【知識要點】
矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
2）矩形的四個角都是直角；
3）對角線互相平分且相等；
4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。矩形的對稱中心是矩形對角線的交點；矩形有兩條對稱軸，矩形的對稱軸是過矩形對邊中點的直線；矩形的對稱軸過矩形的對稱中心。
【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半。
2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半。
矩形的判定：1) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
2）對角線相等的平行四邊形是矩形；
3）有三個角是直角的四邊形是矩形。
矩形的面積公式： 面積=長×寬
考查題型一 利用矩形的性質(zhì)求解
典例1．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A．28°B．56°C．36°D．62°
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF∥GH，過點C作CA∥EF，利用平行線的性質(zhì)得出∠2=∠MCA，∠1=CAN，然后代入求解即可．
【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，
∵四邊形EGHF為矩形，
∴EF∥GH，
過點C作CA∥EF，
∴CA∥EF∥GH，
∴∠2=∠MCA，∠1=∠NCA，
∵∠1=28°，∠MCN=90°，
∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，
故選：D．
【點睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角度的計算等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．
變式1-1．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E，當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為（ ）
A．27°B．53°C．57°D．63°
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代換求出∠EAB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AED．
【詳解】解：如圖所示：
∵AE//BF，
∴∠EAB=∠ABF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠ABC=90°，
∴∠ABF+27°=90°，
∴∠ABF=63°，
∴∠EAB=63°，
∵AB//CD，
∴∠AED=∠EAB=63°．
故選：D．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有； ②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．
變式1-2．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）兩個矩形的位置如圖所示，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】用三角形外角性質(zhì)得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定義得到∠2=90°-∠3=180°-α．
【詳解】解：如圖，∠3=∠1-90°=α-90°，
∠2=90°-∠3=180°-α．
故選：C．
【點睛】 本題主要考查了矩形，三角形外角，余角，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的角的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，互為余角的定義．
變式1-3．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上的點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上的點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握正確的定義是解題的關(guān)鍵．
變式1-4．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別架在墻體的點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 處，且 SKIPIF 1 < 0 ，側(cè)面四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，若測得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _________ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)等邊對等角可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
變式1-5．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點，以 SKIPIF 1 < 0 為斜邊作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)矩形及等腰三角形的性質(zhì)先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用中點定義及矩形性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，則可求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形與等腰三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
考查題型二 利用矩形的性質(zhì)求線段長
典例2．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，分別以點A和C為圓心，以大于 SKIPIF 1 < 0 的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線 SKIPIF 1 < 0 分別交 SKIPIF 1 < 0 于點E，F(xiàn)，則 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 的長度，在 SKIPIF 1 < 0 中得到 SKIPIF 1 < 0 ，又由題知 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，于是在 SKIPIF 1 < 0 中，利用銳角三角函數(shù)即可求出 SKIPIF 1 < 0 的長．
【詳解】解：設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又由作圖知 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線，勾股定理，掌握定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式2-1（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，分別以A，C為圓心，以大于 SKIPIF 1 < 0 的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，連接AF，若BF＝3，AE＝5，以下結(jié)論錯誤的是（ ）
A．AF＝CFB．∠FAC＝∠EACC．AB＝4D．AC＝2AB
【答案】D
【分析】根據(jù)作圖過程可得， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，再由矩形的性質(zhì)可以證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 再根據(jù)勾股定理可得AB的長，即可判定得出結(jié)論．
【詳解】解：A，根據(jù)作圖過程可得， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，
SKIPIF 1 < 0
故此選項不符合題意．
B，如圖，
由矩形的性質(zhì)可以證明 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，
SKIPIF 1 < 0
故此選項不符合題意．
C， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故此選項不符合題意．
D， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故此選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．
變式2-2．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則D的坐標(biāo)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AB的長，則CD=AB=6，并證明 SKIPIF 1 < 0 軸，同理可得 SKIPIF 1 < 0 軸，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵A（-3，2），B（3，2），
∴AB=6， SKIPIF 1 < 0 軸，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6， SKIPIF 1 < 0 軸，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 軸，
∵點C（3，-1），
∴點D的坐標(biāo)為（-3，-1），
