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的 SKIPIF 1 < 0 ．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
【答案】B
【分析】分別對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行證明后進(jìn)行判斷：
①通過證明 SKIPIF 1 < 0 得到EC=FD，再證明 SKIPIF 1 < 0 得到∠EAC=∠FBD，從而證明∠BPQ=∠AOQ=90°，即 SKIPIF 1 < 0 ；
②通過等弦對等角可證明 SKIPIF 1 < 0 ；
③通過正切定義得 SKIPIF 1 < 0 ，利用合比性質(zhì)變形得到 SKIPIF 1 < 0 ，再通過證明 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入前式得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù)三角形面積公式得到 SKIPIF 1 < 0 ，整體代入即可證得結(jié)論正確；
④作EG⊥AC于點(diǎn)G可得EG SKIPIF 1 < 0 BO，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)正方形邊長為5a，分別求出EG、AC、CG的長，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)論錯(cuò)誤；
⑤將四邊形OECF的面積分割成兩個(gè)三角形面積，利用 SKIPIF 1 < 0 ，可證明S四邊形OECF=S△COE+S△COF=S△DOF+S△COF =S△COD即可證明結(jié)論正確．
【詳解】①∵四邊形ABCD是正方形，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵ SKIPIF 1 < 0
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF與△COE中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴EC=FD
∵在△EAC與△FBD中 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①正確；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴點(diǎn)P、O在以AB為直徑的圓上
∴AO是該圓的弦
∴ SKIPIF 1 < 0
所以②正確；
③∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
所以③正確；
④作EG⊥AC于點(diǎn)G，則EG SKIPIF 1 < 0 BO，
∴ SKIPIF 1 < 0
設(shè)正方形邊長為5a，則BC=5a，OB=OC= SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG= SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
所以④錯(cuò)誤；
⑤∵ SKIPIF 1 < 0 ，S四邊形OECF=S△COE+S△COF
∴S四邊形OECF= S△DOF+S△COF= S△COD
∵S△COD= SKIPIF 1 < 0
∴S四邊形OECF= SKIPIF 1 < 0
所以⑤正確；
綜上，①②③⑤正確，④錯(cuò)誤，
故選 B
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形、正方形、圓和三角函數(shù)，熟練運(yùn)用全等三角形、相似三角形、等弦對等角和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
變式7-2．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）以下命題：①面包店某種面包售價(jià) SKIPIF 1 < 0 元/個(gè)，因原材料漲價(jià)，面包價(jià)格上漲10%，會(huì)員優(yōu)惠從打八五折調(diào)整為打九折，則會(huì)員購買一個(gè)面包比漲價(jià)前多花了 SKIPIF 1 < 0 元；②等邊三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上一點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；③兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④一列自然數(shù)0，1，2，3，55，依次將該列數(shù)中的每一個(gè)數(shù)平方后除以100，得到一列新數(shù)，則原數(shù)與對應(yīng)新數(shù)的差，隨著原數(shù)的增大而增大．其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】①列代數(shù)式求解；②利用三角形內(nèi)角和及外角關(guān)系定理求解；③利用三角形全等進(jìn)行判斷；④利用作差比較代數(shù)式的大小，并化成二次函數(shù)判斷其增減性即可．
【詳解】解：①項(xiàng)，會(huì)員原來購買一個(gè)面包需要0.85a元，現(xiàn)在需要a×(1+10%)×0.9=0.99a，則會(huì)員購買一個(gè)面包比漲價(jià)前多花了0.99a-0.85a=0.14a元，故①項(xiàng)正確；
②項(xiàng)，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠C+∠EDC=∠AED，
又∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=∠C+∠EDC+∠EDC，
∴∠BAD=∠EDC+∠EDC=2∠EDC，故②項(xiàng)錯(cuò)誤；
③項(xiàng)，如圖，△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，AM是△ABC的BC邊上的中線，DN是△DEF的邊EF上的中線，AM=DN，即有△ABC≌△DEF，理由如下：
延長AM至G點(diǎn)，使得AM=GM，連接GC，延長DN至H點(diǎn)，使得DN=NH，連接HF，
∵AM是中線，
∴BM=MC，
∵AM=MG，∠AMB=∠GMC，
∴△AMB≌△GMC，
∴AB=GC，
同理可證DE=HF，
∵AM=DN，
∴AG=2AM=2DN=DH，
∵AB=DE，
∴GC=HF，
∴結(jié)合AC=DF可得△ACG≌△DFH，
∴∠GAC=∠HDF，
同理可證∠GAB=∠HDE，
∴∠BAC=∠GAB+∠GAC=∠HDF+∠HDE=∠EDF，
∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF，故③正確；
④設(shè)原數(shù)為x，則新數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)原數(shù)與新數(shù)之差為y，
即 SKIPIF 1 < 0 ，變形為： SKIPIF 1 < 0 ，
將x等于0、1、2、3、...、55分別代入可知，y隨著x的先變大，然后再變小，
故④錯(cuò)誤；
即正確的有兩個(gè)，
故選：B，
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
變式7-3．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；③若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；④若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 全等．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】依次分析各選項(xiàng)，進(jìn)行推理論證即可；其中①可通過證明 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換后可以得到結(jié)論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)等得到MN垂直平分BC，即可完成求證，③可以先證明兩個(gè)三角形的共線邊上的高的關(guān)系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明 SKIPIF 1 < 0 后可進(jìn)一步證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可完成求證．
【詳解】解：∵平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故①正確；
若 SKIPIF 1 < 0 ，
則平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
由矩形的對角線相等，而點(diǎn)E是矩形的對角線的交點(diǎn)可知，
E點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等，
∴E點(diǎn)在BC的垂直平分線上，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得BN=CN，
所以N點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，
∴MN垂直平分BC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故②正確；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則BN=2CN，
如圖1，分別過D、E兩點(diǎn)向BC作垂線，垂足分別為Q點(diǎn)和P點(diǎn)，
∵E點(diǎn)是BD中點(diǎn)，
∴DQ=2EP，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故③正確；
若 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
分別過N、C兩點(diǎn)向AD作垂線，垂足分別為H、K，
由平行線間的距離處處相等可知：NH=CK，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行角或邊之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化等，本題對推理分析能力要求較高，屬于中等難度偏上的題目，對學(xué)生的綜合分析能力有一定的要求．
變式7-4．（2021·廣西河池·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AC上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則AF的長是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線分別交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】如圖，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線分別交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （AAS），
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，求得 SKIPIF 1 < 0 是解題的關(guān)鍵．
知識(shí)點(diǎn)3 角平分線的性質(zhì)
角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
幾何描述：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D，E，
PD=PE。
角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
幾何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。
考查題型八 角平分線的性質(zhì)
典例8．（2022·四川資陽·中考真題）如圖所示，在 SKIPIF 1 < 0 中，按下列步驟作圖：
第一步：在 SKIPIF 1 < 0 上分別截取 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
第二步：分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、適當(dāng)長（大于 SKIPIF 1 < 0 的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)F；
第三步：作射線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M；
第四步：過點(diǎn)M作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)N．
下列結(jié)論一定成立的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出正確答案．
