?題型九 二次函數(shù)綜合題
類型三 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）
1.已知二次函數(shù)，其中．

(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，求此時函數(shù)圖像的頂點的坐標(biāo)；
(2)求證：二次函數(shù)的頂點在第三象限；
(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸的交點為，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)最大值為
【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可得到答案；
（2）先根據(jù)頂點坐標(biāo)公式求出頂點坐標(biāo)為，然后分別證明頂點坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)都小于0即可；
（3）設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，則其頂點坐標(biāo)為，然后求出點B的坐標(biāo)，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點在直線上推出，過點作，垂足為，可以推出,由此即可求解．
(1)
解：將代入，
解得．
由，則符合題意，
∴，
∴．
(2)
解：由拋物線頂點坐標(biāo)公式得頂點坐標(biāo)為．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴二次函數(shù)的頂點在第三象限．
(3)
解：設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，則其頂點坐標(biāo)為
當(dāng)時，，
∴．
將代入，
解得．
∵在軸的負(fù)半軸上，
∴．
∴．
過點作，垂足為，
∵，
∴．
在中，

,
∴當(dāng)時，此時，面積有最大值，最大值為．

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的最值問題，正確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點．、，與y軸交于點C．

（1）________，________；
（2）若點D在該二次函數(shù)的圖像上，且，求點D的坐標(biāo)；
（3）若點P是該二次函數(shù)圖像上位于x軸上方的一點，且，直接寫出點P的坐標(biāo)．
【答案】（1）-2，-3；（2）（，6）或（，6）；（3）（4，5）
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出△ABC的面積，設(shè)點D（m，），再根據(jù)，得到方程求出m值，即可求出點D的坐標(biāo)；
（3）分點P在點A左側(cè)和點P在點A右側(cè)，結(jié)合平行線之間的距離，分別求解．
【詳解】
解：（1）∵點A和點B在二次函數(shù)圖像上，
則，解得：，
故答案為：-2，-3；
（2）連接BC，由題意可得：
A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），，
∴S△ABC==6，
∵S△ABD=2S△ABC，設(shè)點D（m，），
∴，即，
解得：x=或，代入，
可得：y值都為6，
∴D（，6）或（，6）；

（3）設(shè)P（n，），
∵點P在拋物線位于x軸上方的部分，
∴n＜-1或n＞3，
當(dāng)點P在點A左側(cè)時，即n＜-1，
可知點C到AP的距離小于點B到AP的距離，
∴，不成立；
當(dāng)點P在點B右側(cè)時，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP為底，若要面積相等，
則點B和點C到AP的距離相等，即BC∥AP，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+p，
則，解得：，
則設(shè)直線AP的解析式為y=x+q，將點A（-1，0）代入，
則-1+q=0，解得：q=1，
則直線AP的解析式為y=x+1，將P（n，）代入，
即，
解得：n=4或n=-1（舍），
，
∴點P的坐標(biāo)為（4，5）．

【點睛】
本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積，平行線之間的距離，一次函數(shù)，解題的難點在于將同底的三角形面積轉(zhuǎn)化為點到直線的距離．
3.已知：直線與軸、軸分別交于、兩點，點為直線上一動點，連接，為銳角，在上方以為邊作正方形，連接，設(shè)．
（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）真接寫出點的坐標(biāo)（用含的式子表示）；
（3）若，經(jīng)過點的拋物線頂點為，且有，的面積為．當(dāng)時，求拋物線的解析式．

