【知識(shí)要點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)一 冪的運(yùn)算
同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。 SKIPIF 1 < 0 （其中m、n為正整數(shù)）
【注意事項(xiàng)】
1）當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí),先用同底數(shù)冪乘法法則計(jì)算，再根據(jù)指數(shù)的奇偶來確定結(jié)果的正負(fù)，并且化簡到底。
2）不能疏忽指數(shù)為1的情況。例：a·a2＝a1＋2＝a3
3）乘數(shù)a可能是有理數(shù)、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。
4）如果底數(shù)互為相反數(shù)時(shí)可先變成同底后再運(yùn)算。
5）逆用公式： SKIPIF 1 < 0 （m,n都是正整數(shù)）
【擴(kuò)展】三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)， 即 SKIPIF 1 < 0 （m，n，p都是正整數(shù)）
考查題型一 同底數(shù)冪的乘法
典例1．（2022·浙江嘉興·中考真題）計(jì)算a2·a（ ）
A．a(chǎn)B．3aC．2a2D．a(chǎn)3
【詳解】解： 故選D
變式1-1．（2022·河南·中考真題）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆．”說明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億＝1萬×1萬，1兆＝1萬×1萬×1億，則1兆等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】∵1兆＝1萬×1萬×1億，∴1兆＝，故選：C．
變式1-2．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若 SKIPIF 1 < 0 ，則m的值為（ ）
A．8B．6C．5D．2
【詳解】，，故選：B．
變式1-3．（2022·湖南邵陽·中考真題）5月29日騰訊新聞報(bào)道，2022年第一季度，湖南全省地區(qū)生產(chǎn)總值約為11000億元，11000億用科學(xué)記數(shù)法可表示為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．0.11B．1.1C．11D．11000
【詳解】解：因?yàn)?億=108，所以11000億用科學(xué)記數(shù)法表示為1.1×104×108=1.1×1012．
故選：B．
冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘. SKIPIF 1 < 0 (其中m，n都是正整數(shù)).
【注意事項(xiàng)】
1）負(fù)號(hào)在括號(hào)內(nèi)時(shí),偶次方結(jié)果為正,奇次方為負(fù),負(fù)號(hào)在括號(hào)外結(jié)果都為負(fù)。
2）逆用公式： SKIPIF 1 < 0
【擴(kuò)展】 SKIPIF 1 < 0 (m，n，p均為正整數(shù))
考查題型二 冪的乘方
典例2．（2022·山東泰安·中考真題）計(jì)算（a3）2?a3的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn)8B．a(chǎn)9C．a(chǎn)10D．a(chǎn)11
【詳解】(a3)2?a3= SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ，故選：B．
變式2-1．（2022·四川成都·中考真題）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ______．
【詳解】解：；故答案為 SKIPIF 1 < 0 ．
變式2-2．（2021·四川瀘州·中考真題）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解: ∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故選：C．
變式2-3．（2020·河北·中考真題）若 SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，故選A．
積的乘方：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。 SKIPIF 1 < 0 (其中n是正整數(shù))。
【注意事項(xiàng)】逆用公式： SKIPIF 1 < 0
【擴(kuò)展】 SKIPIF 1 < 0 (n為正整數(shù))
考查題型三 積的乘方
典例3．（2022·湖北武漢·中考真題）計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 的結(jié)果是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 .故答案為B．
變式3-1．（2022·福建·中考真題）化簡 SKIPIF 1 < 0 的結(jié)果是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，故選：C．
變式3-2．（2022·貴州黔西·中考真題）計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 = 故選：C．
同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)減。
SKIPIF 1 < 0 （a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m＞n）
【注意事項(xiàng)】
1）0不能做除數(shù)的底數(shù)。
2）運(yùn)用同底數(shù)冪除法法則關(guān)鍵：看底數(shù)是否相同，而指數(shù)相減是指被除式的指數(shù)減去除式的指數(shù)。
3）注意指數(shù)為1的情況，如x8÷x=x7 ，計(jì)算時(shí)候容易遺漏將除數(shù)x的指數(shù)忽略。
4）逆用公式: SKIPIF 1 < 0 （a≠0，m、n都是正整數(shù)，并且m＞n）
【擴(kuò)展】當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì).即： SKIPIF 1 < 0 （a≠0，m、n、p都是正整數(shù)，并且m＞n＞p），但計(jì)算時(shí)要按照順序計(jì)算。
零指數(shù)冪：任何不等于零的數(shù)的0指數(shù)冪都等于l。a0＝1（a≠0）
負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：任何不等于零的數(shù)的-n（n為正整數(shù)）次冪，等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù)，
即 SKIPIF 1 < 0 （a≠0，n是正整數(shù)）.
