要求證平行四邊形的存在，得先了解平行四邊形的性質(zhì)：
（1）對(duì)應(yīng)邊平行且相等. （2）對(duì)角線互相平分．
這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中：
（1）對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為： SKIPIF 1 < 0 ，
可以理解為點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D，移動(dòng)路徑完全相同．
（2）對(duì)角線互相平分轉(zhuǎn)化為： SKIPIF 1 < 0 ，可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn)．
【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 → SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng)AC和BD為對(duì)角線時(shí)，結(jié)果可簡(jiǎn)記為： SKIPIF 1 < 0 （各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）
以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問(wèn)題，此處當(dāng)有一問(wèn)：若坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？
反例如下：
之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)”并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化，故存在反例．
雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對(duì)對(duì)角線的討論：
（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對(duì)角線．
（2）以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對(duì)角線不確定需要分類討論．
【題型分類】
三定一動(dòng)
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)D使得以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

思路1：利用對(duì)角線互相平分，分類討論：
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：
（1）BC為對(duì)角線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）AC為對(duì)角線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）AB為對(duì)角線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng)然，如果對(duì)這個(gè)計(jì)算過(guò)程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．
比如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減）
2.兩定兩動(dòng)
已知A（1，1）、B（3，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標(biāo)．
【分析】
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．
（1）當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C（4，0）、D（0，3）；
（2）當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C（2，0）、D（0，-1）；
（3）當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C（-2，0）、D（0，1）．
【動(dòng)點(diǎn)綜述】
“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動(dòng)點(diǎn)”，而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱為“半動(dòng)點(diǎn)”．
從上面例子可以看出，雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)．若把一個(gè)字母稱為一個(gè)“未知量”也可理解為：全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量×2．
找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：
（1）對(duì)邊平行且相等；
（2）對(duì)角線互相平分．
但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式： SKIPIF 1 < 0 ，
兩個(gè)等式，只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問(wèn)題最多只能存在2個(gè)未知量．
由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì)，由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問(wèn)題．
例題精講
考點(diǎn)一：二次函數(shù)背景下的平行四邊形存在性問(wèn)題
【例1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+6與x軸交于A（2，0），B（﹣6，0）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以B、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）將點(diǎn)A（2，0），B（﹣6，0）代入拋物線y＝ax2+bx+6得：
，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+6；
（2）存在點(diǎn)P，使得以B、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+2）2+8，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，
在y＝﹣x2﹣2x+6中，令x＝0得y＝6，
∴C（0，6），
設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+6），Q（﹣2，t），
又B（﹣6，0），
①以CP，QB為對(duì)角線，則CP，QB的中點(diǎn)重合，
∴，
解得，
∴P（﹣8，﹣10）；
②以CQ，PB為對(duì)角線，則CQ，PB中點(diǎn)重合，
∴，
解得，
∴P（4，﹣10）；
③以CB，PQ為對(duì)角線，則CB，PQ中點(diǎn)重合，
∴，
解得，
∴P（（﹣4，6）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，6）或（﹣8，﹣10）或（4，﹣10）．
?變式訓(xùn)練
【變1-1】．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)（1，0）且與y軸平行的直線，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)；
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若tan∠PCB＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3＝0，
解得x1＝，x2＝3，即A（，0）B（3，0），
由A，B關(guān)于x＝1對(duì)稱，得
＝﹣1，解得m＝2，
即A（﹣1，0），
函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由四邊形ABPQ是平行四邊形，得
PQ∥AB，PQ＝AB＝4，
當(dāng)PQ＝4，即x＝4時(shí)，y＝5，即P（4，5）；
當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝21，即P（﹣4，21），
AB為對(duì)角線，A（﹣1，0），B（3，0），
設(shè)P（a，a2﹣2a﹣3），Q（0，n），則
，
解得，
P（2，﹣3）．
綜上所述：四邊形ABPQ是平行四邊形P（4，5），（﹣4，21），（2，﹣3）；
（3）如圖
，
過(guò)P作PQ⊥x軸于Q，交CB延長(zhǎng)線于R，過(guò)P作PH⊥BC于H，
設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），
∵拋物線y＝x2﹣4x+3與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，
∴x＝0，則y＝﹣3；
y＝0，則0＝x2﹣4x+3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，
則，
解得：，
故直線BC解析式：y＝x﹣3，
∴R（m，m﹣3），PR＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m，
∵OB＝OC＝3，
∴∠CBQ＝135°，
∴∠HPR＝45°，
∵CO＝OB，
∴∠OCR＝45°，
∴CR＝OQ＝m，
∴PH＝RH＝PR÷＝m（m﹣3），
又∵CR＝OQ＝m，
∴CH＝m+m（m﹣3）＝m（m﹣1）
由tan∠PCB＝＝＝，
解得：m＝5，
則m2﹣2m﹣3＝12，
故P（5，12）．
當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí)，同法可得：＝，
解得m＝或0（舍棄），
∴P（，﹣），
綜上所述，滿足條件點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，12）或（，﹣）．
考點(diǎn)二：二次函數(shù)背景下的菱形存在性問(wèn)題
【例2】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵△PBC的周長(zhǎng)為：PB+PC+BC，BC是定值，
∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最?。?br>如圖1，點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱，連接AC交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．
∵AP＝BP，
∴△PBC周長(zhǎng)的最小值是AC+BC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝3，BC＝．
∴△PBC周長(zhǎng)的最小值是：3+．
拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+c，將A（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）存在．
設(shè)P（1，t），Q（m，n）
∵A（3，0），C（0，3），
則AC2＝32+32＝18，
AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，
PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
∵四邊形ACPQ是菱形，
∴分三種情況：以AP為對(duì)角線或以AC為對(duì)角線或以CP為對(duì)角線，
①當(dāng)以AP為對(duì)角線時(shí)，則CP＝CA，如圖2，
∴t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝3±，
∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），
∵四邊形ACPQ是菱形，
∴AP與CQ互相垂直平分，即AP與CQ的中點(diǎn)重合，
當(dāng)P1（1，3﹣）時(shí)，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝﹣，
∴Q1（4，﹣），
當(dāng)P2（1，3+）時(shí)，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝，
∴Q2（4，），
②以AC為對(duì)角線時(shí)，則PC＝AP，如圖3，
∴t2﹣6t+10＝t2+4，
解得：t＝1，
∴P3（1，1），
∵四邊形APCQ是菱形，
∴AC與PQ互相垂直平分，即AC與CQ中點(diǎn)重合，
∴＝，＝，
解得：m＝2，n＝2，
∴Q3（2，2），
③當(dāng)以CP為對(duì)角線時(shí)，則AP＝AC，如圖4，
∴t2+4＝18，
解得：t＝±，
∴P4（1，），P5（1，﹣），
∵四邊形ACQP是菱形，
∴AQ與CP互相垂直平分，即AQ與CP的中點(diǎn)重合，
∴＝，＝，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．
?變式訓(xùn)練
【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x軸于A，B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝x+3的圖象交坐標(biāo)軸于A，D兩點(diǎn)，E為直線AD上一點(diǎn)，作EF⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)F
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)F位于直線AD的下方，請(qǐng)問(wèn)線段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)G，使得G，E，D，C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
解：（1）將y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣x 1）（x﹣x 2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣1）．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1），
∴﹣3a＝﹣1，得a＝，
∴拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；
（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m+3），線段EF的長(zhǎng)度為y，