故選D．
【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式2-3．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B、D為圓心，大于 SKIPIF 1 < 0 的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點，作直線PQ，分別與AD、BC交于點M、N，連接BM、DN．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．則四邊形MBND的周長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C．10D．20
【答案】C
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平行線的判定可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)菱形的判定可得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 的值，最后根據(jù)菱形的周長公式即可得．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由作圖過程可知， SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線等知識點，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式2-4．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點E、F分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于點G，過點E作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點H，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角形的中位線求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的判定得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出答案即可．
【詳解】解析： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點E、F分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
變式2-5．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點B和D為圓心，以大于 SKIPIF 1 < 0 BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E和F；②作直線EF分別與DC，DB，AB交于點M，O，N．若DM＝5，CM＝3，則MN＝_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】作輔助線 SKIPIF 1 < 0 ，利用垂直平分線的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 的值，OB＝OD，由矩形的性質(zhì)、勾股定理得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，進(jìn)而得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，根據(jù)全等三角形的判定（角邊角）得出△MDO≌△BNO，最后利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接BM．
由作圖可知MN垂直平分線段BD，
∴BM＝DM＝5．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD∥AB．
∴BC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝4．
∴BD＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
∴OB＝OD＝ SKIPIF 1 < 0 ．
∵∠MOD＝90°，
∴OM＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
∵CD∥AB，
∴∠MDO＝∠NBO．
在△MDO和△NBO中，
SKIPIF 1 < 0
∴△MDO≌△BNO（ASA）．
∴OM＝ON＝ SKIPIF 1 < 0 ．
∴MN＝ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，作圖—基本作圖，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等的理解與運(yùn)用能力．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．兩個三角形的兩個角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩三角形全等；兩全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．在一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
變式2-6．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當(dāng)點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．
【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，EF＝CG，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴當(dāng)點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，
由勾股定理得，AG＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝10，
∴AF+CE的最小值為10，
故答案為：10．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當(dāng)A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．
變式2-7．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，對角線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點，點 SKIPIF 1 < 0 在對角線 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##2.5
【分析】由矩形的性質(zhì)可得點F是OA的中點，從而EF是△AOD的中位線，則由三角形中位線定理即可求得EF的長．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴BD=AC=10，OA= SKIPIF 1 < 0 AC，OD= SKIPIF 1 < 0 BD=5，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即點F是OA的中點．
∵點 SKIPIF 1 < 0 是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點，
∴EF是△AOD的中位線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，掌握中位線定理是本題的關(guān)鍵．
變式2-8．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，E為 SKIPIF 1 < 0 的中點，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點E作 SKIPIF 1 < 0 的垂線交 SKIPIF 1 < 0 于點F，交CD的延長線于點G，連接CF．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由題意，先證明△AEF≌△DEG，則EF=EG， SKIPIF 1 < 0 ，利用等腰三角形的性質(zhì)，求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后得到AB=CD= SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的長度，即可求出FE的長度．
【詳解】解：根據(jù)題意，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，則
AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，
∵E為 SKIPIF 1 < 0 的中點，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴EF=EG， SKIPIF 1 < 0 ；
∵CE⊥FG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB=CD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在直角△BCF中，由勾股定理則
SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD=3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在直角△AEF中，由勾股定理則
SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確得到 SKIPIF 1 < 0 ．
