【知識要點】
平移的概念：在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移變換。
平移的性質：1）平移前后的兩個圖形形狀和大小完全相同，對應角相等，對應邊相等， 平移前后兩個圖形的周長和面積相等。
2）對應線段（或對應邊）平行(或在同一直線上)且相等。
3）任意兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等。
旋轉的概念：把一個平面圖形繞著平面內某一點 SKIPIF 1 < 0 轉動一個角度，叫作圖形的旋轉。
【補充說明】如圖所示， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 繞定點O逆時針旋轉 SKIPIF 1 < 0 得到的，其中點A與點A’叫作對應點，線段OB與線段 SKIPIF 1 < 0 叫作對應線段， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 叫作對應角，點 SKIPIF 1 < 0 叫作旋轉中心， SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的度數(shù)叫作旋轉的角度。
【注意】
1)圖形的旋轉由旋轉中心、旋轉方向與旋轉的角度所決定.
2)旋轉中心可以在圖形內，也可以是圖形外。
【圖形旋轉的三要素】旋轉中心、旋轉方向和旋轉角。
旋轉的特征：1）對應點到旋轉中心的距離相等（例：OA與OA’）；
2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角(∠AOA’=∠BOB’=45°)；
3）旋轉前后的兩個圖形全等（△ABO≌△A’B’O）。
旋轉作圖的步驟方法：
1)確定旋轉中心、旋轉方向、旋轉角；
2）找出圖形上的關鍵點；
3）連接圖形上的關鍵點與旋轉中心，然后按旋轉方向分別將它們旋轉一定的角度，得到關鍵點的對應點；
4）按原圖的順序連接這些對應點，即得旋轉后的圖形。
平移、旋轉、軸對稱之間的關系：
考查題型一 圖形的平移
典例1．（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）2022北京冬殘奧會的會徽是以漢字“飛”為靈感來設計的，展現(xiàn)了運動員不斷飛躍，超越自我，奮力拼搏，激勵世界的冬殘奧精神下列的四個圖中，能由如圖所示的會徽經過平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
變式1-1．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC沿BC方向平移后的得到△DEF，已知BC=5，EC=2，則平移的距離是（ ）
A．1B．2C．3D．4
變式1-2．（2021·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學興趣小組同學從“中國結”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如圖2，用2個相同的菱形放置，得到3個菱形．下面說法正確的是（ ）
A．用3個相同的菱形放置，最多能得到6個菱形
B．用4個相同的菱形放置，最多能得到16個菱形
C．用5個相同的菱形放置，最多能得到27個菱形
D．用6個相同的菱形放置，最多能得到41個菱形
變式1-4．（2019·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）下列四個圖形中，可以由圖 SKIPIF 1 < 0 通過平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
考查題型二 利用平移的性質求解
典例2．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿對角線BD方向平移1cm得到正方形 SKIPIF 1 < 0 ，形成一個“方勝”圖案，則點D， SKIPIF 1 < 0 之間的距離為（ ）
A．1cmB．2cmC．( SKIPIF 1 < 0 －1)cmD．(2 SKIPIF 1 < 0 －1)cm
變式2-1．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 對應直尺的刻度為0，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積是（ ）
A．96B． SKIPIF 1 < 0 C．192D． SKIPIF 1 < 0
變式2-2．（2021·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 邊向右平移得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點G．若 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
變式2-3．（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿其對角線AC平移，使A的對應點A′滿足AA′＝ SKIPIF 1 < 0 AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是 _____．
變式2-4．（2022·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，將 SKIPIF 1 < 0 沿著 SKIPIF 1 < 0 方向平移得到 SKIPIF 1 < 0 ，只需添加一個條件即可證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，這個條件可以是____________．（寫出一個即可）
變式2-5．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點O移到OB的中點 SKIPIF 1 < 0 處，得到扇形 SKIPIF 1 < 0 ．若∠O＝90°，OA＝2，則陰影部分的面積為______．
變式2-6．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC的邊BC長為4cm．將△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，則陰影部分的面積為______ SKIPIF 1 < 0 ．
變式2-7．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．把 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 方向平移 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，連結 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的周長為_____ SKIPIF 1 < 0 ．
考查題型三 平移（作圖）
典例3．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，的頂點坐標分別為 SKIPIF 1 < 0 ．將 SKIPIF 1 < 0 平移后得到 SKIPIF 1 < 0 ，且點A的對應點是 SKIPIF 1 < 0 ，點B、C的對應點分別是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)點A、 SKIPIF 1 < 0 之間的距離是__________；
(2)請在圖中畫出．
變式3-1．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 的方格紙中，已知格點P，請按要求畫格點圖形（頂點均在格點上）．
(1)在圖1中畫一個銳角三角形，使P為其中一邊的中點，再畫出該三角形向右平移2個單位后的圖形．
(2)在圖2中畫一個以P為一個頂點的鈍角三角形，使三邊長都不相等，再畫出該三角形繞點P旋轉 SKIPIF 1 < 0 后的圖形．