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m 2+m﹣1）
∴y＝（m+3）﹣（ m 2+m﹣1）＝﹣ m 2+m+4
即y＝（m﹣） 2+，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；
（3）點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．
理由：①如圖1，當(dāng)四邊形CGDE為菱形時(shí)．
∴EG垂直平分CD
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)y＝＝1，
將y＝1代入y＝x+3，得x＝﹣2．
∵EG關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，1）；
②如圖2，當(dāng)四邊形CDEG為菱形時(shí)，以點(diǎn)D為圓心，DC的長(zhǎng)為半徑作圓，交AD于點(diǎn)E，可得DC＝DE，構(gòu)造菱形CDEG
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，n+3），
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）
∴DE＝＝∵DE＝DC＝4，
∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2+3）或（2，2+3）
將點(diǎn)E向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度可得點(diǎn)G，
點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2﹣1）（如圖2）或（2，2﹣1）（如圖3）
③如圖4，“四邊形CDGE為菱形時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑作圓，交直線AD于點(diǎn)E，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（k，k+3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1）．
∴EC＝＝．
∵EC＝CD＝4，
∴2k2+8k+16＝16，
解得k1＝0（舍去），k2＝﹣4．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣4，﹣1）
將點(diǎn)E上移4個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)G．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣4，3）．
綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．
考點(diǎn)三：二次函數(shù)背景下的矩形存在性問(wèn)題
【例3】．綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA＝1，對(duì)稱軸為直線x＝2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上C、D兩點(diǎn)之間的距離是 2 ；
（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求△BCE面積的最大值；
（4）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵對(duì)稱軸為x＝2，
∴B（5，0），
將A，B代入解析式得：
，
解得，
∴，自變量x為全體實(shí)數(shù)；
（2）由（1）得：C（0，），D（2，），
∴CD＝，
故答案為2；
（3）∵B（5，0），C（0，），
∴直線BC的解析式為：，
設(shè)E（x，），且0＜x＜5，
作EF∥y軸交BC于點(diǎn)F，
則F（x，），
∴EF＝﹣（）＝，
∴，
當(dāng)x＝時(shí)，S△BCE有最大值為；
（4）設(shè)P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，），
若BC為矩形的對(duì)角線，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，
解得：，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：，
解得y＝4或y＝﹣，
∴n＝或n＝4，
∴Q（3，）或Q（3，4），
若BP為矩形的對(duì)角線，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
解得，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：，
解得y＝，
∴Q（7，4），
若BQ為矩形的對(duì)角線，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
解得：，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：，
解得n＝，
∴Q（﹣3，﹣），
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．
?變式訓(xùn)練
【變3-1】．如圖1，若二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．
（1）求三角形ABC的面積；
（2）若點(diǎn)P是拋物線在一象限內(nèi)BC上方一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，是否存在點(diǎn)P，使四邊形ABPC的面積為18，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）如圖2，若點(diǎn)Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)K，使以點(diǎn)B、C、Q、K為頂點(diǎn)，BC為邊的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）令x＝0，則y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，則﹣x2+3x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，
∴S△ABC＝×5×4＝10；
（2）存在，理由如下：
∵四邊形ABPC的面積為18，S△ABC＝10，
∴△BCP的面積為8，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+4，將點(diǎn)B（4，0）代入，得k＝﹣1，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
過(guò)P點(diǎn)作PM⊥x軸，交BC于點(diǎn)M，
設(shè)P（t，﹣t2+3t+4），則M（t，﹣t+4），
∴S△BCP＝×4×PM＝2（﹣t2+3t+4+t﹣4）＝2（﹣t2+4t）＝8，
∴t＝2，
∴P（2，6）；
（3）存在，理由如下：
設(shè)Q（m，﹣m2+3m+4），
當(dāng)m＞0時(shí)，如圖1，
∵矩形是以BC為邊，
∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸交H點(diǎn)，過(guò)K作KG⊥x軸交G點(diǎn)，
∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCQ＝∠GBK＝45°，
∴△CHQ≌△BGK（AAS），
∴HC＝HQ＝BG＝GK，
∴m＝﹣m2+3m+4﹣4，
∴m＝2或m＝0（舍），
∴HQ＝2，
∴K（6，2）；
當(dāng)m＜0時(shí)，如圖2，
∵矩形是以BC為邊，
∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，
設(shè)KC與x軸的交點(diǎn)為F，BQ與y軸的交點(diǎn)為H，
過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸交G點(diǎn)，過(guò)K作KE⊥x軸交E點(diǎn)，
∵∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°，
∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°，
∵KC＝BQ，CF＝HB，
∴FK＝QH，
∴△QHG≌△KFE（AAS），
∴QG＝HG＝EF＝EK，
∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），
∴m＝﹣2或m＝4（舍），
∴GQ＝2，
∴K（﹣6，﹣2）；
綜上所述，K點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2）或（6，2）．
考點(diǎn)四：二次函數(shù)背景下的正方形存在性問(wèn)題
【例4】．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），有點(diǎn)C（﹣2，6）．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)D（1，﹣3），點(diǎn)E在線段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延長(zhǎng)ED交y軸于點(diǎn)F，求△EFO的面積．
（3）若M在直線AC上，點(diǎn)Q在拋物線上，是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使以Q，M，N，A為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）令x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，
∵A（4，0），B（﹣1，0）；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA，
設(shè)E（m，0），
∵C（﹣2，6），D（1，﹣3），
AC＝6，AD＝3，BC＝，
由△ABC的面積可得，5×6＝6BG，
∴BG＝，
由△ADE的面積可得，3|4﹣m|＝3EH，
∴EH＝|4﹣m|，
∵∠ACB＝∠ADE
∴＝，
∴＝，
∴2m2﹣41m+57＝0，
∴m＝或m＝19，
∵點(diǎn)E在線段OA上，
∴E（，0），
則ED的直線解析式為y＝6x﹣9，
∴F（0，﹣9），
∴△EFO的面積＝×OE×OF＝××9＝；
（3）直線AC的解析式為y＝﹣x+4，
∴∠CAO＝45°，
設(shè)M（t，﹣t+4），
如圖1：當(dāng)AC為正方形QAMN邊時(shí)，M點(diǎn)與N點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴N（t，t﹣4），
∴M、N的中點(diǎn)為（t，0），
∴A、Q中點(diǎn)也為（t，0），
∴Q（2t﹣4，0），
∵點(diǎn)Q在拋物線上，
∴2t﹣4＝﹣1，
∴t＝，
∴M（，）；
如圖2：當(dāng)M、Q關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，M（0，4），此時(shí)Q（0，﹣4）在拋物線上；
如圖3：當(dāng)Q（0，﹣4）時(shí)，M（8，﹣4）；
如圖4：當(dāng)Q（﹣1，0）時(shí)，M（﹣1，5）；
綜上所述：M（，）或M（0，4）或M（8，﹣4）或M（﹣1，5）．
?變式訓(xùn)練
【變4-1】．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．
（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)Q在該拋物線的對(duì)稱軸上，若△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若P為BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得，，
∴經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）如圖1，連接BC，CD．
由題意，C（0，3），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
∵△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，
當(dāng)∠Q′BC＝90′時(shí)，∠ABQ′＝45°，
∴EB＝EQ′＝2，
∴Q′（1，﹣2），
當(dāng)∠QCB＝90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，Q（1，4），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，4）或（1，﹣2）．
（3）如圖2中，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），
∵以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，
∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，
當(dāng)2﹣a＝﹣a2+2a+3時(shí)，
整理得，a2﹣3a﹣1＝0，
解得，a＝，
當(dāng)2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）時(shí)，
整理得，a2﹣a﹣5＝0，
解得，a＝，
∴當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．

1．綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝2OC＝8OB，點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，與AC交于點(diǎn)E．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)PC∥AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）用含x的代數(shù)式表示PE的長(zhǎng)，并求出當(dāng)PE的長(zhǎng)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）令x＝0，則y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵OA＝2OC＝8OB，
∴OA＝8，OB＝1，
∴A（﹣8，0），B（1，0），
將A、B代入y＝ax2+bx﹣4，得
，
∴，
∴y＝x2+x﹣4；
（2）當(dāng)PC∥AB時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4，
∴x2+x﹣4＝﹣4，
∴x＝0或x＝﹣7，
∵P點(diǎn)在第三象限，