【答案】（1）BE⊥AB，理由見解析；（2）（）；（3）
【分析】
（1）先求出點A、B的坐標(biāo)，則可判斷△AOB是等腰直角三角形，然后結(jié)合正方形的旋轉(zhuǎn)可證明△AOC≌△BOE（SAS），可得∠OBE=∠OAC=45°，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）作輔助線如圖1（見解析），根據(jù)正方形的性質(zhì)可證△MOC≌△NEO，可得CM=ON，OM=EN，由（1）的結(jié)論可得AC=BE=t，然后解等腰直角△ACM，可求出，進(jìn)而可得答案；
（3）由拋物線過點A結(jié)合已知條件可求出拋物線的對稱軸是直線x=2，然后由（2）可求出當(dāng)時k=1，進(jìn)一步即可求出點P的縱坐標(biāo)，從而可得頂點P的坐標(biāo)，于是問題可求解．
【詳解】
解：（1）BE⊥AB，理由如下：
對于直線y=-x+1，當(dāng)x=0時，y=1，當(dāng)y=0時，x=1，
∴B（0，1），A（1，0），
∴OA=OB=1，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵四邊形OCDE是正方形，
∴OC=OE，∠COE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOE，
∴△AOC≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAC=45°，
∴∠EBC=∠EBO+∠OBA=45°+45°=90°，
即BE⊥AB；
（2）作CM⊥OA于點M，作EN⊥x軸于點N，如圖1，則∠CMO=∠ENO=90°，
∵∠EON+∠NEO=∠EON+∠COM=90°，
∴∠NEO=∠COM，
又∵OC=OE，
∴△MOC≌△NEO，
∴CM=ON，OM=EN，
在△ACM中，∠CMA=90°，∠MAC=45°，AC=BE=t，
∴，
∴，
∵點E在第二象限，
∴點E的坐標(biāo)是（）；

（3）∵拋物線過點A（1，0），
∴a+b+c=0，
∵，
∴消去c可得b=-4a，
∴拋物線的對稱軸是直線x=2，
如圖1，當(dāng)時，由（2）可得，
∴，
∴，
∴，即k=1，
∴△POA的面積為，
即，解得，
∵a＞0，
∴頂點P的縱坐標(biāo)是-1，
∴點P（2，-1），
設(shè)，
把點A（1，0）代入，可求得a=1，
∴拋物線的解析式是．
【點睛】
本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，具有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于、、三點，其中點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，連接、．動點從點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點做勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點做勻速運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點隨之停止運動，連接，設(shè)運動時間為秒．

（1）求、的值；
（2）在、運動的過程中，當(dāng)為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？
（3）在線段上方的拋物線上是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值為4；（3）（，）
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點P作PE⊥x軸，垂足為E，利用S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；
（3）畫出圖形，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出t值，即可算出M的坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0），B（-1，0），
則，
解得：；
（2）由（1）得：拋物線表達(dá)式為y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，由點P的運動可知：
AP=，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，
∴AE=PE==t，即E（3-t，0），
又Q（-1+t，0），
∴S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ
=
=
∵當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點隨之停止運動，
AC=，AB=4，
∴0≤t≤3，
∴當(dāng)t==2時，四邊形BCPQ的面積最小，即為=4；

（3）∵點M是線段AC上方的拋物線上的點，
如圖，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，
∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，
∴∠PMF=∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，
∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，
∴點M的坐標(biāo)為（3-2t，4-t），
∵點M在拋物線y=-x2+2x+3上，
∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，
解得：t=或（舍），
∴M點的坐標(biāo)為（，）．

【點睛】
本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點D與點C關(guān)于直線l對稱，點P為直線AD下方拋物線上一動點，連接PA，PD，求面積的最大值；
（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線AD平移個單位，得到新的拋物線，點E為點P的對應(yīng)點，點F為的對稱軸上任意一點，在上確定一點G，使得以點D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G的坐標(biāo)，并任選其中一個點的坐標(biāo)，寫出求解過程．
【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，過程見解析
【分析】
（1）將，的坐標(biāo)代入函數(shù)式利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先得出拋物線的對稱軸，作PE∥y軸交直線AD于E，設(shè)P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面積即可求出最大面積；
（3）通過平移距離為，轉(zhuǎn)化為向右平移4個單位，再向下平移4個單位，根據(jù)平移變化得出平移后的拋物線關(guān)系式和E的坐標(biāo)，分DE為對角線、EG為對角線、EF為對角線三種情況進(jìn)行討論即可．
【詳解】
解：（1）將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得
，解得：，
∴該拋物線的解析式為y=x2-3x-4，
（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，
∴C（0，-4），
拋物線y=x2-3x-4的對稱軸l為
∵點D與點C關(guān)于直線l對稱，
∴D（3，-4），
∵A（-1，0），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b；
∴，解得：，
∴直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-1，
設(shè)P（m，m2-3m-4），
作PE∥y軸交直線AD于E，
∴E（m，-m-1），
∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，
∴，
∴，
∴當(dāng)m=1時，的面積最大，最大值為：8