變式2-9．（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以點B為圓心、BC的長為半徑畫弧交AD于點E，再分別以點C，E為圓心、大于 SKIPIF 1 < 0 CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線BF交CD于點G，則CG的長為__________________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)作圖過程可得BF是∠EBC的平分線，然后證明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的長．
【詳解】解：如圖，連接EG，
根據(jù)作圖過程可知：BF是∠EBC的平分線，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝ SKIPIF 1 < 0 ＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，
∴EG2﹣DE2＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，
解得CG＝ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，作圖-基本作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．
變式2-10．（2021·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【答案】（1）見詳解；（2）4 SKIPIF 1 < 0 -8
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得∠D=90°，AB∥CD，從而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 以及勾股定理得AN=DM=4，AB= SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）證明：∵在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS），
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AN=DM=4，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB= SKIPIF 1 < 0 ，
∴矩形 SKIPIF 1 < 0 的面積= SKIPIF 1 < 0 ×2=4 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積=4 SKIPIF 1 < 0 -4-4=4 SKIPIF 1 < 0 -8．
【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握AAS證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．
考查題型三 利用矩形的性質(zhì)求面積
典例3．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）一個垃圾填埋場，它在地面上的形狀為長 SKIPIF 1 < 0 ，寬 SKIPIF 1 < 0 的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了 SKIPIF 1 < 0 ，則該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知受污染土地由兩類長分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，寬分別為 SKIPIF 1 < 0 的矩形，及四個能組成一個以半徑為 SKIPIF 1 < 0 的圓組成，求出面積和即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可知受污染土地由兩類長分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，寬分別為 SKIPIF 1 < 0 的矩形，及四個能組成一個以半徑為 SKIPIF 1 < 0 的圓組成，
SKIPIF 1 < 0 面積為： SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B．
【點睛】本題考查了矩形的面積，圓的面積的求法，解題的關(guān)鍵是讀懂題目，明確所求的面積的組成部分為哪些．
變式3-1．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）已知矩形的一邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，一條對角線的長為 SKIPIF 1 < 0 ，則矩形的面積為_________ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】48
【分析】如圖，先根據(jù)勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 求解即可．
【詳解】解：在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 (cm)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：48．
【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知上述知識．
變式3-2．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均為矩形，點 SKIPIF 1 < 0 分別在線段 SKIPIF 1 < 0 上．若 SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，則圖中陰影部分的面積為___________ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)和矩形周長，得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)列出代數(shù)式 SKIPIF 1 < 0 即可求解陰影部分面積．
【詳解】∵矩形 SKIPIF 1 < 0 的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，和列代數(shù)式及整式的化簡，關(guān)鍵是讀懂題目，列出代數(shù)式．
變式3-3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以B為圓心， SKIPIF 1 < 0 的長為半徑畫弧，交 SKIPIF 1 < 0 于點E．則圖中陰影部分的面積為_________．（結(jié)果保留 SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)扇形的面積公式求解即可．
【詳解】解：∵矩形 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 以B為圓心， SKIPIF 1 < 0 的長為半輕畫弧，交 SKIPIF 1 < 0 于點E， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
S陰影 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了由特殊角的三角函數(shù)值求角度數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計算，綜合掌握以上知識點并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
變式3-4．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上一點，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面積是 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的面積是______．
【答案】27
【分析】根據(jù)矩形 SKIPIF 1 < 0 的性質(zhì)，很容易證明 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，相似三角形之比等于對應(yīng)邊比的平方，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，學(xué)生要靈活應(yīng)用．掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
變式3-5．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長 SKIPIF 1 < 0 ）和 SKIPIF 1 < 0 長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：
(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度 SKIPIF 1 < 0 的水池且需保證總種植面積為 SKIPIF 1 < 0 ，試分別確定 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的長；
(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問 SKIPIF 1 < 0 應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？
【答案】(1)CG長為8m，DG長為4m
(2)當(dāng)BC= SKIPIF 1 < 0 m時，圍成的兩塊矩形總種植面積最大= SKIPIF 1 < 0 m2
【分析】（1）兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；
（2）設(shè)兩塊矩形總種植面積為y， BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點式即可 .