∴P（﹣7，﹣4）；
（3）設(shè)AC的直線解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣4，
設(shè)P（x，x2+x﹣4），則E（x，﹣x﹣4），
∴PE＝﹣x﹣4﹣（x2+x﹣4）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+4）2+8，
∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，PE有最大值8，
此時(shí)P（﹣4，﹣10）；
（4）存在點(diǎn)Q，使得以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：
設(shè)Q（m，n），
①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，AC的中點(diǎn)為（﹣4，﹣2），PQ的中點(diǎn)為（，），
∴﹣4＝，﹣2＝，
∴m＝﹣4，n＝6，
∴Q（﹣4，6）；
②當(dāng)AP為對(duì)角線時(shí)，AP的中點(diǎn)為（﹣6，﹣5），CQ的中點(diǎn)為（，），
∴﹣6＝，﹣5＝，
∴m＝﹣12，n＝﹣6，
∴Q（﹣12，﹣6）；
③當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，AQ的中點(diǎn)為（，），CP的中點(diǎn)為（﹣2，﹣7），
∴＝﹣2，＝﹣7，
∴m＝4，n＝﹣14，
∴Q（4，﹣14）；
綜上所述：以A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，6）或（﹣12，﹣6）或（4，﹣14）．
2．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn) C．點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）①若點(diǎn)P僅在線段AO上運(yùn)動(dòng)，如圖，求線段MN的最大值；
②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
∵點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且PM⊥x軸．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函數(shù)有最大值．
又∵點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)，且﹣3＜﹣＜0，
∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，MN有最大值．
②如圖2﹣1中，當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上，MN＝MC，四邊形MNQC是菱形時(shí)．
∵M(jìn)N＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
解得m＝﹣3+或0（舍棄）
∴MN＝3﹣2，
∴CQ＝MN＝3﹣2，
∴OQ＝3+1，
∴Q（0，﹣3﹣1）．
如圖2﹣2中，當(dāng)MC是菱形的對(duì)角線時(shí)，四邊形MNCQ是正方形，此時(shí)CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如圖2﹣3中，當(dāng)點(diǎn)M在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，MN＝CM，四邊形MNQC是菱形時(shí)，
則有，m2+3m＝﹣m，
解得m＝﹣3﹣或0（舍棄），
∴MN＝CQ＝3+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，
∴Q（0，3﹣1）．
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，顯然MN＞CM，此時(shí)滿足條件的菱形不存在．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．
3．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴，解得，
∴拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+3，
將點(diǎn)B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3；
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），則點(diǎn)N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①當(dāng)AC＝AN時(shí)，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t1＝2，t2＝0（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）；
②當(dāng)AC＝CN時(shí)，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，3﹣）；
③當(dāng)AN＝CN時(shí)，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；
綜上，存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）或（，3﹣）或（，）；
（3）設(shè)E（1，a），F(xiàn)（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，
①以BC為對(duì)角線時(shí)，BC2＝CE2+BE2，
∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝，或a＝，
∴E（1，）或（1，），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，
∴m＝2，n＝或n＝，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）或（2，）；
②以BC為邊時(shí)，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）或（﹣2，1），
綜上所述：存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．
4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，其中A（﹣4，0），B（4，0），設(shè)點(diǎn)F（m，0）是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C'．
（1）求拋物線C的函數(shù)解析式；
（2）若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物線C'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'，設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C'上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）由題意把點(diǎn)A（﹣4，0），B（4，0），代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴拋物線C的函數(shù)解析式為：y＝﹣x2+8；
（2）如圖1，由題意拋物線C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2m，﹣8），
設(shè)拋物線C′的解析式為：y＝（x﹣2m）2﹣8，
由，
消去y得到：，
∵拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴滿足條件的m的取值范圍為：4＜m＜4；
（3）結(jié)論：四邊形PMP'N能成為正方形．
理由：情形1，如圖2，作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．
由題意易知P（4，4），
當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMP'N是正方形，
∴PF＝FM，∠PFM＝90°，
∵∠PEF＝∠FHM＝90°，
∴∠PFE+∠FPE＝90°，∠PFE+∠MFH＝90°，
在△PFE和△FMH中，
∴，
∴△PFE≌△FMH（AAS），
∴PE＝FH＝4，EF＝HM＝4﹣m，
∴M（m+4，m﹣4），
∵點(diǎn)M在y＝﹣x2+8上，
∴m﹣4＝﹣（m+4）2+8，
解得或（舍），
∴m＝﹣6+2時(shí)，四邊形PMP'N是正方形．
情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣4，4﹣m），
把M（m﹣4，4﹣m）代入y＝﹣x2+8中，4﹣m＝﹣（m﹣4）2+8，
解得m＝12或m＝0（舍去），
∴m＝12時(shí)，四邊形PMP′N是正方形．
綜上，四邊形PMP′N能成為正方形，m＝﹣6+2或12．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線l為該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)F為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)D，求△FAD面積的最大值；
（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射線AD平移4個(gè)單位，得到新的拋物線y1，點(diǎn)E為點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y1的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，在y1上確定一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解：（1）將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，
∴，
∴y＝x2﹣3x﹣4，
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4，
∴點(diǎn)C（0，﹣4），
∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，且對(duì)稱軸為直線x＝，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x﹣1，
設(shè)F（m，m2﹣3m﹣4），
作FH∥y軸交直線AD于H，
∴H（m，﹣m﹣1），
∴FH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）
＝﹣m2+2m+3，
∴S△AFD＝S△AFH+S△DFH＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，
當(dāng)m＝﹣＝1時(shí)，S△AFD最大為8，
（3）∵直線AD與x軸正方向夾角為45°，
∴沿AD方向平移，實(shí)際可看成向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，
∵F（1，﹣6），
∴E（5，﹣10），
拋物線y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，
∴拋物線y1的對(duì)稱軸為：直線x＝，
當(dāng)DE為平行四邊形的邊時(shí)：
若D平移到對(duì)稱軸上F點(diǎn)，
則Q的橫坐標(biāo)為，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴Q（，﹣），
若E平移到對(duì)稱軸上F點(diǎn)，
則Q的橫坐標(biāo)為，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，
∴Q（，﹣），
若DE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
若E平移到對(duì)稱軸上F點(diǎn)，
則Q平移到D點(diǎn)，
∴Q的橫坐標(biāo)為，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴Q（，﹣），
∴Q（）或Q（）或Q（）．
6．如圖，直線y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+mx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B．連接BC，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)E是拋物線上的點(diǎn)，求滿足∠ECD＝∠BCO的點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線AC上，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求菱形的邊長(zhǎng)．
解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝4，
則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，4），
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式并解得：m＝3，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4…①，
令y＝0，則x＝﹣1或4，故點(diǎn)B（﹣1，0）；
（2）①當(dāng)點(diǎn)E在CD上方時(shí)，
tan∠BCO＝＝，
則直線CE的表達(dá)式為：y＝x+4…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝0或（舍去0），
則點(diǎn)E（，）；
②當(dāng)點(diǎn)E在CD下方時(shí)，
同理可得：點(diǎn)E′（，）；
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（，）或（，）；
（3）①如圖2，當(dāng)CM為菱形的一條邊時(shí)，
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸，∵OA＝OC＝4，
∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，
設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+3x+4），
則PM＝PQ＝x，
C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則PM＝PN，
即：x＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4），解得：x＝0或4﹣（舍去0），