（3）∵直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-1，
∴直線AD與x軸正方向夾角為45°，
∴拋物線沿射線AD方向平移平移個單位，相當(dāng)于將拋物線向右平移4個單位，再向下平移4個單位，
∵，，平移后的坐標(biāo)分別為（3，-4），（8，-4），
設(shè)平移后的拋物線的解析式為
則，解得：，
∴平移后y1=x2-11x+20，
∴拋物線y1的對稱軸為：，
∵P（1，-6），
∴E（5，-10），
∵以點D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：
設(shè)G（n，n2-11n+20），F(xiàn)（，y），
①當(dāng)DE為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分
∴，∴
∴
②當(dāng)EF為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分
∴，∴
∴
③當(dāng)EG為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分
∴，∴
∴
∴或或
【點睛】
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式和最值問題，求三角形的面積，以及平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想．
5.如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+（a+1）x﹣a與x軸交于A、B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C，已知△BAC的面積是6．
（1）求a的值；
（2）在拋物線上是否存在一點P，使S△ABP＝S△ABC．若存在請求出P坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

【分析】
（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐標(biāo)結(jié)合三角形的面積，解出a＝﹣3；
（2）根據(jù)題意P的縱坐標(biāo)為±3，分別代入解析式即可求得橫坐標(biāo)，從而求得P的坐標(biāo)．
【解析】
（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x＝0，則y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由圖象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴（1﹣a）（﹣a）＝6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）∵a＝﹣3，
∴C（0，3），
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P點的縱坐標(biāo)為±3，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1或x＝﹣1，
∴P點的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）．
6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，且OA＝2OC＝8OB．點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）若PC∥AB，求點P的坐標(biāo)；
（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)．

【分析】
（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB，確定點A、B、C的坐標(biāo)；即可求解；
（2）拋物線的對稱軸為x，當(dāng)PC∥AB時，點P、C的縱坐標(biāo)相同，即可求解；
（3）△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHCPH×OA，即可求解．
【解析】
（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB，
故點A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；
則y＝a（x+4）（x）＝a（x2x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2x﹣2；
（2）拋物線的對稱軸為x，
當(dāng)PC∥AB時，點P、C的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)函數(shù)的對稱性得點P（，﹣2）；
（3）過點P作PH∥y軸交AC于點H，

由點A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：yx﹣2，
則△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHCPH×OA4×（x﹣2﹣x2x+2）＝﹣2（x+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，當(dāng)x＝﹣2時，S的最大值為8，此時點P（﹣2，﹣5）．
8.若一次函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，點B的坐標(biāo)為（3，0），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過A，B，C三點，如圖（1）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖（1），過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，點E在拋物線上（y軸左側(cè)），若BC恰好平分∠DBE．求直線BE的表達(dá)式；
（3）如圖（2），若點P在拋物線上（點P在y軸右側(cè)），連接AP交BC于點F，連接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①當(dāng)m時，求點P的坐標(biāo)；
②求m的最大值．

【分析】
（1）函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，則點A、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，﹣3），將點A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）證明△BCD≌△BCM（AAS），則CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故點M（0，﹣1），即可求解；
（3）過點P作PN∥x軸交BC于點N，則△PFN∽△AFB，則，而S△BFP＝mS△BAF，則，解得：mPN，即可求解．
【解析】
（1）一次函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，則點A、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，﹣3），將點A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）設(shè)直線BE交y軸于點M，

從拋物線表達(dá)式知，拋物線的對稱軸為x＝2，
∵CD∥x軸交拋物線于點D，故點D（2，﹣3），
由點B、C的坐標(biāo)知，直線BC與AB的夾角為45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°，
∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，
而BC＝BC，
故△BCD≌△BCM（AAS），
∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故點M（0，﹣1），
設(shè)直線BE的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得，
故直線BE的表達(dá)式為：yx﹣1；
（3）過點P作PN∥x軸交BC于點N，