【詳解】（1）解：兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，
兩塊矩形總種植面積=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- SKIPIF 1 < 0 )2+ SKIPIF 1 < 0
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴當(dāng)BC= SKIPIF 1 < 0 m時，y最大= SKIPIF 1 < 0 m2．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程．
考查題型四 利用矩形的性質(zhì)證明
典例4（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個矩形的長乘寬，小明想用其驗證一個底為a，高為h的三角形的面積公式為 SKIPIF 1 < 0 ．想法是：以 SKIPIF 1 < 0 為邊作矩形 SKIPIF 1 < 0 ，點A在邊 SKIPIF 1 < 0 上，再過點A作 SKIPIF 1 < 0 的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來得到驗證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過點A作 SKIPIF 1 < 0 的垂線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點D．（只保留作圖痕跡）
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴______①____．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴______②_____．
又∵_(dá)___③______．
∴ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
同理可得：_____④______．
SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】圖見解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE
【分析】根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可，利用垂直的定義得到∠ADC=∠F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，即可證明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，AD即為所求，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ADC=∠F．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠1=∠2．
又∵AC=AC．
∴ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
同理可得：△ABD≌△BAE．
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
變式4-1．（2022·山西·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線．
(1)實踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點O，交邊AD于點E，交邊BC于點F（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母），
(2)猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【答案】(1)作圖見解析
(2) SKIPIF 1 < 0 ，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的尺規(guī)作圖的畫法，分別以A、C為圓心，以大于 SKIPIF 1 < 0 AC的長為半徑畫弧，交于兩點，過兩點作直線即可得到線段AC的垂直平分線．
（2）利用矩形及垂直平分線的性質(zhì)，可以證得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ．證明如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵EF為AC的垂直平分線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖的畫法、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．
變式4-2（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）如圖:
(1)將兩張長為8，寬為4的矩形紙片如圖1疊放．
①判斷四邊形AGCH的形狀，并說明理由；
②求四邊形AGCH的面積．
(2)如圖2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，BC＝7，CF＝ SKIPIF 1 < 0 ，求四邊形AGCH的面積．
【答案】(1)①菱形，理由見解析；②20
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；②設(shè)AH=CG=x，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題；
（2）兩個矩形的對角線相等，可得出EC的長，設(shè)AH=CG=x，利用勾股定理以及邊長之間的關(guān)系可得出x的值，進(jìn)而可求出面積．
（1）
①∵四邊形ABCD，四邊形AECF都是矩形
∴ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形AHCG為平行四邊形
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形AHCG為菱形；
②設(shè)AH=CG=x，則DH=AD-AH=8-x
在 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴四邊形AHCG的面積為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
由圖可得矩形ABCD和矩形AFCE對角線相等
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
設(shè)AH=CG=x則HD=7-x
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∵EC=EH+CH=8
∴x=3
∴四邊形AGCH的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
考查題型五 矩形折疊問題
典例5．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．48°B．66°C．72°D．78°
【答案】C
【分析】由折疊及矩形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)周角的定義求解即可．
【詳解】∵將一矩形紙片沿AB折疊，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
變式5-1．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片 SKIPIF 1 < 0 中，E為 SKIPIF 1 < 0 的中點，連接 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折疊得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長是（ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】連接BF交AE于點G，根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG= SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)E為BC中點，可證BE=CE=EF，通過等邊對等角可證明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函數(shù)（或相似）求出BF，則根據(jù) SKIPIF 1 < 0 計算即可．
【詳解】連接BF，與AE相交于點G，如圖，
∵將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折疊得到 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于AE對稱
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG= SKIPIF 1 < 0
∵點E是BC中點
∴BE=CE=DF= SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC= SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故選 D
【點睛】本題考查了折疊對稱的性質(zhì)，熟練運(yùn)用對稱性質(zhì)證明相關(guān)線段相等是解題的關(guān)鍵．