故菱形邊長(zhǎng)為x＝4﹣2；
②如圖3，當(dāng)CM為菱形的對(duì)角線時(shí)，
同理可得：菱形邊長(zhǎng)為2；
故：菱形邊長(zhǎng)為4﹣2或2．
7．如圖，已知直線y＝2x+n與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是A（1，﹣4），點(diǎn)B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠BAQ＝45°，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
解：（1）將點(diǎn)A（1，﹣4）代入直線y＝2x+n得，
2+n＝﹣4，
∴n＝﹣6，
∴直線y＝2x﹣6，
當(dāng)y＝0時(shí)，代入直線得：0＝2x﹣6，
解得：x＝3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（3，0），
設(shè)拋物線表達(dá)式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點(diǎn)B代入拋物線得，
0＝4a﹣4，
解得：a＝1，
∴拋物線表達(dá)式y(tǒng)＝（x﹣1）2﹣4；
（2）當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，有兩種情況：
①如圖，當(dāng)AB為邊時(shí)，
設(shè)點(diǎn)M（0，m），
已知點(diǎn)A（1，﹣4），點(diǎn)B（3，0）
∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，
∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，
解得m＝﹣，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)（0，﹣），
延長(zhǎng)BN交y軸于點(diǎn)M′，作AG⊥y軸于G，BH⊥GA交GA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
由△BOM′∽△BHA，可得＝，
∴＝，
∴OM′＝，
∴M′（0，），
②如圖，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，
取線段AB的中點(diǎn)P，作輔助圓⊙P，與y軸交于點(diǎn)M1，M2，作PG⊥y軸于點(diǎn)G，
點(diǎn)P坐標(biāo)（，），即（2，﹣2），
由①可得線段AB＝＝2，
∴⊙P半徑，
在Rt△PM1G中，PM1＝，PG＝2，
M1G＝＝1，
根據(jù)垂徑定理可得，M2G＝1，
∴點(diǎn)M1坐標(biāo)（0，﹣1），點(diǎn)M2坐標(biāo)（0，﹣3）；
綜上所述，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為：（0，﹣）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）；
（3）存在點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2或，使∠BAQ＝45°．
理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)Q，如圖，
當(dāng)四邊形ADBC為正方形，且點(diǎn)Q1，Q2分別在直線AD和直線AC上時(shí)，∠BAQ＝45°，
設(shè)過(guò)線段AB中點(diǎn)P，且與線段AB垂直的直線：y＝﹣+b，
將點(diǎn)P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，
解得b＝﹣1，
∴直線為y＝﹣，
設(shè)點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)（n，﹣n﹣1），
在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2，
sin45°＝，
解得BD＝，
∴BD＝＝，
解得n1＝0，n2＝4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，﹣1），點(diǎn)D坐標(biāo)（4，﹣3），
設(shè)直線AD表達(dá)式為：y＝qx+p，將點(diǎn)A（1，﹣4），點(diǎn)D（4，﹣3）代入得，
，
解得，
∴直線AD的表達(dá)式為y＝﹣，
同理可得直線AC的表達(dá)式為y＝﹣3x﹣1，
聯(lián)立直線AD與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4可得，
﹣＝（x﹣1）2﹣4，
解得x1＝1，x2＝，
同理聯(lián)立直線AC與拋物線可解得x3＝1，x4＝﹣2，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2或．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．
①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．（結(jié)果保留根號(hào)）
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴，
解得，
所以，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∵PF⊥x軸，
∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周長(zhǎng)越大，
易得直線AB的解析式為y＝x+3，
設(shè)與AB平行的直線解析式為y＝x+m，
聯(lián)立，
消掉y得，x2+3x+m﹣3＝0，
當(dāng)△＝32﹣4×1×（m﹣3）＝0，
即m＝時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長(zhǎng)，
此時(shí)x＝﹣，y＝﹣+＝，
∴點(diǎn)P（﹣，）時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大；
②拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
（i）如圖1，點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥對(duì)稱軸于Q，
在正方形APMN中，AP＝PM，∠APM＝90°，
∴∠APF+∠FPM＝90°，∠QPM+∠FPM＝90°，
∴∠APF＝∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，
，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF＝PQ，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n（n＜0），則PQ＝﹣1﹣n，
即PF＝﹣1﹣n，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣1﹣n），
∵點(diǎn)P在拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴﹣n2﹣2n+3＝﹣1﹣n，
整理得，n2+n﹣4＝0，
解得n1＝（舍去），n2＝，
﹣1﹣n＝﹣1﹣＝，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；
（ii）如圖2，點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，
∵∠PAF+∠FPA＝90°，∠PAF+∠QAN＝90°，
∴∠FPA＝∠QAN，
又∵∠PFA＝∠AQN＝90°，PA＝AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF＝AQ，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，﹣x2﹣2x+3），
則有﹣x2﹣2x+3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
解得x＝﹣1（不合題意，舍去）或x＝﹣﹣1，
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．
綜上所述，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．
9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線的頂點(diǎn)M與對(duì)稱軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AN交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為拋物線在直線AD下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE、DE，問(wèn)：△ADE的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值和點(diǎn)E的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（至少寫(xiě)兩個(gè)）．
解：（1）∵拋物線 y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（1，0），B（3，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為 y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把點(diǎn) C（0，6）代入，
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6，
∴拋物線解析式為y＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣2），
∵拋物線的頂點(diǎn)M與對(duì)稱軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)N（2，2），
設(shè)直線AN的解析式為：y＝kx+b，
由題意可得：，解得：，
∴直線AN解析式為：y＝2x﹣2，
聯(lián)立y＝2x2﹣8x+6得：，
解得：，，
∴點(diǎn)D（4，6），
設(shè)△ADE的面積為S，點(diǎn)E（e，2e2﹣8e+6），
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交直線AD于點(diǎn)F，則點(diǎn)F坐標(biāo)為（e，2e﹣2），
∴EF＝（2e﹣2）﹣（2e2﹣8e+6）＝﹣2e2+10e﹣8，
∴S＝?EF?|Dx﹣Ax|＝×3×（﹣2e2+10e﹣8）＝﹣3（e2﹣5e﹣4）＝，
所以，當(dāng)時(shí)，△ADE的面積，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為；
（3）由（2）知，A（1，0），D（4，6），
設(shè)Q（2，m），P（x，2x2﹣8x+6），
①以AD為對(duì)角線時(shí)，
∵以 A，D，P，Q 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
∴，解得：，
∴P（3，0）；
②以AP為對(duì)角線時(shí)，
∵以 A，D，P，Q 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
∴，解得：，
∴P（5，16）；
③以AQ為對(duì)角線時(shí)，
∵以 A，D，P，Q 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
∴，解得：，
∴P（﹣1，16）；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 （5，16）或 （﹣1，16）或 （3，0）時(shí)，以 A，D，P，Q 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
10．如圖，一次函數(shù)y＝x﹣圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣），
∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴，解得，
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣可得其對(duì)稱軸為直線x＝＝1，
設(shè)P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B(niǎo)（0，﹣），
∵C與B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
∴C（2，﹣），
①當(dāng)BC、PQ為對(duì)角線時(shí)，如圖：
此時(shí)BC的中點(diǎn)即是PQ的中點(diǎn)，即，
解得，
∴當(dāng)P（1，﹣），Q（1，﹣）時(shí)，四邊形BQCP是平行四邊形，
由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四邊形BQCP是菱形，
∴此時(shí)Q（1，﹣）；
②BP、CQ為對(duì)角線時(shí)，如圖：
同理BP、CQ中點(diǎn)重合，可得，
解得，
∴當(dāng)P（1，0），Q（﹣1，0）時(shí)，四邊形BCPQ是平行四邊形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四邊形BCPQ是菱形，
∴此時(shí)Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP為對(duì)角線，如圖：
BQ、CP中點(diǎn)重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）時(shí)，四邊形BCQP是平行四邊形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四邊形BCQP是菱形，
∴此時(shí)Q（3，0）；
綜上所述，Q的坐標(biāo)為：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）點(diǎn)B與點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；
（3）K是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H，使B、C、K、H為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，由y＝﹣x2+x+4＝0，得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0）；
∵點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，
∴D（3，0）.
