【知識(shí)要點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念
圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形
成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段叫做半徑。
圓的表示方法：以點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。
圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形。
確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。
備注：圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)度確定圓的大小。
【補(bǔ)充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；
2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；
3）半徑相等的圓叫做等圓。
圓的對(duì)稱性：1）圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；
2）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。
弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。
直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。
備注：1）直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦。2）直徑長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度的2倍。
弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。以為端點(diǎn)的弧記作，讀作圓弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。
半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。
劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。
弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距。
考查題型一 圓的周長(zhǎng)和面積問題
典例1．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
變式1-1．（2022·山東濰坊·中考真題）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形 SKIPIF 1 < 0 的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的外接圓的周長(zhǎng)為___________．
變式-2．（2021·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考一模）把一個(gè)圓心為O，半徑為r的小圓面積增加一倍，兩倍，三倍，分別得到如圖所示的四個(gè)圓（包括原來的小圓），則這四個(gè)圓的周長(zhǎng)之比（按從小到大順序排列）是___．
變式1-3．（2021·廣西百色·統(tǒng)考中考真題）據(jù)國(guó)際田聯(lián)《田徑場(chǎng)地設(shè)施標(biāo)準(zhǔn)手冊(cè)》，400米標(biāo)準(zhǔn)跑道由兩個(gè)平行的直道和兩個(gè)半徑相等的彎道組成，有8條跑道，每條跑道寬1.2米，直道長(zhǎng)87米；跑道的彎道是半圓形，環(huán)形跑道第一圈（最內(nèi)圈）彎道半徑為35.00米到38.00米之間．
某校據(jù)國(guó)際田聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)校場(chǎng)地實(shí)際，建成第一圈彎道半徑為36米的標(biāo)準(zhǔn)跑道．小王同學(xué)計(jì)算了各圈的長(zhǎng)：
第一圈長(zhǎng)：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈長(zhǎng)：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈長(zhǎng)：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
請(qǐng)問：
（1）第三圈半圓形彎道長(zhǎng)比第一圈半圓形彎道長(zhǎng)多多少米？小王計(jì)算的第八圈長(zhǎng)是多少？
（2）小王緊靠第一圈邊線逆時(shí)針跑步、鄧教練緊靠第三圈邊線順時(shí)針騎自行車（均以所靠邊線長(zhǎng)計(jì)路程），在如圖的起跑線同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過20秒兩人在直道第一次相遇．若鄧教練平均速度是小王平均速度的2倍，求他們的平均速度各是多少？
（注：在同側(cè)直道，過兩人所在點(diǎn)的直線與跑道邊線垂直時(shí)，稱兩人直道相遇）
變式1-4．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）一塊含有 SKIPIF 1 < 0 角的三角板 SKIPIF 1 < 0 如圖所示，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．將此三角板在平面內(nèi)繞頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)一周．
（1）畫出邊 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形；
（2）求出該圖形的面積．
知識(shí)點(diǎn)二 垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；
3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長(zhǎng)度；
2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分。
考查題型二 利用垂徑定理求解
典例2．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．5
變式2-1（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 垂直于弦 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
變式2-2．（2021·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)P是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，最短弦的長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，則OP的長(zhǎng)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式2-3．（2021·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，弦 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則CD的長(zhǎng)度是（ ）
A．9.6B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．19
變式2-4．（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是 SKIPIF 1 < 0 中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過圓心O交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，并且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的半徑長(zhǎng)為______m．
變式2-5．（2022·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，則這個(gè)花壇的面積為_____．（結(jié)果保留 SKIPIF 1 < 0 ）
變式2-6．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題） SKIPIF 1 < 0 的直徑 SKIPIF 1 < 0 ，AB是 SKIPIF 1 < 0 的弦， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為M， SKIPIF 1 < 0 ，則AC的長(zhǎng)為______．
變式2-7．（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以 SKIPIF 1 < 0 為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是____________．
考查題型三 利用垂徑定理求解實(shí)際問題
典例3．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．24cm
變式3-1．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）小明很喜歡鉆研問題，一次數(shù)學(xué)楊老師拿來一個(gè)殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在園的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量的弧AB的中心C到AB的距離CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為 _________cm．
變式3-2．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)20厘米，弓形高 SKIPIF 1 < 0 為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米．
變式3-3．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個(gè)球放置在圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高AB＝20cm，底面直徑BC＝12cm，球的最高點(diǎn)到瓶底面的距離為32cm，則球的半徑為______cm（玻璃瓶厚度忽略不計(jì)）．
變式3-4．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28緯線的長(zhǎng)度．
小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：
信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；
信息二：如圖2，赤道半徑 SKIPIF 1 < 0 約為6400千米，弦 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓的周長(zhǎng)就是北緯28°緯線的長(zhǎng)度；（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長(zhǎng)度約為__________千米．
變式3-5．（2021·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深 SKIPIF 1 < 0 等于1寸，鋸道 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)1尺，問圓形木材的直徑是多少？（1尺＝10寸）
答：圓形木材的直徑___________寸；
變式3-6．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）石拱橋是我國(guó)古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國(guó)古代石拱橋的代表．如圖2是根據(jù)某石拱橋的實(shí)物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為 SKIPIF 1 < 0 ．橋的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)） SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 所在圓的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ．拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離） SKIPIF 1 < 0 ．連接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)直接判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系；
(2)求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到 SKIPIF 1 < 0 ）．
知識(shí)點(diǎn)三 與圓有關(guān)的角
圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。
圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（即：圓周角=）
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。
在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。
推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
考查題型四 弧、弦、圓心角之間的關(guān)系
