【例1】．定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形，如圖，在對余四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，則線段BD＝ ．
?變式訓練
【變1-1】．定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑，即損矩形外接圓的直徑．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，點D是菱形ACEF對角線的交點，連接BD．若∠DBC＝60°，∠ACB＝15°，BD＝2，則菱形ACEF的面積為 ．
【變1-2】．定義：有一組對角互補的四邊形叫做“對補四邊形”，例如：四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，則四邊形ABCD是“對補四邊形”．
【概念理解】（1）如圖1，四邊形ABCD是“對補四邊形”．
①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，則∠D＝ 度．
②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2時．則CD2﹣CB2＝ ．
【類比應用】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD是“對補四邊形”．
【例2】．定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，將△ABC沿∠ABC的平分線BB'的方向平移，得到A'B'C'，連接AC'，CC'，若四邊形ABCC'是等鄰邊四邊形，則平移距離BB'的長度是 ．
?變式訓練
【變2-1】．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我們定義：“四個頂點都在三角形邊上的正方形是三角形的內接正方形”．
（1）如圖1，四邊形CDEF是△ABC的內接正方形，則正方形CDEF的邊長a1等于 ；
（2）如圖2，四邊形DGHI是（1）中△EDA的內接正方形，那么第2個正方形DGHI的邊長記為a2；繼續(xù)在圖2中的△HGA中按上述方法作第3個內接正方形，依此類推，……則第n個內接正方形的邊長an＝ ．（n為正整數(shù)）
【變2-2】．定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．
根據(jù)以上定義，解決下列問題：
（1）如圖1，正方形ABCD中E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉，使BC與BA重合，此時點E的對應點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF （填“是”或“不是”）“直等補”四邊形；
（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，過點B作BE⊥AD于E．
①過C作CF⊥BF于點F，試證明：BE＝DE，并求BE的長；
②若M是AD邊上的動點，求△BCM周長的最小值．

1．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE＝c，這時我們把關于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．
請解決下列問題：
（1）判斷下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
①2x2+x+1＝0 （填“是”或“不是”）；
②3x2+5x+4＝0 （填“是”或“不是”）
（2）求證：關于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有實數(shù)根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一個根，且四邊形ACDE的周長是12，求△ABC面積．
2．我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱；
（2）如圖1，已知格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你畫出以格點為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；
（3）如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到△DBE，連接AD，DC，∠DCB＝30°．求證：DC2+BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．
3．定義：有兩個相鄰內角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．
（1）如圖I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形；
（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F(xiàn)在格點上；
（3）如圖3，已知四邊形ABCD是以AB為鄰余線的鄰余四邊形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的長度．
4．定義：我們把一組對邊平行另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．
【性質初探】如圖1，已知，?ABCD，∠B＝80°，點E是邊AD上一點，連結CE，四邊形ABCE恰為等腰梯形．求∠BCE的度數(shù)；
【性質再探】如圖2，已知四邊形ABCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF，BF＝CE，連結BE、CF．求證：BE＝CF；
【拓展應用】如圖3，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，AB＝2，∠ABC＝45°，過點O作AC的垂線交BC的延長線于點G，連結DG．若∠CDG＝90°，求BC的長．
5．給出如下定義：有兩個相鄰內角互余的四邊形稱為“鄰余四邊形”，這兩個角的夾邊稱為“鄰余線”．
（1）如圖1，格點四邊形ABCD是“鄰余四邊形”，指出它的“鄰余線”；
（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點．求證：四邊形ABEF是“鄰余四邊形”；