【詳解】解：由題意可知， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 不一定等于90°，∴ SKIPIF 1 < 0 ，因此A選項(xiàng)不正確；
∵ SKIPIF 1 < 0 不一定等于90°，∴ SKIPIF 1 < 0 不一定等于 SKIPIF 1 < 0 ，因此B選項(xiàng)不正確；
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，因此C選項(xiàng)不正確；
∵ SKIPIF 1 < 0 不一定等于90°，∴ SKIPIF 1 < 0 不一定等于 SKIPIF 1 < 0 ，因此D選項(xiàng)不正確；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——角平分線，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，掌握角平分線的作圖方法是本題的關(guān)鍵．
變式8-1．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（ ）
A．2B．2 SKIPIF 1 < 0 C．4D．4+2 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH＝EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．
【詳解】解：過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，如圖所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式8-2．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，過點(diǎn)D分別作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質(zhì)即可判斷求解．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)A、D結(jié)論正確，不符合題意；
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分線， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)B結(jié)論正確，不符合題意；
由已知條件推不出 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)C結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握其性質(zhì)即可．
變式8-3．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的平分線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，DE//AB，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F， SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DF=3，故B正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線得到AE=DE=5，故C正確；由此判斷D正確；再證明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A錯(cuò)誤．
【詳解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的平分線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D， SKIPIF 1 < 0 ，
∴CD=DF=3，故B正確；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正確；
∴AC=AE+CE=9，故D正確；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，
∴BF=CD=3，故A錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等邊對等角證明角相等，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
變式8-4．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于 SKIPIF 1 < 0 長為半徑作弧，在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)兩弧相交于點(diǎn)P；作射線AP交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足用G．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的周長等于________cm．
【答案】8
【分析】由角平分線的性質(zhì)，得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后求出 SKIPIF 1 < 0 的周長即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由角平分線的性質(zhì)，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的周長為：
SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為：8
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．
變式8-5．（2022·湖南株洲·中考真題）如圖所示，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在一塊直角三角板 SKIPIF 1 < 0 上（其中 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _________度．
【答案】15
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 判斷OB是 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，即可求解．
【詳解】解：由題意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即點(diǎn)O到BC、AB的距離相等，
∴ OB是 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：15．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義及判定，熟練掌握“到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”是解題的關(guān)鍵．
變式8-6．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分別平分 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的周長為56， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【答案】(1)見詳解
(2)84
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)證 SKIPIF 1 < 0 即可求證；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（1）
證明：在 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 分別平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
如圖，作 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的周長為56，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
考查題型九 角平分線的判定
典例9．（2020·湖北鄂州·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．下列結(jié)論：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正確；
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分 SKIPIF 1 < 0 ，④正確；
由∠AOB＝∠COD，得出當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以O(shè)A＝OC，而 SKIPIF 1 < 0 ，故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．
【詳解】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正確；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：
則∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，④正確；
∵∠AOB＝∠COD，
∴當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，
假設(shè)∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵M(jìn)O平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
與 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
∴③錯(cuò)誤；
正確的有①②④；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
變式9-1．（2021·青海·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（ ）
A．7.5B．8C．15D．無法確定
【答案】A
【詳解】試題分析：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．
∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．
又∵BC=5，∴S△BCD= SKIPIF 1 < 0 BC?DE= SKIPIF 1 < 0 ×5×3=7.5．
故選A．
變式9-2．（2020·湖北省直轄縣級單位·中考真題）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)F，連接 SKIPIF 1 < 0 ，下列結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】①證明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性質(zhì)即可判斷；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF證得∠BFC=90°即可判定；③分別過A作AM⊥BD、AN⊥CE,根據(jù)全等三角形面積相等和BD=CE，證得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 即可判定．
【詳解】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正確；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正確；
分別過A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分別為M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴ SKIPIF 1 < 0
∵BD=CE
∴AM=AN
∴ SKIPIF 1 < 0 平分∠BFE，無法證明AF平分∠CAD．
故③錯(cuò)誤；
∵ SKIPIF 1 < 0 平分∠BFE， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故④正確．
故答案為C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)以及角的和差等知識(shí)，其中正確應(yīng)用角平分線定理是解答本題的關(guān)鍵．
一般三角形
直角三角形
判定
邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）
角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）
具備一般三角形的判定方法
斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）
性質(zhì)
對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等、周長、面積相等
對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等

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