（2）如圖1，作PG⊥x軸，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作PE⊥CD于點(diǎn)E，
∵拋物線y＝﹣x2+x+4＝0與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，4），
∴CD＝＝5；
∵∠PEG＝∠DOC＝90°，∠G＝∠OCD，
∴＝sin∠DCO＝；
設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+4，則3k+4＝0，解得k＝，
∴y＝x+4，
∴P（m，﹣m2+m+4），G（m，m+4），
∴PG＝﹣m2+m+4﹣（m+4）＝﹣m2+m，
∴PE＝（﹣m2+m）＝ m2+m，
∴×5（ m2+m）＝（8+2）×4，
整理，得3m2﹣34m+88＝0，
解得m1＝4，m2＝．
∴m的值為4或；
（3）存在．
①如圖1，BC為矩形BKCH的對(duì)角線，連結(jié)KH交BC于點(diǎn)Q．
∵Q為BC的中點(diǎn)，
∴Q（4，2），
∴QK2＝QC2＝42+（4﹣2）2＝20，
∵K（m，﹣m2+m+4），
∴（m﹣4）2+（﹣m2+m+4﹣2）2＝20，
整理，得m4﹣12m3+36m2﹣32m＝0，即m2（m2﹣12m+32）+4m（m﹣8）＝0，
∴m（m﹣2）（m﹣8）＝0
解得m1＝2，m2＝0（不符合題意，舍去），m3＝8（不符合題意，舍去），
∴K（2，6），
∵點(diǎn)H與點(diǎn)K（2，6）關(guān)于點(diǎn)Q（4，2）對(duì)稱，
∴H（6，﹣2）；
②如圖3，作平行四邊形ACBH．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，＝，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝∠CBO+∠OCB＝90°，
∴當(dāng)點(diǎn)K與點(diǎn)A重合時(shí)，四邊形KCBH是矩形，
∵點(diǎn)H與點(diǎn)C（0，4）關(guān)于點(diǎn)D（3，0）對(duì)稱，
∴H（6，﹣4）；
③如圖4，作BK∥AC交拋物線于另一點(diǎn)K，作平行四邊形BCHK，則四邊形BCHK是矩形；
連結(jié)CK、BH交于點(diǎn)R．
設(shè)直線AC的解析式為y＝px+4，則﹣2p+4＝0，解得p＝2，
∴y＝2x+4；
設(shè)直線BK的解析式為y＝2x+q，則16+q＝0，解得q＝﹣16，
∴y＝2x﹣16．
由，得，，
∴K（﹣10，﹣36），
∴R（﹣5，﹣16），
∵點(diǎn)H與點(diǎn)B（8，0）關(guān)于點(diǎn)R（﹣5，﹣16）對(duì)稱，
∴H（﹣18，﹣32）．
綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（6，﹣2）或（6，﹣4）或（﹣18，﹣32）．
12．如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點(diǎn)．過(guò)P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長(zhǎng)；
（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N（2，0）．點(diǎn)D是拋物線上A，M之間的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A，M重合，連接DB交MN于點(diǎn)E．連接AD并延長(zhǎng)交MN于點(diǎn)F．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）如圖1，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵△ABC的面積為2，即，
∴，
∴OC＝1，
∴C（0，1），
將C（0，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a＝1，
∴a＝﹣，
∴該二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+x+1；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)PQ在x軸的上方時(shí)，如圖2，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y＝m時(shí)，﹣x2+x+1＝m，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1﹣，m），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+，m），
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1﹣，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1+，0），
∵矩形PGHQ為正方形，
∴1+﹣（1﹣）＝m，
解得：m1＝﹣6﹣2（舍），m2＝﹣6+2；
②當(dāng)PQ在x軸的下方時(shí)，m＜0，
同理可得m＝﹣6﹣2；
∴當(dāng)四邊形PGHQ為正方形時(shí)，邊長(zhǎng)為6+2或2﹣6；
（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），延長(zhǎng)BD交y軸于K，
∵A（﹣1，0），
設(shè)AD的解析式為：y＝kx+b，
則，解得：，
∴AD的解析式為：y＝（﹣）x﹣，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣n+2﹣n+1＝﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN＝3﹣n，
同理得直線BD的解析式為：y＝（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK＝n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK＝3EN，
∴3EN+FN＝OK+FN＝n+1+3﹣n＝4，
∴在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，3NE+NF為定值4．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且A（﹣2，0），直線BC的解析式為y＝﹣+3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE、EB、BD、DC，求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）將拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）向左平移2個(gè)單位，已知點(diǎn)M為拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．在（2）中，當(dāng)四邊形BECD的面積最大時(shí)，是否存在以A，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）∵直線BC的解析式為y＝﹣+3，
∴令y＝0，則x＝6，令x＝0，則y＝3，
∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，3）；
∵A（﹣2，0），
∴代入拋物線得：，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+3；
（2）∵AD∥BC，
∴設(shè)直線AD的表達(dá)式為：y＝﹣x+m，
將A（﹣2，0）代入直線AD即可求得：m＝﹣1，
∴直線AD：y＝﹣x﹣1，
設(shè)過(guò)點(diǎn)E與直線BC平行的直線：y＝﹣x+n，
∵四邊形BECD面積最大值時(shí)，E點(diǎn)到直線BC的距離最遠(yuǎn)，即此時(shí)直線y＝﹣x+n與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴令y＝﹣x+n＝﹣x2+x+3，
化簡(jiǎn)得：x2﹣6x+4n﹣12＝0①，
由Δ＝36﹣4（4n﹣12）＝0得：n＝，
∴方程①的解為：x1＝x2＝3，
∴四邊形BECD面積最大值時(shí)相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，）；
（3）存在，理由：①當(dāng)AE是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∵y＝﹣（x+2）2+（x+2）+3＝﹣x2+4，
∴新拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4，且原拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，
∵點(diǎn)A、E的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（3，），
∴AE中點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），
設(shè)點(diǎn)M（2，t），點(diǎn)N（s，﹣t2+4），
則由中點(diǎn)公式得：＝，＝，
解得：s＝﹣1，t＝2+（負(fù)值舍去），
∴N（﹣1，2+）；
②當(dāng)AE是平行四邊形的邊時(shí)，
設(shè)M（2，t'），點(diǎn)N（s'，﹣s'2+4），
則s'﹣2＝5，解得s'＝7，N（7，﹣），
s'﹣2＝﹣5，解得s'＝﹣3，N（﹣3，），
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（﹣1，2+）或（7，﹣）或（﹣3，）．
14．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA＝∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，以PB為邊作正方形PBFG，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨著改變，當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
解：（1）把點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（2）如圖1，過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，
設(shè)F（x，﹣x2+2x+6），則FG＝|﹣x2+2x+6|，
∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，
∴BG＝6﹣x，
∴，
當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，有6﹣x＝2（﹣+2x+6），
解得x＝﹣1或x＝6（舍去），
此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）；
當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，有6﹣x＝2（），
解得x＝﹣3或x＝6（舍去），
此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，﹣）；
綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）設(shè)P（m，），
有四種情況：
①如圖2，當(dāng)G在y軸上時(shí)，過(guò)P作PQ⊥y軸于Q，作PM⊥x軸于M，
∵四邊形PBFG是正方形，
∴PG＝PB，
∵∠PQG＝∠PMB＝90°，∠QPG＝∠MPB，
∴△PQG≌△PMB，
∴PQ＝PM，
即m＝﹣m2+2m+6，
解得：m1＝1+，m2＝1﹣（舍），
∴P的橫坐標(biāo)為1+，
②當(dāng)F在y軸上時(shí)，如圖3，過(guò)P作PM⊥x軸于M，
同理得：△PMB≌△BOF，
∴OB＝PM＝6，
即﹣m2+2m+6＝6，
m1＝0（舍），m2＝4，
∴P的橫坐標(biāo)為4，
③當(dāng)F在y軸上時(shí)，如圖4，此時(shí)P與C重合，
此時(shí)P的橫坐標(biāo)為0，
④當(dāng)G在y軸上時(shí)，如圖5，過(guò)P作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，
同理得：△GPN≌△BPM，
∴PN＝PM，
∴﹣m＝，
解得：m＝3±，
由圖5可知：P在第二象限，
∴m＝3﹣，
此時(shí)P的橫坐標(biāo)為3﹣，
綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1+或4或0或3﹣．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并用含a的式子表示直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）點(diǎn)E為直線l下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的面積的最大值為時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）令y＝0，則ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（﹣1，0），
