在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)，使得由該點(diǎn)及其他點(diǎn)構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問(wèn)題”．
【相似判定】
判定1：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形；
判定2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形是相似三角形；
判定3：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐標(biāo)系中相似三角形存在性問(wèn)題的方法來(lái)源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ鉀Q問(wèn)題．
【題型分析】
通常相似的兩三角形有一個(gè)是已知的，而另一三角形中有1或2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即可分為“單動(dòng)點(diǎn)”類、“雙動(dòng)點(diǎn)”兩類問(wèn)題．
【思路總結(jié)】
根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會(huì)用的，這里也一樣不怎么用，對(duì)比判定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！
所以，要證相似的兩個(gè)三角形必然有相等角，關(guān)鍵點(diǎn)也是先找到一組相等角．
然后再找：
思路1：兩相等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；
思路2：還存在另一組角相等．
事實(shí)上，坐標(biāo)系中在已知點(diǎn)的情況下，線段長(zhǎng)度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？
搞定這兩個(gè)問(wèn)題就可以了．
例題精講
【例1】．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．若△MON與△BOC相似，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
?變式訓(xùn)練
【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線y＝x+4與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，拋物線y＝x2+kx+k﹣1圖象過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)是B，
（1）求出此拋物線的解析式、對(duì)稱軸以及B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若在y軸負(fù)半軸上存在點(diǎn)D，能使得以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【例2】．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，在該垂線上取一點(diǎn)P，使得△PBC與△ABC相似，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
?變式訓(xùn)練
【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)D（2，﹣3）．點(diǎn)P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求△POD面積的最大值．
（3）直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)△OBE與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

1．拋物線y＝﹣x2平移后的位置如圖所示，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（3，0），設(shè)平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．
（1）求平移后的拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)P在平移后的拋物線的對(duì)稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
2．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以AB所在直線為x軸，過(guò)c點(diǎn)的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．此時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）
（1）試求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)D（1，m）在拋物線上，過(guò)點(diǎn)A的直線y＝﹣x﹣1交（2）中的拋物線于點(diǎn)E，那么在x軸上點(diǎn)B的左側(cè)是否存在點(diǎn)P，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
3．如圖已知直線y＝x+與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，﹣），交x軸正半軸于D點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P為直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求△PAB的面積及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線上且位于其對(duì)稱軸右側(cè)，當(dāng)△QMN與△MAD相似時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)．
4．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（﹣9，10），AC∥x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）直接寫出：b＝ ，c＝ ；
（2）過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，﹣4），與x軸交于另一點(diǎn)C，連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且S△PBO＝S△PBC，求直線AP的表達(dá)式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，直線BD交x軸于點(diǎn)E，使△ABE與以A，B，C，E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似（不重合）？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
6．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，直線CP與x軸交于點(diǎn)Q，當(dāng)∠BQC＝∠BCO時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CNM＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．
7．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，BO＝3AO＝3，過(guò)點(diǎn)B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C，D，．
（1）求b，c的值；
（2）求直線CD的函數(shù)解析式；
（3）求∠ADB的度數(shù)；
（4）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上且在x軸下方，點(diǎn)Q在射線BA上，當(dāng)△ABD與△BPQ相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣2）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BC交于點(diǎn)E，求的最大值；
（3）如圖2，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作直線l∥BC，點(diǎn)P，Q分別為直線l和拋物線上的點(diǎn)，試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
9．如圖，直線y＝﹣x+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；
（2）M為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）將拋物線在0≤x≤3之間的部分記為圖象L，將圖象L在直線y＝t上方部分沿直線y＝t翻折，其余部分保持不動(dòng)，得到一個(gè)新的函數(shù)圖象，記這個(gè)函數(shù)的最大值為a，最小值為b，若a﹣b≤3，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．
10．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，﹣3），直線y＝kx+3k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為F，若△AEF是等腰直角三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若在直線y＝kx+3k上存在一點(diǎn)G使得△DFG與△AOC相似，求出k的值．
11．如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y＝ax2+bx﹣1過(guò)A、B兩點(diǎn)，并與過(guò)A點(diǎn)的直線y＝﹣x﹣1交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線解析式及對(duì)稱軸；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形ACPO的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線AC的垂線，垂足為N．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)N，使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