【注意】：
1）a可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式。例如： SKIPIF 1 < 0 。
2）引進(jìn)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴(kuò)大到了全體整數(shù)，所學(xué)的冪的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立。
① SKIPIF 1 < 0 (其中m，n為整數(shù)，a≠0);
② SKIPIF 1 < 0 (其中m，n為整數(shù)，a≠0);
③ SKIPIF 1 < 0 (其中n為整數(shù)，a≠0，b≠0)。
考查題型四 同底數(shù)冪的除法
典例4．（2022·河北·中考真題）計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，則“？”是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，則“？”是2，故選：C．
變式4-1．（2022·湖南益陽·中考真題）下列各式中，運(yùn)算結(jié)果等于a2的是（ ）
A．a(chǎn)3﹣aB．a(chǎn)+aC．a(chǎn)?aD．a(chǎn)6÷a3
【詳解】A、∵a3﹣a不是同類項(xiàng)，不能進(jìn)行合并運(yùn)算，∴選項(xiàng)A不符合題意；
B、∵a+a＝2a，∴選項(xiàng)B不符合題意；
C、∵a?a＝a2，∴選項(xiàng)C符合題意；
D、∵a6÷a3＝a3，∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．
變式4-2．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）掌握地震知識(shí)，提升防震意識(shí)．根據(jù)里氏震級(jí)的定義，地震所釋放出的能量 SKIPIF 1 < 0 與震級(jí) SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 為大于0的常數(shù)），那么震級(jí)為8級(jí)的地震所釋放的能量是震級(jí)為6級(jí)的地震所釋放能量的________倍．
【詳解】解：根據(jù)能量 SKIPIF 1 < 0 與震級(jí) SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 為大于0的常數(shù)）可得到，當(dāng)震級(jí)為8級(jí)的地震所釋放的能量為： SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)震級(jí)為6級(jí)的地震所釋放的能量為： SKIPIF 1 < 0 ，，
SKIPIF 1 < 0 震級(jí)為8級(jí)的地震所釋放的能量是震級(jí)為6級(jí)的地震所釋放能量的1000倍．
故答案為：1000．
變式4-3．（2022·江蘇常州·中考真題）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 _______．
【詳解】解：．故答案為：．
考查題型五 冪的混合運(yùn)算
典例5．（2022·安徽·中考真題）下列各式中，計(jì)算結(jié)果等于 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】A． SKIPIF 1 < 0 ，不是同類項(xiàng)，不能合并在一起，故選項(xiàng)A不合題意；B． SKIPIF 1 < 0 ，符合題意；
C． SKIPIF 1 < 0 ，不是同類項(xiàng)，不能合并在一起，故選項(xiàng)C不合題意；
D． SKIPIF 1 < 0 ，不符合題意，故選B
變式5-1．（2022·浙江寧波·中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：A選項(xiàng)，a3與a不是同類項(xiàng)，不能合并，故該選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)，原式=a4，故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，原式=a6，故該選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)，原式=a4，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．
變式5-2．（2022·四川遂寧·中考真題）下列計(jì)算中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】A. SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)符合題意；
C. SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．
變式5-3．（2022·湖南株洲·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
B、 SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、 SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A
變式5-4．（2022·遼寧錦州·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：A． SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)不合題意；
B． SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)符合題意；
C． SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)不合題意；
D． SKIPIF 1 < 0 ，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．
變式5-5．（2022·湖北宜昌·中考真題）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算正確，不符合題意；
B、 SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算正確，不符合題意；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算正確，不符合題意；
D、 SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算錯(cuò)誤，符合題意；故選D．
知識(shí)點(diǎn)二 整式乘除
單項(xiàng)式×單項(xiàng)式
單項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．
單項(xiàng)式乘法易錯(cuò)點(diǎn)：
【注意】
1）單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用。
2）單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的結(jié)果仍是單項(xiàng)式。
3）運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘法。
考查題型六 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式
典例6．（2022·浙江溫州·中考真題）化簡 SKIPIF 1 < 0 的結(jié)果是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，故選：D．
變式6-1．（2022·陜西·中考真題）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ．故選：C．
變式6-2．（2022·湖南常德·中考真題）計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 的結(jié)果是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，故C正確．故選：C．
單項(xiàng)式×多項(xiàng)式
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加
【注意事項(xiàng)】
1）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的結(jié)果是多項(xiàng)式，積的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。
2）單項(xiàng)式分別與多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘時(shí)，要注意積的各項(xiàng)符號(hào)。（同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù)）
例： SKIPIF 1 < 0
3）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果。
考查題型七 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
典例7．（2022·山東臨沂·中考真題）計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 的結(jié)果是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故選B