變式5-2．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 沿BD折疊到 SKIPIF 1 < 0 位置，DE交AB于點F，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3， SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)折疊可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在△AFD和△EFB中 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明 SKIPIF 1 < 0 ，是解題的關(guān)鍵．
變式5-3．（2022·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，點M在 SKIPIF 1 < 0 邊上，把 SKIPIF 1 < 0 沿直線 SKIPIF 1 < 0 折疊，使點B落在 SKIPIF 1 < 0 邊上的點E處，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為F，若 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE= SKIPIF 1 < 0 ，從而可得AD=BC= SKIPIF 1 < 0 ，最后求得AE的長．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把 SKIPIF 1 < 0 沿直線 SKIPIF 1 < 0 折疊，使點B落在 SKIPIF 1 < 0 邊上的點E處，
∴BC=EC，
在△BFC與△CDE中，
SKIPIF 1 < 0
∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴DE=CF=2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD=BC=CE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AE=AD-DE= SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形中的折疊問題．
變式5-4．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD的兩個直角進(jìn)行折疊，使CB，AD恰好落在對角線AC上，B′，D′分別是B，D的對應(yīng)點，折痕分別為CF，AE．若AB＝4，BC＝3，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】D
【分析】先利用矩形的性質(zhì)與勾股定理求解 SKIPIF 1 < 0 再利用軸對稱的性質(zhì)求解 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得答案.
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 矩形紙片ABCD，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由折疊可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
同理： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故選： SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.
變式5-5．（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點A、B在坐標(biāo)軸上，點C的坐標(biāo)是(﹣10，8)，點D在AC上，將 SKIPIF 1 < 0 BCD沿BD翻折，點C恰好落在OA邊上點E處，則tan∠DBE等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折疊的性質(zhì)得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的長，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折疊的性質(zhì)可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
在直角三角形ADE中： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠DEB=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選D.
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.
變式5-6（2022·山東濰坊·中考真題）小瑩按照如圖所示的步驟折疊A4紙，折完后，發(fā)現(xiàn)折痕AB′與A4紙的長邊AB恰好重合，那么A4紙的長AB與寬AD的比值為___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】判定△AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′= SKIPIF 1 < 0 AD，再根據(jù)AB′= AB，再計算即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠DAB=90°，
由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，
∴△AB′D′是等腰直角三角形，
∴AD=AD′= B′D′，
由勾股定理得AB′= SKIPIF 1 < 0 AD，
又由操作二可知：AB′=AB，
∴ SKIPIF 1 < 0 AD=AB，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴A4紙的長AB與寬AD的比值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及折疊變換的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
變式5-7．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點E在BC邊上，將 SKIPIF 1 < 0 沿DE翻折得到 SKIPIF 1 < 0 ，點F落在AE上．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______cm．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性質(zhì)得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，從而得AF=6cm，AD=AE=9cm，進(jìn)而由勾股定理既可以求解。
【詳解】解：∵將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點F落在AE上， SKIPIF 1 < 0 ，四邊形ABCD是矩形，
∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DF， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，
∴AD=AE=9cm，
∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2
∴62+DF2=92，
∴DF= SKIPIF 1 < 0 (cm)，
AB=DF= SKIPIF 1 < 0 (cm)，
故答案為∶ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理及軸對稱，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式5-8．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用矩形與軸對稱的性質(zhì)先證明 SKIPIF 1 < 0 再利用勾股定理求解 SKIPIF 1 < 0 再利用三角形的面積公式可得答案．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 把一張矩形紙片沿對角線折疊，BC＝9，CD＝3，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，證明 SKIPIF 1 < 0 是解本題的關(guān)鍵．
變式5-9．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處．若點E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．設(shè)BE=EF=x，則AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根據(jù)勾股定理，建立方程，解方程即可求解．
【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，
由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，
∵∠D=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 BE=EF=x，則AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，在直角三角形AEF中運(yùn)用勾股定理建立方程求解是關(guān)鍵．
