背景故事：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓．這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.
模型建立：當(dāng)點P在一個以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運動時，如圖所示：
易證：△BOP∽△POA， SKIPIF 1 < 0 ，∴對于圓上任意一點P都有 SKIPIF 1 < 0 .
對于任意一個圓，任意一個k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當(dāng)?shù)奈恢眠x取A、B點，則需 SKIPIF 1 < 0
?【技巧總結(jié)】計算 SKIPIF 1 < 0 的最小值時，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形
問題：在圓上找一點P使得 SKIPIF 1 < 0 的值最小，解決步驟具體如下：
①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點與圓心相連即OP，OB
②計算出這兩條線段的長度比 SKIPIF 1 < 0
③在OB上取一點C，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
④則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)A、P、C三點共線時可得最小值
例題精講
【例1】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連接AP，BP，則AP+BP的最小值為________.
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，P為⊙B上的動點，則PD+PC的最小值等于 ．
【變式1-2】．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，點E、F分別是邊AB、AC的中點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，則的最小值為 ．
【變式1-3】．如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心作半徑為4的圓交x軸正半軸于點A，點M的坐標(biāo)為（6，3），點N的坐標(biāo)為（8，0），點P在圓上運動．則PM+PN的最小值是 ．
【例2】．如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，點C在OA上，且OC＝2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為 ．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．⊙O半徑為2，AB，DE為兩條直線．作DC⊥AB于C，且C為AO中點，P為圓上一個動點．求2PC+PE的最小值．
【變式2-2】．如圖，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，點A在OD上，AD＝1，點B為OC的中點，點E是弧CD上的動點，則AE+2EB的最小值是 ．
【變式2-3】．如圖，等邊△ABC的邊長6，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則2PB+PC的最小值為 ．

1．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O，P為圓O上一動點，則PA+PB的最小值為 ．
2．如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中點，D是OB上一點，OD＝5，P是上一動點，則PC+PD的最小值為 ．
3．如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD為切線，AC＝1，BD＝2，P為弧AB上一動點，則PC+PD的最小值為 ．

4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O(shè)為圓心，4為半徑作圓O，交兩邊于點C，D，P為劣弧CD上一動點，則PA+PB最小值為 ．
5．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，M為AB上一點，且BM＝2，N為邊BC上一動點，連接MN，點B關(guān)于MN對稱，對應(yīng)點為P，連接PA，PC，則PA+2PC的最小值為 ．
6．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M點是BC的中點，A為圓心，AB為半徑的圓交AD于點E．點P在上運動，則PM+DP的最小值為 ．
7．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D為AC的中點，以A為圓心，AD為半徑作OA交AB于點E，P為劣弧DE上一動點，連接PB、PC，則PC+PB的最小值為 ．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限內(nèi)一動點，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是 ．
9．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半徑為1，M為⊙O上一動點，求AM+BM的最小值．
10．問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝12，⊙C半徑為6，P為圓上一動點，連接AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD＝3，則有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，
∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為 ．
（2）自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P為矩形內(nèi)部一點，且PB＝3，AP+PC的最小值為 ．
（3）拓展延伸：如圖4，扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
11．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則PD+PC的最小值為 ，PD﹣PC的最大值為 ．
（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．
12．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
已知平面上兩點A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點P會組成一個圓．這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．
阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．
【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點C（m，0），D（0，n），點P是平面內(nèi)一動點，且OP＝r，設(shè)＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：
第一步：如圖1，在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時CM即為所求的最小值．
下面是該題的解答過程（部分）：
解：在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任務(wù)：
（1）將以上解答過程補充完整．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動點，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出AD+BD的最小值．
13．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；
（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，那么PD+的最小值為 ，PD﹣的最大值為 ．
（3）如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，那么PD+的最小值為 ，PD﹣的最大值為 ．
14．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y＝﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．
（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式；
（2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標(biāo)；
（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當(dāng)點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標(biāo)；
②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求AM+CM它的最小值．
15．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點C（2，﹣3），且與x軸交于原點及點B（8，0）．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）求頂點A的坐標(biāo)及直線AB的表達式；
（3）判斷△ABO的形狀，試說明理由；
（4）若點P為⊙O上的動點，且⊙O的半徑為2，一動點E從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段AP勻速運動到點P，再以每秒1個單位長度的速度沿線段PB勻速運動到點B后停止運動，求點E的運動時間t的最小值．

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