變式7-1．（2022·浙江麗水·中考真題）先化簡，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
變式7-2．（2022·吉林·中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中 SKIPIF 1 < 0 是關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的多項(xiàng)式．請(qǐng)寫出多項(xiàng)式 SKIPIF 1 < 0 ，并將該例題的解答過程補(bǔ)充完整．
【詳解】解：觀察第一步可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
將該例題的解答過程補(bǔ)充完整如下： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
多項(xiàng)式×多項(xiàng)式
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．
【注意事項(xiàng)】
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都應(yīng)該帶上它前面的正負(fù)號(hào)。多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和，每一項(xiàng)都包括前面的符號(hào)，在計(jì)算時(shí)一定要注意確定各項(xiàng)的符號(hào)。
考查題型八 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
典例8．（2022·四川南充·中考真題）先化簡，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：原式= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)x= SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式= SKIPIF 1 < 0 =3+1- SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 ．
變式8-1．（2020·廣西賀州·中考真題）我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，1，2，3，…）展開式系數(shù)的規(guī)律：
以上系數(shù)三角表稱為“楊輝三角”，根據(jù)上述規(guī)律， SKIPIF 1 < 0 展開式的系數(shù)和是（ ）
A．64B．128C．256D．612
【詳解】解：由“楊輝三角”的規(guī)律可知，
SKIPIF 1 < 0 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，
SKIPIF 1 < 0 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為2，
SKIPIF 1 < 0 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為4，
SKIPIF 1 < 0 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為8，
……
SKIPIF 1 < 0 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為 SKIPIF 1 < 0 ．故選：C．
單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式
單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。
多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式
多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。
【解題思路】
多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問題轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問題解決。
考查題型九 多項(xiàng)式/單項(xiàng)式除單項(xiàng)式
典例9．（2022·浙江紹興·中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，原式計(jì)算正確；
B、 SKIPIF 1 < 0 ，原式計(jì)算錯(cuò)誤；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，原式計(jì)算錯(cuò)誤；
D、 SKIPIF 1 < 0 ，原式計(jì)算錯(cuò)誤；故選：A．
變式9-1．（2022·遼寧盤錦·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．2m+2n＝2m+nB．3﹣2＝﹣9
C．（2x）3＝8x3D．10b6÷2b2＝5b3
【詳解】解：A、2m與2n不是同類項(xiàng)，不能合并，不合題意；B、原式＝ SKIPIF 1 < 0 ，不合題意；C、原式＝8x3，符合題意；D、原式＝5b4，不合題意；故選：C．
變式9-2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：A中 SKIPIF 1 < 0 ，正確，故符合題意；
B中 SKIPIF 1 < 0 ，錯(cuò)誤，故不符合題意；
C中 SKIPIF 1 < 0 ，錯(cuò)誤，故不符合題意；
D中 SKIPIF 1 < 0 ，錯(cuò)誤，故不符合題意；故選A．
知識(shí)點(diǎn)三 乘法公式
1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同項(xiàng)的平方減相反項(xiàng)的平方。)
【擴(kuò)展】常見平方差公式的變形
位置變化：如 SKIPIF 1 < 0
系數(shù)變化：如 SKIPIF 1 < 0
指數(shù)變化：如 SKIPIF 1 < 0
符號(hào)變化：如 SKIPIF 1 < 0 （相同項(xiàng)為b,“相反項(xiàng)”為a）
增項(xiàng)變化：如 SKIPIF 1 < 0
增因式變化：如 SKIPIF 1 < 0
【注意事項(xiàng)】
1）對(duì)因式中各項(xiàng)的系數(shù)、符號(hào)要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能運(yùn)用平方差公式。
2）公式中的字母a、b可以是一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式、一個(gè)多項(xiàng)式。所以，當(dāng)這個(gè)字母表示一個(gè)負(fù)數(shù)、分式、多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)加括號(hào)避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯(cuò)誤。
考查題型十 運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算
典例10．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．13B．8C．－3D．5
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故選：A．
變式10-1．（2022·山西·中考真題）化簡 SKIPIF 1 < 0 的結(jié)果是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，故選A．
變式10-2．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）下列運(yùn)算正確的是……（ ）
A．a(chǎn)2+a3=a6B．（ab）2 =ab2
C．（a+b）2=a2+b2D．（a+b）（a-b）=a2 -b2
【詳解】解：A.a2+a3沒有同類項(xiàng)不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；
B.（ab）2 =a2b2，故此選項(xiàng)不符合題意；
C.（a+b）2=a2+2ab+b2，故此選項(xiàng)不符合題意
D.（a+b）（a-b）=a2 -b2，故此選項(xiàng)符合題意 故選：D．
變式10-3．（2022·天津·中考真題）計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 的結(jié)果等于___________．
【詳解】解：，故答案為：18．
變式10-4．（2022·四川廣安·中考真題）已知a+b=1，則代數(shù)式a2﹣b2 +2b+9的值為________．
【詳解】解：a2﹣b2 +2b+9 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
變式10-5．（2022·廣西·中考真題）先化簡，再求值 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 =x2-y2+y2-2y=x2-2y
當(dāng)x=1，y= SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式=12-2× SKIPIF 1 < 0 =0．