如圖1，作DF⊥x軸于F，
∴DF∥OC，
∴＝，
∵CD＝4AC，
∴＝＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐標(biāo)代入y＝kx+b得，
解得，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+a．
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH∥y軸，交直線l于點(diǎn)H，
設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），則H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）＝﹣a（x﹣）2+a．
∴△ADE的面積的最大值為a，
∴a＝，
解得：a＝．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣．
（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，
設(shè)P（1，m），
①若AD為矩形的邊，且點(diǎn)Q在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，則AD∥PQ，且AD＝PQ，
則Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，則P（1，26a），
∵四邊形ADPQ為矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，
∴P1（1，），
②若點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，則AD∥PQ，且AD＝PQ，
則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，
此時(shí)QD顯然不垂直于AD，不符合題意，舍去；
③若AD是矩形的一條對(duì)角線，則AD與PQ互相平分且相等．
∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝y(tǒng)P+yQ，
∴xQ＝2，
∴Q（2，﹣3a）．
∴yP＝8a
∴P（1，8a）．
∵四邊形APDQ為矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝
∴P2（1，4）
綜上所述，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，4）．
16．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A、C，與y軸交于點(diǎn)B，直線y＝x+3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求b、c的值．
（2）若點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線AB于點(diǎn)D，求線段PD的最大值．
（3）在（2）的結(jié)論下，連接CD，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)G，使得以C、D、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）∵直線y＝x+3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣4，
∴直線y＝x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣4，0），B（0，3）．
分別將x＝0，y＝3，x＝﹣4，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得，，
解得，b＝﹣，c＝3，
（2）由（1）得y＝﹣x2﹣x+3，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m+3），則D（m，m+3），
∴PD＝﹣＝﹣，
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，PD最大，最大值是．
（3）存在點(diǎn)G，使得以C、D、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，G點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；
∵y＝﹣x2﹣x+3，
∴y＝0時(shí)，x＝﹣4或x＝2，
∴C（2，0），
由（2）可知D（﹣2，），拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，
設(shè)G（n，﹣n+3），Q（﹣1，p），CD與y軸交于點(diǎn)E，E為CD的中點(diǎn)，
①當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，
n+（﹣1）＝0，
∴n＝1，
此時(shí)G（1，）．
②當(dāng)CD為邊時(shí)，
若點(diǎn)G在點(diǎn)Q上邊，則n+4＝﹣1，則n＝﹣5，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣5，﹣）．
若點(diǎn)G在點(diǎn)Q上邊，則﹣1+4＝n，則n＝3，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，﹣）．
綜合以上可得使得以C、D、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的G點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)A在y軸上，BC邊與x軸重合，過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線分別交AB和y軸于點(diǎn)D、H，AB＝HC，線段OB、OC（OB＜OC）的長(zhǎng)是方程x2﹣6x+8＝0的根．
（1）求直線CD的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段OA上的一動(dòng)點(diǎn)且2BP＝3OQ，設(shè)BP＝t，△OPQ的面積為S，請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系；
（3）在（2）的條件下，在平面上是否存在一點(diǎn)M，使得以P，Q，O，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BAO+∠ABO＝∠OCH+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠OCH，
在△AOB和△COH中，
，
∴△AOB≌△COH（AAS），
∴OB＝OH，
解方程x2﹣6x+8＝0可得x＝2或x＝4，
∴OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2，
∴C（4，0），H（0，2），
設(shè)直線CD解析式為y＝kx+b，
把C、H兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得，
解得．
∴直線CD解析式為y＝﹣x+2；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，即0＜t≤2時(shí)，連接PQ，如圖1，
則OP＝OB﹣BP＝2﹣t，
∵2BP＝3OQ，
∴OQ＝BP＝t，
∴S＝OP?OQ＝?t（2﹣t）＝﹣t2+t；
當(dāng)P在原點(diǎn)右側(cè)，即2＜t≤6時(shí)，連接PQ，如圖2，
則OP＝BP﹣OB＝t﹣2，
∵2BP＝3OQ，
∴OQ＝BP＝t，
∴S＝OP?OQ＝?t（t﹣2）＝t2﹣t；
綜上可知S與t的關(guān)系式為S＝；
（3）當(dāng)P點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖3，
由（2）可知OP＝2﹣t，OQ＝t，
∵四邊形OPMQ為正方形，
∴OP＝OQ，
∴2﹣t＝t，解得t＝，
∴OP＝OM＝2﹣t＝，
∴M（﹣，）；
當(dāng)P點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖4，
由（2）可知OP＝t﹣2，OQ＝t，
∵四邊形OPMQ為正方形，
∴OP＝OQ，
∴t﹣2＝t，解得t＝6，
∴OP＝OM＝t﹣2＝4，
∴M（4，4）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，）或（4，4）．
18．如圖，拋物線y＝x2﹣4x+3與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線與拋物線交于另一點(diǎn)E，若經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的⊙M滿足∠EAM＝45°．
（1）求直線BE的解析式；
（2）若D點(diǎn)是直線BE下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD和ED，求△BED面積的最大值；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
解：（1）令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴點(diǎn)A（3，0），B（1，0），
令x＝0，則y＝3，
∴點(diǎn)C（0，3），
設(shè)線段BC的垂直平分線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，設(shè)M（2，a），
∵M(jìn)B＝MC，
∴（2﹣1）2+a2＝22+（3﹣a）2，
解得a＝2，
∴點(diǎn)M（2，2），
∵BC＝，MC＝，BM＝，
∴BC2＝MC2+BM2，
∴∠CMB＝90°，
∵M(jìn)C＝MB，
∴△MCB是等腰直角三角形，
∴∠MBC＝45°，
作點(diǎn)C關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱點(diǎn)E，則E（4，3）在拋物線上，
根據(jù)對(duì)稱性可知：∠EAM＝∠MBC＝45°
設(shè)直線BE的解析式為y＝kx+b（k≠0），
則，
解得，
∴直線BE的解析式為y＝x﹣1．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DN∥y軸交BE于點(diǎn)N，
設(shè)點(diǎn)D（m，m2﹣4m+3），則N（m，m﹣1），
∴S△BDE＝×（xE﹣xB）×|DN|
＝×3×[m﹣1﹣（m2﹣4m+3）]
＝﹣（m﹣）2+，
∴當(dāng)m＝時(shí)，S△BDE取最大值；此時(shí)D（，﹣）；
（3）存在，理由如下：
根據(jù)軸對(duì)稱的公式可知，x＝2，
∴設(shè)P（2，y），Q（m，n），
由（1）知A（3，0），C（0，3），
∴AC＝3，AP2＝12+y2，CP2＝22+（y﹣3）2，
若AP為矩形的對(duì)角線，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
解得，
∴Q（5，y﹣3），
又∵∠ACP＝90°，
∴AC2+CP2＝AP2，
即：18+22+（y﹣3）2＝12+y2，
解得y＝5，
∴Q（5，2），
若CP為矩形的對(duì)角線，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
解得：，
∴Q（﹣1，y+3），
又∵∠CAP＝90°，
∴AC2+AP2＝CP2，
即：18+12+y2＝22+（y﹣3）2，
解得y＝﹣1，
∴Q（﹣1，2），
若AC為矩形的對(duì)角線，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
解得，
又∵∠APC＝90°，
∴AP2+CP2＝AC2，
即：12+y2+22+（y﹣3）2＝18，
解得y＝+或y＝，
∴Q（1，+）或Q（1，﹣）．
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，2）或（﹣1，2）或（1，+）或（1，﹣）．
19．如圖，直線y＝x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B，點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上方時(shí)，連接BC，CD，BD，BD交AC于點(diǎn)E，令△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；
（3）點(diǎn)F是該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）令y＝x+2＝0，得x＝﹣4，
令x＝0，得y＝2，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A．C兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣x+2；
（2）如圖1，過(guò)D作DM⊥x軸交AC于M，過(guò)B作BN⊥x軸交AC于N，
令y＝﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴S1：S2＝DE：BE＝DM：BN，
設(shè)D（a，﹣a2﹣a+2），
∴M（a，a+2），
∵B（1，0），
∴N（1，），
∴＝DM：BN＝（﹣a2﹣2a）：＝﹣（a+2）2+；