考查題型四 平移的坐標變化規(guī)律
典例4．（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，把點 SKIPIF 1 < 0 向右平移兩個單位后，得到對應點的坐標是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式4-1．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是 SKIPIF 1 < 0 ，將線段 SKIPIF 1 < 0 向右平移4個單位長度，得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，點A的對應點C的坐標是_______．
變式4-2．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點A（﹣3，4）的對應點是A1（2，5），則點B（﹣4，2）的對應點B1的坐標是________．
變式4-3．（2021·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點 SKIPIF 1 < 0 關于 SKIPIF 1 < 0 軸的對稱點為 SKIPIF 1 < 0 ，將點 SKIPIF 1 < 0 向左平移3個單位得到點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的坐標為__________．
變式4-4．（2021·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，動點P從原點O出發(fā)，水平向左平移1個單位長度，再豎直向下平移1個單位長度得到點 SKIPIF 1 < 0 ；接著水平向右平移2個單位長度，再豎直向上平移2個單位長度得到點 SKIPIF 1 < 0 ；接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得到點 SKIPIF 1 < 0 ；接著水平向右平移4個單位長度，再豎直向上平移4個單位長度得到點 SKIPIF 1 < 0 ，…，按此作法進行下去，則點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為___________．
考查題型五 利用旋轉的性質求解
典例5．（2022·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點C順時針旋轉得到 SKIPIF 1 < 0 ，其中點 SKIPIF 1 < 0 與點A是對應點，點 SKIPIF 1 < 0 與點B是對應點．若點 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 邊上，則點A到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．2
變式5-1．（2022·寧夏·中考真題）如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，邊 SKIPIF 1 < 0 交直線 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0 ．
變式5-2．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離是______．
變式5-3．（2021·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的圖案由三個葉片組成，繞點O旋轉120°后可以和自身重合，若每個葉片的面積為4cm2，∠AOB=120°，則圖中陰影部分的面積為__________．
變式5-4．（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．
(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關系并給出證明；
(2)延長ED交直線BC于點F．
①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關系為_______；
②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．
變式5-5．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考中考真題）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 繞點A逆時針旋轉至 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不與 SKIPIF 1 < 0 重合），旋轉角記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分線 SKIPIF 1 < 0 與射線 SKIPIF 1 < 0 相交于點E，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖①，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是_____________；
(2)如圖②，當 SKIPIF 1 < 0 時，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)當 SKIPIF 1 < 0 時，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的值．
變式5-6．（2022·山西·中考真題）綜合與實踐
問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：
（1）如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；
問題解決：
（2）如圖②，在三角板旋轉過程中，當 SKIPIF 1 < 0 時，求線段CN的長；
（3）如圖③，在三角板旋轉過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．
變式5-7．（2021·貴州黔西·中考真題）如圖1，D為等邊△ABC內一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE，連接CE，BD的延長線與AC交于點G，與CE交于點F．
（1）求證：BD＝CE；
（2）如圖2，連接FA，小穎對該圖形進行探究，得出結論：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小穎的結論是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由．
變式5-8．（2021·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）將一物體（視為邊長為 SKIPIF 1 < 0 米的正方形 SKIPIF 1 < 0 ）從地面 SKIPIF 1 < 0 上挪到貨車車廂內．如圖所示，剛開始點 SKIPIF 1 < 0 與斜面 SKIPIF 1 < 0 上的點 SKIPIF 1 < 0 重合，先將該物體繞點 SKIPIF 1 < 0 按逆時針方向旋轉至正方形 SKIPIF 1 < 0 的位置，再將其沿 SKIPIF 1 < 0 方向平移至正方形 SKIPIF 1 < 0 的位置（此時點 SKIPIF 1 < 0 與點 SKIPIF 1 < 0 重合），最后將物體移到車廂平臺面 SKIPIF 1 < 0 上．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 米．
（1）求線段 SKIPIF 1 < 0 的長度；
（2）求在此過程中點 SKIPIF 1 < 0 運動至點 SKIPIF 1 < 0 所經過的路程．
考查題型六 旋轉（作圖）