典例4．（2021·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為18米的圓形草坪，從 SKIPIF 1 < 0 地走到 SKIPIF 1 < 0 地有觀賞路（劣弧 SKIPIF 1 < 0 ）和便民路（線段 SKIPIF 1 < 0 ）.已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是圓上的點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為圓心， SKIPIF 1 < 0 ，小強(qiáng)從 SKIPIF 1 < 0 走到 SKIPIF 1 < 0 ，走便民路比走觀賞路少走（ ）米.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式4-1．（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式4-2．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的弦，先將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．再將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 所在的范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式4-3．（2020·山東青島·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ．則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式4-4．（2020·四川瀘州·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）

A．100°B．90°C．80°D．70°
變式4-5．（2020·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)接正三角形，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是圓心，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是____度．
變式4-6．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）證明：垂直于弦 SKIPIF 1 < 0 的直徑 SKIPIF 1 < 0 平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧．
變式4-7．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．求證：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
變式4-8．（2021·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在⊙O中， SKIPIF 1 < 0 ，OC與AD相交于點(diǎn)E．求證：
（1）AD∥BC
（2）四邊形BCDE為菱形．
考查題型五 圓周角定理
典例5．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 內(nèi)接于 SKIPIF 1 < 0 ，CD是 SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
變式5-1．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，∠BOC＝130°，點(diǎn)A在 SKIPIF 1 < 0 上，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．55°B．65°C．75°D．130°
變式5-2．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上．點(diǎn)A，B的讀數(shù)分別為86°，30°，則∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
變式5-3．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)接于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式5-4．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 內(nèi)接于⊙ SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式5-5．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是 SKIPIF 1 < 0 所對(duì)的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．
變式5-6．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)接三角形．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的半徑是______．
變式5-7．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度數(shù)為 _____．
考查題型六 圓周角定理的推論
典例6．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的兩條半徑，點(diǎn)C在 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式6-1．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外接圓，且 SKIPIF 1 < 0 ，在弧AB上取點(diǎn)D（不與點(diǎn)A，B重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是（ ）
A．60°B．62°C．72°D．73°
變式6-2．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是 SKIPIF 1 < 0 的直徑，A，C在圓上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
變式6-3．（2022·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．8C． SKIPIF 1 < 0 D．4
變式6-4．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
變式6-5．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)接于⊙ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為⊙ SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
變式6-6．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是⊙ SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則⊙ SKIPIF 1 < 0 的半徑為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式6-7．（2022·四川資陽·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 內(nèi)接于 SKIPIF 1 < 0 是直徑，過點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 的切線 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是___________度．
變式6-8．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測(cè)量，測(cè)得AB=12cm，BC=5cm，則圓形鏡面的半徑為__________．
變式6-9．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)接于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)試判斷 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并給出證明；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度．
變式6-10．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）探究與實(shí)踐
“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．
提出問題：
如圖1，在線段 SKIPIF 1 < 0 同側(cè)有兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
探究展示：
如圖2，作經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 ，在劣弧 SKIPIF 1 < 0 上取一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 （不與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 （依據(jù)1）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所確定的 SKIPIF 1 < 0 上（依據(jù)2）
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上
(1)反思?xì)w納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？
依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．
(2)圖3，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為__________．
(3)拓展探究：如圖4，已知 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上（不與 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ．作點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長(zhǎng)交 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①求證： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共圓；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．
知識(shí)點(diǎn)四 圓內(nèi)接四邊形
圓內(nèi)接四邊形概念：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。
性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。
例：∠BCD+∠DAB=180°，∠BCD=∠DAE
考查題型七 已知圓內(nèi)接四邊形求角度
典例7．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)接四邊形．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A．138°B．121°C．118°D．112°
變式7-1．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，等邊 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在⊙ SKIPIF 1 < 0 上，邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 與⊙ SKIPIF 1 < 0 分別交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是劣弧 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，且與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不重合，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式7-2．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)接四邊形，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式7-3．（2021·廣西貴港·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在⊙O上，直徑AB＝4，點(diǎn)C是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱的點(diǎn)為E，若∠DCE＝100°，則弦CE的長(zhǎng)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．1
變式7-4．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O內(nèi)接四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________ SKIPIF 1 < 0 ．
變式7-5．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ADC=130°，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為___________．
變式7-6．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)是________（結(jié)果保留 SKIPIF 1 < 0 ）
變式7-7．（2021·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外接圓，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上， SKIPIF 1 < 0 的平分線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切線與 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)．
變式7-8（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰銳角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 于D，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的外接圓于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 于F， SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．
（1）判斷 SKIPIF 1 < 0 是否平分 SKIPIF 1 < 0 ，并說明理由；
（2）求證：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ．

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