變式10-6．（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖，學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地有兩塊邊長分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的正方形秧田 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中不能使用的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)用含 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的代數(shù)式表示 SKIPIF 1 < 0 中能使用的面積___________；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 比 SKIPIF 1 < 0 多出的使用面積．
【詳解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 中能使用的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解： SKIPIF 1 < 0 中能使用的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 比 SKIPIF 1 < 0 多出的使用面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
答： SKIPIF 1 < 0 比 SKIPIF 1 < 0 多出的使用面積為50．
2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【擴(kuò)展】
擴(kuò)展一(公式變化)：
擴(kuò)展二： SKIPIF 1 < 0
擴(kuò)展三： SKIPIF 1 < 0
【補(bǔ)充】：

考查題型十一 運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算
典例11．（2022·江西·中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)符合題意；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．
變式11-1．（2022·江蘇南通·中考真題）已知實(shí)數(shù)m，n滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A．24B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，故選：B．
變式11-2．（2022·廣西·中考真題）如圖，是利用割補(bǔ)法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對(duì)應(yīng)的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】根據(jù)題意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，故選：A．
變式11-3．（2022·甘肅蘭州·中考真題）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：原式= SKIPIF 1 < 0 故選：A．
變式11-4．（2022·四川德陽·中考真題）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，則xy=___．
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =4 =16，∴ SKIPIF 1 < 0 =4.
變式11-5．（2022·四川樂山·中考真題）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
變式11-6．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知 SKIPIF 1 < 0 用“＜”表示 SKIPIF 1 < 0 的大小關(guān)系為________.
【詳解】解：由題意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 與題意 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
變式11-7．（2022·浙江嘉興·中考真題）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時(shí)， SKIPIF 1 < 0 表示的兩位數(shù)是45．
(1)嘗試：
①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100＋25；
②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100＋25；
③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝ ；
……
(2)歸納： SKIPIF 1 < 0 與100a(a＋1)＋25有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．
(3)運(yùn)用：若 SKIPIF 1 < 0 與100a的差為2525，求a的值．
（1）解：①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100＋25；
②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100＋25；
③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：相等，理由如下：
SKIPIF 1 < 0
100a(a＋1)＋25= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 與100a的差為2525， SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 1≤a≤9， SKIPIF 1 < 0
變式11-8．（2022·河北·中考真題）發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．驗(yàn)證：如， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)，請(qǐng)把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．探究：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．
【詳解】證明：驗(yàn)證：10的一半為5， SKIPIF 1 < 0 ；
設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)，
且其一半 SKIPIF 1 < 0 正好是兩個(gè)正整數(shù)m和n的平方和，
∴“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．
變式11-9．（2022·江蘇常州·中考真題）計(jì)算：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
（1） SKIPIF 1 < 0 ＝2﹣1+ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2x+2．
變式11-10．（2022·湖北荊門·中考真題）已知x+ SKIPIF 1 < 0 ＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣ SKIPIF 1 < 0 ）2；(2)x4+ SKIPIF 1 < 0 ．
（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ﹣4x? SKIPIF 1 < 0 ＝32﹣4＝5．
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 +2＝5+2＝7，∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ﹣2＝49﹣2＝47．
變式11-11．（2022·重慶·中考真題）若一個(gè)四位數(shù) SKIPIF 1 < 0 的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是 SKIPIF 1 < 0 去掉個(gè)位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù) SKIPIF 1 < 0 為“勾股和數(shù)”．
例如： SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴2543是“勾股和數(shù)”；
又如： SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴4325不是“勾股和數(shù)”．
(1)判斷2022，5055是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；
(2)一個(gè)“勾股和數(shù)” SKIPIF 1 < 0 的千位數(shù)字為 SKIPIF 1 < 0 ，百位數(shù)字為 SKIPIF 1 < 0 ，十位數(shù)字為 SKIPIF 1 < 0 ，個(gè)位數(shù)字為 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是整數(shù)時(shí)，求出所有滿足條件的 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）解：2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；