變式5-10．（2021·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是對角線 SKIPIF 1 < 0 的中點，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上，把 SKIPIF 1 < 0 沿直線 SKIPIF 1 < 0 折疊，使點 SKIPIF 1 < 0 落在對角線 SKIPIF 1 < 0 上的點 SKIPIF 1 < 0 處，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _____度．
【答案】18
【分析】連接MD，設(shè)∠DAF=x，利用折疊與等腰三角形的性質(zhì)，用x的代數(shù)式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可．
【詳解】連接MD，設(shè)∠DAF=x
根據(jù)矩形的基本性質(zhì)可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90°
∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x
∴∠DMF=2x
∵△DCE折疊得到△DFE
∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE
又MF=AB
∴MF=DF
∴∠MDF=2x
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90°
∴∠CDE=∠ACD=x
∴∠FDE=∠CDE=x
∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90°
∴x=18°
故∠DAF=18°
故答案為18．
【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，能夠做出合適的輔助線用∠DAF表示出∠ADC是解題關(guān)鍵．
變式5-11．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片 SKIPIF 1 < 0 折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)證明見解析
(2) SKIPIF 1 < 0 cm
【分析】（1）利用ASA證明即可；
（2）過點E作EG⊥BC交于點G，求出FG的長，設(shè)AE=xcm，用x表示出DE的長，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
（1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 （ASA）；
（2）
如圖，過點E作EG⊥BC交于點G，
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴ SKIPIF 1 < 0 cm,
設(shè)AE=xcm，
∴EP=xcm，
由 SKIPIF 1 < 0 知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中， SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC=BG+GC= SKIPIF 1 < 0 (cm）．
【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
變式5-12．（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點F．
(1)求證：△CEF≌△ADF；
(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
【答案】(1)證明見解析
(2)tan∠DAF＝ SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代換得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；
（2）設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，
在△CEF與△ADF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△CEF≌△ADF（AAS）；
（2）解：設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝x，
∴∠DCA＝∠BAC，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠EAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AF＝CF＝8﹣a，
在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴x2+a2＝（8﹣a）2，
∴a＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴tan∠DAF＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出AF＝CF是解題的關(guān)鍵．
考查題型六 添加一個條件判定矩形
典例6．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在下列條件中，能夠判定 SKIPIF 1 < 0 為矩形的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的判定定理逐項判斷即可．
【詳解】當(dāng)AB=AC時，不能說明 SKIPIF 1 < 0 是矩形，所以A不符合題意；
當(dāng)AC⊥BD時， SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以B不符合題意；
當(dāng)AB=AD時， SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以C不符合題意；
當(dāng)AC=BD時， SKIPIF 1 < 0 是矩形，所以D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形．
變式6-1．（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（ ）
A．∠A=∠BB．∠A=∠CC．AC=BDD．AB⊥BC
【答案】B
【分析】由矩形的判定方法依次判斷即可得出結(jié)果．
【詳解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定這個平行四邊形為矩形，不符合題意；
B、∠A=∠C不能判定這個平行四邊形為矩形，符合題意；
C、AC=BD，對角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故不符合題意；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定這個平行四邊形為矩形，不符合題意，
故選B．
【點睛】本題考查了矩形的判定，熟練掌握“有一個角是直角的平行四邊形是矩形、對角線相等的平行四邊形是矩形、有三個角是直角的四邊形是矩形”是解題的關(guān)鍵．
變式6-2．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形 SKIPIF 1 < 0 成為一個矩形，只需添加的一個條件是_______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【分析】】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】解：需添加的一個條件是∠A=90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵∠A=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
故答案為：∠A=90°（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式6-3．（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，從① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 中選擇一個作為條件，補(bǔ)充后使四邊形 SKIPIF 1 < 0 成為菱形，則其選擇是___（限填序號）．
【答案】①
【分析】根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：① SKIPIF 1 < 0 時，平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；
② SKIPIF 1 < 0 時，平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；
③由平行四邊形的性質(zhì)可知， SKIPIF 1 < 0 ，則不能作為構(gòu)成菱形的條件；
故答案為：①．
【點睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．