典例6．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的方格紙 SKIPIF 1 < 0 格長為一個單位長度）中， SKIPIF 1 < 0 的頂點坐標分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 軸向左平移5個單位，畫出平移后的△ SKIPIF 1 < 0 （不寫作法，但要標出頂點字母）；
(2)將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉 SKIPIF 1 < 0 ，畫出旋轉后的△ SKIPIF 1 < 0 （不寫作法，但要標出頂點字母）；
(3)在（2）的條件下，求點 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 旋轉到點 SKIPIF 1 < 0 所經過的路徑長（結果保留 SKIPIF 1 < 0 ．
變式6-1．（2020·遼寧阜新·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 在平面直角坐標系中，頂點的坐標分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）畫出與 SKIPIF 1 < 0 關于y軸對稱的 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉90°得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 弧是點A所經過的路徑，則旋轉中心 SKIPIF 1 < 0 的坐標為___________．
（3）求圖中陰影部分的面積（結果保留 SKIPIF 1 < 0 ）．
變式6-2．（2020·湖北武漢·中考真題）在 SKIPIF 1 < 0 的網格中建立如圖的平面直角坐標系，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的頂點坐標分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．僅用無刻度的直尺在給定網格中按下列步驟完成畫圖，并回答問題：
（1）將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉 SKIPIF 1 < 0 ，畫出對應線段 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在線段 SKIPIF 1 < 0 上畫點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 （保留畫圖過程的痕跡）；
（3）連接 SKIPIF 1 < 0 ，畫點 SKIPIF 1 < 0 關于直線 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，并簡要說明畫法．
考查題型七 旋轉的坐標變化規(guī)律
典例7．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，將 SKIPIF 1 < 0 先向右平移3個單位，再繞原點O旋轉 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，則點A的對應點 SKIPIF 1 < 0 的坐標是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式7-1．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段 SKIPIF 1 < 0 在平面直角坐標系內，A點坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 繞原點O逆時針旋轉90°，得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式7-2．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合， SKIPIF 1 < 0 軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2022次旋轉結束時，點A的坐標為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式7-3．（2022·四川內江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點B、C、E在y軸上，Rt△ABC 經過變換得到Rt△ODE，若點C的坐標為(0，1)，AC=2，則這種變換可以是（ ）
A．△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移3
B．△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移1
C．△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移1
D．△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移3
變式7-4．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為2的正六邊形 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉 SKIPIF 1 < 0 個 SKIPIF 1 < 0 ，得到正六邊形 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時，正六邊形 SKIPIF 1 < 0 的頂點 SKIPIF 1 < 0 的坐標是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式7-5．（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，將△AOB繞原點O旋轉90°，則旋轉后點A的對應點A′的坐標是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2）B．（2 SKIPIF 1 < 0 ，﹣4）或（﹣2 SKIPIF 1 < 0 ，4）
C．（﹣2 SKIPIF 1 < 0 ，2）或（2 SKIPIF 1 < 0 ，﹣2）D．（2，﹣2 SKIPIF 1 < 0 ）或（﹣2，2 SKIPIF 1 < 0 ）
變式7-6．（2021·四川達州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，等邊 SKIPIF 1 < 0 如圖放置，點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，每一次將 SKIPIF 1 < 0 繞著點 SKIPIF 1 < 0 逆時針方向旋轉 SKIPIF 1 < 0 ，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉后得到 SKIPIF 1 < 0 ，第二次旋轉后得到 SKIPIF 1 < 0 ，…，依次類推，則點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式7-7．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的中心與坐標原點O重合，將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉90°得點D1，再將D1繞點B逆時針旋轉90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉90°得點D5……依此類推，則點D2022的坐標是________．
考查題型八 旋轉綜合題（與線段有關）