12．拋物線L：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），與它的對(duì)稱軸直線x＝1交于點(diǎn)B．
（1）求出拋物線L的解析式；
（2）如圖1，過(guò)定點(diǎn)的直線y＝kx﹣k+4（k＜0）與拋物線L交于點(diǎn)M、N．若△BMN的面積等于1，求k的值；
（3）如圖2，將拋物線L向上平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點(diǎn)D，F(xiàn)為拋物線L1的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，P為線段OC上一點(diǎn)，若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求m的值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
13．設(shè)拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（﹣1，0）、B（m，0），與y軸交于點(diǎn)C，且∠ACB＝90度．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（1，n）在拋物線上，過(guò)點(diǎn)A的直線y＝x+1交拋物線于另一點(diǎn)E．若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，△BDP的外接圓半徑等于 ．
14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+x﹣與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點(diǎn)F，△CAD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，點(diǎn)A恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F，連接BE．
（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；
（3）如圖2，過(guò)頂點(diǎn)D作DD1⊥x軸于點(diǎn)D1，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，點(diǎn)M為垂足，使得△PAM與△DD1A相似（不含全等）．
①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
②直接回答這樣的點(diǎn)P共有幾個(gè)？
15．如圖1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線y＝ax2+bx（a≠0）與x軸交于另一點(diǎn)A（，0），在第一象限內(nèi)與直線y＝x交于點(diǎn)B（2，t）．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)C，滿足以B，O，C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)M在這條拋物線上，且∠MBO＝∠ABO，
①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．拋物線y＝ax2+6x+c過(guò)A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖①，拋物線上一點(diǎn)D在線段AC的上方，DE⊥AB，交AC于點(diǎn)E，若滿足．求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖②，F(xiàn)為拋物線頂點(diǎn)，過(guò)A作直線l⊥AB，若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使得△BQP與△ABF相似（P與F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)），若存在，直接寫出P、Q的坐標(biāo)及此時(shí)△BQP的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
17．如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象經(jīng)過(guò)O（0，0），A（4，4），B（3，0）三點(diǎn)，以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)將△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)O，A′，B′三點(diǎn)．
（1）畫出△OA′B′，試求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象上，m≠0，直線OP與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點(diǎn)Q（異于點(diǎn)O）．
①求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（橫、縱坐標(biāo)均用含m的代數(shù)式表示）
②連接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范圍；
③當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)Q作QQ′平行于x軸，與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于另一點(diǎn)Q′，與二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象交于點(diǎn)M，N（M在N的左側(cè)），直線OQ′與二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象交于點(diǎn)P′．△Q′P′M∽△QB′N，則線段NQ的長(zhǎng)度等于 6 ．
18．如圖1，圖形ABCD是由兩個(gè)二次函數(shù)y1＝kx2+m（k＜0）與y2＝ax2+b（a＞0）的部分圖象圍成的封閉圖形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
（1）直接寫出這兩個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）判斷圖形ABCD是否存在內(nèi)接正方形（正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在圖形ABCD上），并說(shuō)明理由；
（3）如圖2，連接BC，CD，AD，在坐標(biāo)平面內(nèi)，求使得△BDC與△ADE相似（其中點(diǎn)C與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)）的點(diǎn)E的坐標(biāo)．
19．如圖，直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．
（I）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）M（m，0）為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線MN垂直于x軸，與直線AB和拋物線分別交于點(diǎn)P、N．
①點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)M，P，N中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱M，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出使得M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的m的值．
20．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）將△ABC繞AB中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD．
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②判斷四邊形ADBC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△AEF與△BAD相似？若存在，求所有滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
21．已知拋物線y＝﹣x2+3x+4交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)）．過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l．在位于直線l下方的拋物線上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線PQ平行于y軸交直線l于點(diǎn)Q．連接AP．
（1）寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P位于拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)：
①如果以A，P，Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若將△APQ沿AP對(duì)折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M．是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)M落在x軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
③設(shè)AP的中點(diǎn)是R，其坐標(biāo)是（m，n），請(qǐng)直接寫出m和n的關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．
22．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且OA＝2OB，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，拋物線對(duì)稱軸為直線x＝，D為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)與拋物線的表達(dá)式；
（2）連接CD，AD，設(shè)四邊形OADC的面積為S．
①求S與m的關(guān)系式；
②當(dāng)S最大時(shí)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)△DPF∽△BOC時(shí)，求m的值．

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