變式6-4．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，對角線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件______________，使平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)矩形的判定方法即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，四邊形ABCD為矩形．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了矩形的判定，熟記矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
考查題型七 矩形的證明
典例7．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點P從點D出發(fā)，以1cm/s的速度向點A運(yùn)動，點M從點B同時出發(fā)，以相同的速度向點C運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)端點時，兩個動點同時停止運(yùn)動．設(shè)點P的運(yùn)動時間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，四邊形ABMP為矩形
B．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，四邊形CDPM為平行四邊形
C．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0
D．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 或6s
【答案】D
【分析】計算AP和BM的長，得到AP≠BM，判斷選項A；計算PD和CM的長，得到PD≠CM，判斷選項B；按PM=CD，且PM與CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分類討論判斷選項C和D．
【詳解】解：由題意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，則四邊形ABMP不是矩形，該選項不符合題意；
B、當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，則四邊形CDPM不是平行四邊形，該選項不符合題意；
作CE⊥AD于點E，則∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
當(dāng)PM=CD，且PM與CD不平行時，作MF⊥AD于點F，CE⊥AD于點E，
∴四邊形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
當(dāng)PM=CD，且PM∥CD時，
∴四邊形CDPM是平行四邊形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；
綜上，當(dāng)PM=CD時，t=4s或6s；選項C不符合題意；選項D符合題意；
故選：D．
【點睛】此題重點考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，應(yīng)注意分類討論，求出所有符合條件的t的值．
變式7-1．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，D、E、F分別是 SKIPIF 1 < 0 各邊中點，則以下說法錯誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面積相等
B．四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形
【答案】C
【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形、菱形、矩形的判定定理逐一判斷各個選項，即可得到答案．
【詳解】解： ∵點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，
∴DE、DF為△ABC得中位線，
∴ED∥AC，且ED＝ SKIPIF 1 < 0 AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝AE，
∴四邊形AEDF一定是平行四邊形，故B正確；
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面積相等，故A正確；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DF＝ SKIPIF 1 < 0 AB=AE，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 不一定是菱形，故C錯誤；
∵∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形，故D正確；
故選：C．
【點睛】本題考查三角形中位線性質(zhì)定理和平行四邊形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握上述性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．
變式7-2．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E是AD的中點，連接OE，過點D作DF∥AC交OE的延長線于點F，連接AF．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)判定四邊形AODF的形狀并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形AODF為矩形，理由見解析
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可；
（2）先證明四邊形AODF為平行四邊形，再結(jié)合∠AOD=90°，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD=∠ADF，
∵∠AEO=∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）；
（2）解：四邊形AODF為矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO=DF，
∵DF∥AC，
∴四邊形AODF為平行四邊形，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD=90°，
∴平行四邊形AODF為矩形．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
變式7-3．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為何值時，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形？請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，理由見解析
【分析】（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)線段中點的定義可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得證；
（2）先根據(jù)矩形的判定可得當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，再根據(jù)線段中點的定義、平行四邊形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可得出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【詳解】（1）證明：如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：由（1）已證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
要使平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等知識點，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式7-4．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦 SKIPIF 1 < 0 與弦 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點，聯(lián)結(jié) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）聯(lián)結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，由M、N分別是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由 SKIPIF 1 < 0 ， 可得 SKIPIF 1 < 0 ，可證 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì) SKIPIF 1 < 0 ;