典例8．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內一個動點，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為 _____．
變式8-1．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點E在BC上，點F在CD上，P為EF中點，連接AF，G為AF中點，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點C順時針旋轉，旋轉角為α（0°≤α≤360°）．
(1)如圖1，當α＝0°時，DG與PG的關系為 ；
(2)如圖2，當α＝90°時
①求證：△AGD≌△FGM；
②（1）中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
變式8-2．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點E在折線 SKIPIF 1 < 0 上運動，將 SKIPIF 1 < 0 繞點A順時針旋轉得到 SKIPIF 1 < 0 ，旋轉角等于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)當點E在 SKIPIF 1 < 0 上時，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為M，求證 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)當 SKIPIF 1 < 0 時，求 SKIPIF 1 < 0 的長；
(3)連接 SKIPIF 1 < 0 ，點E從點B運動到點D的過程中，試探究 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
考查題型九 旋轉綜合題（與面積有關）
典例9．（2022·寧夏·中考真題）綜合與實踐
知識再現(xiàn)
如圖 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，分別以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為邊向外作的正方形的面積為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．當 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ______．
問題探究
如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖 SKIPIF 1 < 0 ，分別以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為邊向外作的等腰直角三角形的面積為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關系是______．
（2）如圖 SKIPIF 1 < 0 ，分別以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為邊向外作的等邊三角形的面積為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，試猜想 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關系，并說明理由．
實踐應用
（1）如圖 SKIPIF 1 < 0 ，將圖 SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉一定角度至 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉一定角度至 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于點 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖 SKIPIF 1 < 0 ，分別以圖 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為直徑的半圓柱的體積分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，柱體的高 SKIPIF 1 < 0 ，直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的值．
變式9-1．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板 SKIPIF 1 < 0 的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉，探究直角三角板 SKIPIF 1 < 0 與正方形 SKIPIF 1 < 0 重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）．
(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉過程中，當 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 重合時，重疊部分的面積為__________；當 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 垂直時，重疊部分的面積為__________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉過程中，重疊部分的面積 SKIPIF 1 < 0 與S的關系為__________；
(2)類比探究：若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉過程中， SKIPIF 1 < 0 分別與正方形的邊相交于點M，N．
①如圖2，當 SKIPIF 1 < 0 時，試判斷重疊部分 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并說明理由；
②如圖3，當 SKIPIF 1 < 0 時，求重疊部分四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積（結果保留根號）；
(3)拓展應用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為 SKIPIF 1 < 0 （設 SKIPIF 1 < 0 ），將 SKIPIF 1 < 0 繞點O逆時針旋轉，在旋轉過程中， SKIPIF 1 < 0 的兩邊與正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊所圍成的圖形的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的最小值與最大值（分別用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示），
（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）
聯(lián)系
變化后不改變圖形的大小和形狀，對應線段相等、對應角相等。
區(qū)別
變化方式
不同
平移：將一個圖形沿某個方向移動一定距離。
旋轉：將一個圖形繞一個頂點沿某個方向轉一定角度。
軸對稱：將一個圖形沿一條直線對折。
對應線段、對應角之間的關系不同
平移： 變化前后對應線段平行（或在一條直線上），對應點連線平行（或在一條直線上），對應角的兩邊平行（或在一條直線上）、方向一致。
旋轉： 變化前后任意一對對應點與旋轉中心的連線所稱的角都是旋轉角。
軸對稱：對應線段或延長線如果相交，那么交點在對稱軸上。
確定條件
不同
平移：距離與方向
旋轉：旋轉的三要素。
軸對稱：對稱軸

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