∴當(dāng)a＝﹣2時(shí)，的最大值是；
（3）∵y＝﹣x2﹣x+2，
∴對(duì)稱軸為直線x＝＝，
設(shè)D（t，﹣t2﹣t+2），F(xiàn)（，s），
①若四邊形為平行四邊形BCDF，
則，
∴，
解得：t＝﹣，﹣t2﹣t+2＝，
∴D的坐標(biāo)為（﹣，）；
②若四邊形為平行四邊形BCFD，
則，
∴，
解得：t＝﹣，﹣t2﹣t+2＝，
∴D的坐標(biāo)為（﹣，）；
③若四邊形為平行四邊形BDCF，
則，
∴，
解得：t＝，﹣t2﹣t+2＝，
∴D的坐標(biāo)為（，）；
綜上，D的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，）或（，）．
20．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)B坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，設(shè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸PH與x軸交于點(diǎn)H，
①連接AC，BC，CP，點(diǎn)D為對(duì)稱軸PH上的一點(diǎn)，且△CDP與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②點(diǎn)M為對(duì)稱軸PH上一點(diǎn)且在x軸下方，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)E，在y軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)F，且滿足OF＝4EO＝4MH，已知點(diǎn)N在拋物線上，以E，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
解：（1）將B（3，0），C（0，﹣3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4）；
（2）①∵y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，﹣3），P（1，﹣4），
∴∠ABC＝∠CDH＝45°，
AB＝4，AC＝＝，BC＝3，CP＝＝，
∴點(diǎn)D在點(diǎn)P的上方，
△CDP與△ABC相似，分兩種情況：
△CDP∽△CAB時(shí)，
∴，即，
∴DP＝，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣）；
△CDP∽△ACB時(shí)，
∴，即，
∴DP＝，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣）；
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣）或（1，﹣）；
②∵點(diǎn)M為對(duì)稱軸PH上一點(diǎn)且在x軸下方，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)E，在y軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)F，且滿足OF＝4EO＝4MH，
∴設(shè)點(diǎn)E（m，0），則M（1，m），F(xiàn)（0，4m），
以E，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，分三種情況：
以EM為對(duì)角線時(shí)，
點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m+1﹣0＝m+1，縱坐標(biāo)為m+0﹣4m＝﹣3m，
∵點(diǎn)N在拋物線y＝x2﹣2x﹣3上，
∴（m+1）2﹣2（m+1）﹣3＝﹣3m，解得m＝﹣4或1，
∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，
∴m＝﹣4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣4，0）；
以EF為對(duì)角線時(shí)，
點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m+0﹣1＝m﹣1，縱坐標(biāo)為0+4m﹣m＝3m，
∵點(diǎn)N在拋物線y＝x2﹣2x﹣3上，
∴（m﹣1）2﹣2（m﹣1）﹣3＝3m，解得m＝7或0，
∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，
∴此種情況不存在；
以MF為對(duì)角線時(shí)，
點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為0+1﹣m＝1﹣m，縱坐標(biāo)為m+4m﹣0＝5m，
∵點(diǎn)N在拋物線y＝x2﹣2x﹣3上，
∴（1﹣m）2﹣2（1﹣m）﹣3＝5m，解得m＝或，
∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，
∴m＝，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）；
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣4，0）或（，0）．
21．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖，直線y＝與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，與直線BC交于點(diǎn)E．若M（m，0）是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，交直線AD于點(diǎn)G，交直線BC于點(diǎn)H．
①當(dāng)點(diǎn)F在直線AD上方的拋物線上，且S△EFG＝S△OEG時(shí)，求m的值；
②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使四邊形EFHP為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣；
（2）①如圖1，∵B（4，0），C（0，4），
∴設(shè)BC的解析式為：y＝kx+n，
則，解得，
∴BC的解析式為：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝，
解得：x＝1，
∴E（1，3），
∵M(jìn)（m，0），且MH⊥x軸，
∴G（m，），F(xiàn)（m，﹣），
∵S△EFG＝S△OEG，
∴＝×ON（xE﹣xG），
[（﹣）﹣（）]（1﹣m）＝，
解得：m1＝，m2＝﹣2；
②存在，由①知：E（1，3），
∵四邊形EFHP是正方形，
∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，
∵M(jìn)（m，0），且MH⊥x軸，
∴H（m，﹣m+4），F(xiàn)（m，﹣），
分兩種情況：
i）當(dāng)﹣3≤m＜1時(shí)，如圖2，點(diǎn)F在EP的左側(cè)，
∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣）＝，
∵EF＝FH，
∴，
解得：m1＝（舍），m2＝，
∴H（，），
∴P（1，），
ii）當(dāng)1＜m＜4時(shí)，點(diǎn)F在PE的右邊，如圖3，
同理得﹣＝m﹣1，
解得：m1＝，m2＝（舍），
同理得P（1，）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或．
22．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣3），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，
且OC＝3OB．
（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出x為何值時(shí)y＝0．
（2）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【提示】①以AB為邊時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．②以AB為對(duì)角線時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解：（1）令x＝0，則y＝﹣3，
∴OC＝3，
∵OC＝3OB，
∴OB＝1，
∴B（﹣1，0），
∵A（2，﹣3），B（﹣1，0）在拋物線y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
令y＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3；
∴當(dāng)x＝﹣1或x＝3時(shí)y＝0；
（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
∴拋物線的對(duì)稱軸直線為x＝1，
設(shè)點(diǎn)N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
∵A（2，﹣3），B（﹣1，0），
①當(dāng)AB與MN為對(duì)角線時(shí)，AB與MN互相平分，
∴（2﹣1）＝（m+1），
∴m＝0，
∴M（0，﹣3）；
②當(dāng)AN與BM為對(duì)角線時(shí)，AN與BM互相平分，
∴（1+2）＝（m﹣1），
∴m＝4，
∴M（4，5），
③當(dāng)AM與BN為對(duì)角線時(shí)，AM與BN互相平分，
（m+2）＝（1﹣1），
∴m＝﹣2，
∴M（﹣2，5），
即：滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，﹣3）或M（4，5）或（﹣2，5）．
23．如圖1（注：與圖2完全相同）所示，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積．（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）
（3）設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上．要使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）
解：（1）把B（3，0）和D（﹣2，﹣）代入拋物線的解析式得，
，
解得，，
∴拋物線的解析式為：；
（2）令x＝0，得＝，
∴，
令y＝0，得＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∵＝，
∴M（1，2），
∴S四邊形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOB
＝
＝；
（3）設(shè)Q（0，n），
①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，有AB∥PQ，AB＝PQ，
a）．P點(diǎn)在Q點(diǎn)左邊時(shí)，則P（﹣4，n），
把P（﹣4，n）代入，得
n＝，
∴P（﹣4，﹣）；
②當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，有AB∥PQ，AB＝PQ，
當(dāng)P點(diǎn)在Q點(diǎn)右邊時(shí)，則P（4，n），
把P（4，n）代入，得
n＝，
∴P（4，﹣）；
③當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖2，AB與PQ交于點(diǎn)E，
則E（1，0），
∵PE＝QE，
∴P（2，﹣n），
把P（2，﹣n）代入，得
﹣n＝，
∴n＝﹣，
∴P（2，）．
綜上，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣4，﹣）或（4，﹣）或（2，）．
24．如圖所示，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（B在A的右邊），與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)M（1，﹣4）為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）若點(diǎn)N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BN，CN，當(dāng)△BNC是以BN，NC為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B，C，D，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．
（4）直線CM交x軸于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是線段EM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P，E，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）∵點(diǎn)M（1，﹣4）為拋物線的頂點(diǎn)，
∴設(shè)此拋物線的解析式為為y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，﹣3），
∴y＝a（0﹣1）2﹣4，
解得a＝1，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵△BNC是以BN，NC為腰的等腰三角形，