（2）設(shè)OG交MN于E，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可證 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由CN∥OG，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得AM∥CN，可證 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，再由 SKIPIF 1 < 0 可證四邊形ACNM是矩形．
【詳解】證明：（1）連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，
∵M(jìn)、N分別是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點，
∴OM，ON為弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ;

（2）設(shè)OG交MN于E，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在△CMN和△ANM中
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵CN∥OG，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴AM∥CN，
SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形ACNM是矩形．
【點睛】本題考查垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定，掌握垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定是解題關(guān)鍵．
考查題型八 矩形性質(zhì)與判定綜合
典例8．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形 SKIPIF 1 < 0 中，點E是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點F，若 SKIPIF 1 < 0 ，則菱形 SKIPIF 1 < 0 的邊長是（ ）
A．3B．4C．5D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】過C作CM⊥AB延長線于M，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由菱形的性質(zhì)表示出BC=4x，BM=3x，根據(jù)勾股定理列方程計算即可．
【詳解】過C作CM⊥AB延長線于M，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴設(shè) SKIPIF 1 < 0
∵點E是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點
∴ SKIPIF 1 < 0
∵菱形 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，CE∥AB
∵ SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，CM⊥AB
∴四邊形EFMC是矩形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴BM=3x
在Rt△BCM中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
∴ SKIPIF 1 < 0
故選：B．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于熟悉各個知識點在本題的靈活運(yùn)用．屬于拔高題．
變式8-1．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（ ）
A．24B．22C．20D．18
【答案】B
【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進(jìn)而可求解．
【詳解】∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M(jìn)是BC的中點，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴當(dāng)GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四邊形ACGH為矩形，
∴GH＝8，
∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，
故選：B．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，確定GH的值是解題的關(guān)鍵．
變式8-2．（2022·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰△ABC的面積為2 SKIPIF 1 < 0 ，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE= SKIPIF 1 < 0 BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當(dāng)點P從A點運(yùn)動到B點時，點M的運(yùn)動路徑長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
【分析】當(dāng)P與A重合時，點F與C重合，此時點M在N處，當(dāng)點P與B重合時，如圖，點M的運(yùn)動軌跡是線段MN．求出CF的長即可解決問題．
【詳解】解：過點A作AD⊥BC于點D，連接CE，
∵AB=AC，
∴BD=DC= SKIPIF 1 < 0 BC=1，
∵AE= SKIPIF 1 < 0 BC，
∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，
∴四邊形AECD是矩形，
∴S△ABC= SKIPIF 1 < 0 BC×AD= SKIPIF 1 < 0 ×2×AD=2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD=2 SKIPIF 1 < 0 ，則CE=AD=2 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)P與A重合時，點F與C重合，此時點M在CE的中點N處，
當(dāng)點P與B重合時，如圖，點M的運(yùn)動軌跡是線段MN．
∵BC=2，CE=2 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得BE=4，
cs∠EBC= SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BF=8，
∴CF=BF-BC=6,
∵點N是CE的中點，點M是EF的中點，
∴MN= SKIPIF 1 < 0 CF=3，
∴點M的運(yùn)動路徑長為3，
故選：B．
【點睛】本題考查點的軌跡、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點M的運(yùn)動軌跡，學(xué)會利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．
變式8-3．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，線段 SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 上左右滑動；若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四邊形EFCH是平行四邊形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．
變式8-4．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的黃金分割點，即 SKIPIF 1 < 0 ．延長 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________ SKIPIF 1 < 0 .（精確到0.001）

【答案】0.618
【分析】設(shè)每個矩形的長為x，寬為y，則DE＝AD－AE＝x－y，四邊形EFGM是矩形，則EG＝MF＝y(tǒng)，由 SKIPIF 1 < 0 得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，進(jìn)一步求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，設(shè)每個矩形的長為x，寬為y，則DE＝AD－AE＝x－y，
由題意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四邊形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y(tǒng)，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴EG≈0.618DE．
故答案為：0.618．
【點睛】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、分式的化簡、等式的基本性質(zhì)、二元一次方程等知識，求得y≈0.382x是解題的關(guān)鍵．

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