（3）如圖3，四邊形ABCD是“鄰余四邊形”，AB為“鄰余線”，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接EF，AD＝4，BC＝6．求EF的長．
6．定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．
（1）如圖1，△ABC的三個頂點均在正方形網(wǎng)格中的格點上，若四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形，請只用無刻度的直尺，就可以在網(wǎng)格中畫出點D，請你在圖1中找出滿足條件的點D，保留畫圖痕跡（找出2個即可）
（2）①如圖2，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，對角線AC平分∠DAB．請問AC是四邊形ABCD的“相似對角線”嗎？請說明理由；
②若AC＝，求AD?AB的值．
（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠D＝∠ACB＝90°時，將△ADC以A為位似中心，位似比為：縮小得到△AEF，連接CE、BF，在△AEF繞點A旋轉的過程中，當CE所在的直線垂直于AF時，請你直接寫出BF的長．
7．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”
（1）概念理解：
請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；
（2）問題探究：
如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P，連接AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）應用拓展：
如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，將Rt△ABD繞著點A順時針旋轉角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時，求出它的面積．
8．定義：長寬比為：1（n為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個矩形，如圖①所示
操作1：將正方形ABCD沿過點B的直線折疊，使折疊后的點C落在對角線BD上的點G處，折痕為BH．
操作2：將AD沿過點G的直線折疊，使點A，點D分別落在邊AB，CD上，折痕為EF．
可以證明四邊形BCEF為矩形．
（Ⅰ）在圖①中，的值為 ；
（Ⅱ）已知四邊形BCEF為矩形，仿照上述操作，得到四邊形BCMN，如圖②，可以證明四邊形BCMN為矩形，則n的值是 ．
9．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，∠B＝∠C，則四邊形ABCD為等鄰角四邊形．
（1）定義理解：已知四邊形ABCD為等鄰角四邊形，且∠A＝130°，∠B＝120°，則∠D＝ 度．
（2）變式應用：如圖2，在五邊形ABCDE中，ED∥BC，對角線BD平分∠ABC．
①求證：四邊形ABDE為等鄰角四邊形；
②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，請判斷△BCD的形狀，并明理由．
（3）深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足為E，點P為邊BC上的一動點，過點P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點P的運動過程中，判斷PM+PN與CE的數(shù)量關系？請說明理由．
（4）遷移拓展：如圖4，是一個航模的截面示意圖．四邊形ABCD是等鄰角四邊形，∠A＝∠ABC，E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．
10．問題情景：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”，按照此定義，我們學過的平行四邊形中的菱形、正方形等都是“垂美四邊形”，“箏形”也是“垂美四邊形”．
概念理解：
（1）如圖2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四邊形”，AB＝6，CD＝8，求AD的長．
性質探究：
（2）如圖3，已知四邊形ABCD是“垂美四邊形”，試探究其兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程．
問題解決：
（3）如圖4，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG與正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE與BG交于點O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中線OH的長．
11．定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．
特例感知：
（1）如圖1，四邊形ABCD是“垂美四邊形，如果，OB＝2，∠OBC＝60°，則AD2+BC2＝ ，AB2+CD2＝ ．
猜想論證
（2）如圖1，如果四邊形ABCD是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系并給予證明．
拓展應用：
（3）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，∠BAC＝60°，求GE長．
（4）如圖3，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，∠BOC＝120°，OA＝OD，，連接AC，BC，BD，請直接寫出BC的長．
12．點P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐標系中不同的兩個點，且x1≠x2，若存在一個正數(shù)k，使點P，Q的坐標滿足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，則稱P，Q為一對“限斜點”，k叫做點P，Q的“限斜系數(shù)”，記作k（P，Q）．由定義可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3，），有|0﹣|＝|1﹣3|，所以點P，Q為一對“限斜點”，且“限斜系數(shù)”為．