∴點(diǎn)N在線段BC的垂直平分線上，
在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∵C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴ON垂直平分BC，
∴線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；
∴直線ON的解析式為y＝﹣x，
解方程組得，或，
∵點(diǎn)N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴N（，﹣）；
（3）存在以點(diǎn)B、C、D、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
設(shè)G（m，m2﹣2m﹣3），
①當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∴3＝1+m，
∴m＝2，
∴G（2，﹣3）；
②當(dāng)BD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∴3+1＝m，
∴m＝4，
∴G（4，5）；
③當(dāng)BG為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∴3+m＝1，
∴m＝﹣2，
∴G（﹣2，5）；
綜上所述：G點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；
（4）存在以點(diǎn)P、E、O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
設(shè)直線CM的解析式為y＝kx+b
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣3，
∴E（﹣3，0），
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OEC＝∠OBC，
設(shè)P（t，﹣t﹣3），
∵點(diǎn)P是線段EM上，
∴﹣3＜t＜0，
∴EP＝（t+3），BC＝3，
①當(dāng)△PEO∽△CBA時(shí)，
＝，即＝，
∴t＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②當(dāng)△PEO∽△ABC時(shí)，
＝，即＝，
∴t＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣2）；
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（﹣1，﹣2）．
25．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（﹣2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，6），對(duì)稱軸為直線x＝1．點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m（1＜m＜4），連接AC，BC，DC，DB．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的時(shí)，求m的值；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）由題意得：，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+6；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，交BC于G，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥ED交ED的延長(zhǎng)線于F，如圖1所示：
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，
∴S△AOC＝OA?OC＝×2×6＝6，
∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+n，
則，
解得：，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+6，
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m（1＜m＜4），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（m，﹣m2+m+6），
點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（m，﹣m+6），
∴DG＝﹣m2+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，
∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG?CF+DG?BE＝DG×（CF+BE）＝×（﹣m2+3m）×（m+4﹣m）＝﹣m2+6m，
∴﹣m2+6m＝，
解得：m1＝1（不合題意舍去），m2＝3，
∴m的值為3；
（3）由（2）得：m＝3，﹣m2+m+6＝﹣×32+×3+6＝，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（3，），
分三種情況討論：
①當(dāng)DB為對(duì)角線時(shí)，如圖2所示：
∵四邊形BDNM是平行四邊形，
∴DN∥BM，
∴DN∥x軸，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)N關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
∴N（﹣1，），
∴DN＝3﹣（﹣1）＝4，
∴BM＝4，
∵B（4，0），
∴M（8，0）；
②當(dāng)DM為對(duì)角線時(shí)，如圖3所示：
由①得：N（﹣1，），DN＝4，
∵四邊形BDNM是平行四邊形，
∴DN＝BM＝4，
∵B（4，0），
∴M（0，0）；
③當(dāng)DN為對(duì)角線時(shí)，
∵四邊形BDNM是平行四邊形，
∴DM＝BN，DM∥BN，
∴∠DMB＝∠MBN，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)N的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∵點(diǎn)D（3，），
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為：﹣，
將y＝﹣代入y＝﹣x2+x+6中，
得：﹣x2+x+6＝﹣，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
當(dāng)x＝1+時(shí)，如圖4所示：
則N（1+，﹣），
分別過(guò)點(diǎn)D、N作x軸的垂線，垂足分別為E、Q，
在Rt△DEM和Rt△NQB中，，
∴Rt△DEM≌Rt△NQB（HL），
∴BQ＝EM，
∵BQ＝1+﹣4＝﹣3，
∴EM＝﹣3，
∵E（3，0），
∴M（，0）；
當(dāng)x＝1﹣時(shí)，如圖5所示：
則N（1﹣，﹣），
同理得點(diǎn)M（﹣，0）；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8，0）或（0，0）或（，0）或（﹣，0）．
26．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣6與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，OA＝2，OB＝4，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，在直線l右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接AD，BD，BC，CD．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D在x軸的下方，當(dāng)△BCD的面積是時(shí)，求△ABD的面積；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)，以BD為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）∵OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣6中得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣6；
（2）如圖1，過(guò)D作DG⊥x軸于G，交BC于H，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
設(shè)BC的解析式為：y＝kx+n，
則，解得：，
∴BC的解析式為：y＝x﹣6，
設(shè)D（x，x2﹣x﹣6），則H（x，x﹣6），
∴DH＝x﹣6﹣（x2﹣x﹣6）＝﹣，
∵△BCD的面積是，
∴，
∴，
解得：x＝1或3，
∵點(diǎn)D在直線l右側(cè)的拋物線上，
∴D（3，﹣），
∴△ABD的面積＝＝＝；
（3）分兩種情況：
①如圖2，N在x軸的上方時(shí)，四邊形MNBD是平行四邊形，
∵B（4，0），D（3，﹣），且M在x軸上，
∴N的縱坐標(biāo)為，
當(dāng)y＝時(shí)，即x2﹣x﹣6＝，
解得：x＝1+或1﹣，
∴N（1﹣，）或（1+，）；
②如圖3，點(diǎn)N在x軸的下方時(shí)，四邊形BDNM是平行四邊形，此時(shí)M與O重合，
∴N（﹣1，﹣）；
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（1﹣，）或（1+，）或（﹣1，﹣）．
27．綜合與探究
在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C（2，6），如圖①．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線AB的函數(shù)解析式為 y＝x+4 ，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （﹣2，﹣2） ，cs∠ABO＝ ；
連接OC，若過(guò)點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （﹣2，2）或（0，4） ；
（3）在y軸上找一點(diǎn)Q，使得△AMQ的周長(zhǎng)最?。唧w作法如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接MA'交y軸于點(diǎn)Q，連接AM、AQ，此時(shí)△AMQ的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+2x；
（2）點(diǎn)A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點(diǎn)B（0，4），
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+4，
將點(diǎn)A坐標(biāo)代入得，﹣4k+4＝0，
∴k＝1．
∴直線AB的表達(dá)式為：y＝x+4；
則∠ABO＝45°，故cs∠ABO＝；
對(duì)于y＝x2+2x，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，故點(diǎn)M（﹣2，﹣2）；
OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP＝AC或AC，
則，即，解得：yP＝2或4，
故點(diǎn)P（﹣2，2）或（0，4）；
故答案為：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；
（3）△AMQ的周長(zhǎng)＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
點(diǎn)A′（4，0），
設(shè)直線A′M的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得，
故直線A′M的表達(dá)式為：y＝x﹣，
令x＝0，則y＝﹣，故點(diǎn)Q（0，﹣）；
（4）存在，理由：
設(shè)點(diǎn)N（m，n），而點(diǎn)A、C、O的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①當(dāng)AC是邊時(shí)，
點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)C，同樣點(diǎn)O（N）向右平移6個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)N（O），
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故點(diǎn)N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②當(dāng)AC是對(duì)角線時(shí)，
由中點(diǎn)公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故點(diǎn)N（﹣2，6）；
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．

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