理由：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴1022不是“勾股和數(shù)”；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴5055是“勾股和數(shù)”；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 為“勾股和數(shù)”，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 為整數(shù)，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 為整數(shù)，
∴ SKIPIF 1 < 0 為3的倍數(shù)，
∴① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 或8190；
② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 或4563，
綜上，M的值為8109或8190或4536或4563．
整式的混合運(yùn)算
運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面的。
考查題型十二 整式的混合運(yùn)算
典例12．（2022·廣東廣州·中考真題）已知T= SKIPIF 1 < 0
(1)化簡T；
(2)若關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求T的值．
（1）解：T== SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵方程 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，則T= SKIPIF 1 < 0 ．
變式12-1．（2022·湖北襄陽·中考真題）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝ SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ，b＝ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：原式＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
a＝ SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ，b＝ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ，∴原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
變式12-2．（2022·湖南岳陽·中考真題）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求代數(shù)式 SKIPIF 1 < 0 的值．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴原式 SKIPIF 1 < 0 ．
變式12-3．（2022·江蘇鹽城·中考真題）先化簡，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
， SKIPIF 1 < 0 ，原式 SKIPIF 1 < 0
變式12-4．（2022·貴州安順·中考真題）(1)計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)先化簡，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）解：原式===1；
（2）解： ==；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，原式= SKIPIF 1 < 0 ．
知識(shí)點(diǎn)四 因式分解（難點(diǎn)）
概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。
【注意事項(xiàng)】
1）分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；
2）因式分解必須是恒等變形；
3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為。
因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．
因式分解的常用方法：
方法一：提公因式法
1）定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。
2）定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母。
3）定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母最低次冪。
4）查結(jié)果：最后檢查核實(shí)，應(yīng)保證含有多項(xiàng)式的因式中再無公因式。
方法二：公式法
運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
考查題型十三 因式分解
典例13．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做因式分解．
A、右邊不是整式積的形式，故不是因式分解，不符合題意；
B、形式上符合因式分解，但等號(hào)左右不是恒等變形，等號(hào)不成立，不符合題意；
C、符合因式分解的形式，符合題意；
D、從左到右是整式的乘法，從右到左是因式分解，不符合題意；故選C．
變式13-1．（2022·湖南永州·中考真題）下列因式分解正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
B、3a+3b=3(a+b)，選項(xiàng)計(jì)算正確；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
D、 SKIPIF 1 < 0 不能進(jìn)行因式分解，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；故選：B．
變式13-2．（2022·廣西河池·中考真題）多項(xiàng)式 SKIPIF 1 < 0 因式分解的結(jié)果是( )
A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ．故選：D．
變式13-3．（2022·湖北荊門·中考真題）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，則下列關(guān)系式正確的是( )
A．a(chǎn)3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a(chǎn)3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a(chǎn)3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a(chǎn)3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
【詳解】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，將上式中的b用-b替換，整理得：
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故選：A．
變式13-4．（2022·廣西柳州·中考真題）把多項(xiàng)式a2+2a分解因式得（ ）
A．a(chǎn)（a+2）B．a(chǎn)（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）【詳解】故選A
變式13-5．（2022·青海西寧·中考真題）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將 SKIPIF 1 < 0 因式分解．
【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式 SKIPIF 1 < 0
解法二：原式 SKIPIF 1 < 0
【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
(1)請(qǐng)用分組分解法將 SKIPIF 1 < 0 因式分解；
【挑戰(zhàn)】
(2)請(qǐng)用分組分解法將 SKIPIF 1 < 0 因式分解；
【應(yīng)用】
(3)“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和 SKIPIF 1 < 0 ，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將 SKIPIF 1 < 0 因式分解，再求值．
（1）解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴根據(jù)題意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴原式 SKIPIF 1 < 0 ．
例先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
解： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．

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