已知點A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，）．
（1）在點A，B，C，D中，找出一對“限斜點”： ，它們的“限斜系數(shù)”為 ；
（2）若存在點E，使得點E，A是一對“限斜點”，點E，B也是一對“限斜點”，且它們的“限斜系數(shù)”均為1．求點E的坐標；
（3）正方形對角線的交點叫做中心，已知正方形EFGH的各邊與坐標軸平行，邊長為2，中心為點M（0，m）．點T為正方形上任意一點，若所有點T都與點C是一對“限斜點”，且都滿足k（T，C）≥1，直接寫出點M的縱坐標m的取值范圍．
13．定義：對于一個四邊形，我們把依次連結它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．
概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是 ．
A．平行四邊形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
性質探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關于四邊形ABCD的兩條結論：
；
．
問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側作正方形ABDE和正方形ACFG，連結BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；
拓展應用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點，
（1）試探索AC與MN的數(shù)量關系，并說明理由．
（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．
14．對于平面直角坐標系xOy中的圖形W1和圖形W2．給出如下定義：在圖形W1上存在兩點A，B（點A，B可以重合），在圖形W2上存在兩點M，N（點M、N可以重合）使得AM＝2BN，則稱圖形W1和圖形W2滿足限距關系．
（1）如圖1，點C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），點F在CE上運動（點F可以與C，E重合），連接OF，DF．
①線段OF的最小值為 ，最大值為 ；線段DF的取值范圍是 ．
②在點O，D中，點 與線段CE滿足限距關系．
（2）如圖2，正方形ABMN的邊長為2，直線PQ分別與x軸，y軸交于點Q，P，且與x軸正方向的夾角始終是30°，若線段PQ與正方形ABMN滿足限距關系，求點P的縱坐標a（a＞0）的取值范圍；
（3）如圖3，正方形ABMN的頂點均在坐標軸上，A（0，b）（b＞0），G，H是正方形邊上兩點，分別以G，H為中心作邊長為1的正方形，與正方形ABMN的四邊分別平行．若對于任意的點G，H，以G，H為中心的正方形都滿足限距關系，直接寫出b的取值范圍．
15．定義：長寬比為：1（n為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．
下面，我們通過折疊的方式折出一個矩形，如圖①所示．
操作1：將正方形ABCD沿過點B的直線折疊，使折疊后的點C落在對角線BD上的點G處，折痕為BH．
操作2：將AD沿過點G的直線折疊，使點A，點D分別落在邊AB，CD上，折痕為EF．
則四邊形BCEF為矩形．
證明：設正方形ABCD的邊長為1，則BD＝＝．
由折疊性質可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，則四邊形BCEF為矩形．
∴∠A＝∠BFE．
∴EF∥AD．
∴＝，即＝．
∴BF＝．
∴BC：BF＝1：＝：1．
∴四邊形BCEF為矩形．
閱讀以上內容，回答下列問題：
（1）在圖①中，所有與CH相等的線段是 ，tan∠HBC的值是 ；
（2）已知四邊形BCEF為矩形，模仿上述操作，得到四邊形BCMN，如圖②，求證：四邊形BCMN是矩形；
（3）將圖②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個“矩形”，則n的值是 ．
16．定義：長寬比為：1（n為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個矩形，如圖a所示．
操作1：將正方形ABEF沿過點A的直線折疊，使折疊后的點B落在對角線AE上的點G處，折痕為AH．
操作2：將FE沿過點G的直線折疊，使點F、點E分別落在邊AF，BE上，折痕為CD．則四邊形ABCD為矩形．
（1）證明：四邊形ABCD為矩形；
（2）點M是邊AB上一動點．
①如圖b，O是對角線AC的中點，若點N在邊BC上，OM⊥ON，連接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，點N在邊BC上，當△DMN的周長最小時，求的值；
③連接CM，作BR⊥CM，垂足為R．若AB＝2，則DR的最小值＝ ．
17．定義：有兩個內角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形．
（1）如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，則∠B+∠C＝ °；
（2）如圖2，銳角△ABC內接于⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BD＝BO，在OA上取點E，使得DE＝OE，連接DE并延長交AC于點F，∠AED＝3∠EAF．求證：四邊形BCFD是半對角四邊形；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DG⊥OB于點H，交BC于點G，OH＝2，DH＝6．
①連接OC，若將扇形OBC圍成一個圓錐的側面，則該圓錐的底面半徑為 ；
②求△ABC的面積．
18．在平面直角坐標系xOy中，點A在直線l上，以A為圓心，OA為半徑的圓與y軸的另一個交點為E．給出如下定義：若線段OE，⊙A和直線l上分別存在點B，點C和點D，使得四邊形ABCD是矩形（點A，B，C，D順時針排列），則稱矩形ABCD為直線l的“理想矩形”．
例如，下圖中的矩形ABCD為直線l的“理想矩形”．
（1）若點A（﹣1，2），四邊形ABCD為直線x＝﹣1的“理想矩形”，則點D的坐標為 ；
（2）若點A（3，4），求直線y＝kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面積；
（3）若點A（1，﹣3），直線l的“理想矩形”面積的最大值為 ，此時點D的坐標為 ．

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