則△PFN∽△AFB，則，
而S△BFP＝mS△BAF，則，解得：mPN，
①當(dāng)m時，則PN＝2，
設(shè)點P（t，t2﹣2t﹣3），
由點B、C的坐標(biāo)知，直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣3，當(dāng)x＝t﹣2時，y＝t﹣5，故點N（t﹣2，t﹣5），
故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，
解得：t＝1或2，故點P（2，﹣3）或（1，﹣4）；
②mPN[t﹣（t2﹣2t）]（t）2，
∵0，故m的最大值為．
9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），且A點坐標(biāo)為（，0），直線BC的解析式為yx+2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點A作AD∥BC，交拋物線于點D，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點E的坐標(biāo)；
（3）將拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移個單位，已知點M為拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點．在（2）中，當(dāng)四邊形BECD的面積最大時，是否存在以A，E，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【分析】
（1）利用直線BC的解析式求出點B、C的坐標(biāo)，則y＝ax2+bx+2＝a（x）（x﹣3）＝ax2﹣2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a，即可求解；
（2）四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCDEF×OB（xD﹣xC）×BH，即可求解；
（3）分AE是平行四邊形的邊、AE是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．
【解析】
（1）直線BC的解析式為yx+2，令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝2，
故點B、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，2）；
則y＝ax2+bx+2＝a（x）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣6）＝ax2﹣2a﹣6a，
即﹣6a＝2，解得：a，
故拋物線的表達(dá)式為：yx2x+2①；
（2）如圖，過點B、E分別作y軸的平行線分別交CD于點H，交BC于點F，

∵AD∥BC，則設(shè)直線AD的表達(dá)式為：y（x）②，
聯(lián)立①②并解得：x＝4，故點D（4，），
由點C、D的坐標(biāo)得，直線CD的表達(dá)式為：yx+2，
當(dāng)x＝3時，yBCx+2＝﹣2，即點H（3，﹣2），故BH＝2，
設(shè)點E（x，x2x+2），則點F（x，x+2），
則四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCDEF×OB（xD﹣xC）×BH（x2x+2x﹣2）×342x2+3x+4，
∵0，故S有最大值，當(dāng)x時，S的最大值為，此時點E（，）；
（3）存在，理由：
yx2x+2（x）2，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移個單位，
則新拋物線的表達(dá)式為：yx2，
點A、E的坐標(biāo)分別為（，0）、（，）；設(shè)點M（，m），點N（n，s），sn2；
①當(dāng)AE是平行四邊形的邊時，
點A向右平移個單位向上平移個單位得到E，同樣點M（N）向右平移個單位向上平移個單位得到N（M），
即±n，
則sn2或，
故點N的坐標(biāo)為（，）或（，）；
②當(dāng)AE是平行四邊形的對角線時，
由中點公式得：n，解得：n，
sn2，
故點N的坐標(biāo)（，）；
綜上點N的坐標(biāo)為：（，）或（，）或（，）．
10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點P為直線AB下方拋物線上的任意一點，連接PA，PB，求△PAB面積的最大值；
（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點E，使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【分析】
（1）將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）△PAB面積SPH×（xB﹣xA）（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）x2x，即可求解；
（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可．
【解析】
（1）將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+4x﹣1；
（2）設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝kx+t，則，解得，
故直線AB的表達(dá)式為：y＝x﹣1，
過點P作y軸的平行線交AB于點H，

設(shè)點P（x，x2+4x﹣1），則H（x，x﹣1），
△PAB面積SPH×（xB﹣xA）（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）x2x，
∵0，故S有最大值，當(dāng)x時，S的最大值為；
（3）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
則平移后的拋物線表達(dá)式為：y＝x2﹣5，
聯(lián)立上述兩式并解得：，故點C（﹣1，﹣4）；

設(shè)點D（﹣2，m）、點E（s，t），而點B、C的坐標(biāo)分別為（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①當(dāng)BC為菱形的邊時，
點C向右平移1個單位向上平移3個單位得到B，同樣D（E）向右平移1個單位向上平移3個單位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
當(dāng)點D在E的下方時，則BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
當(dāng)點D在E的上方時，則BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
聯(lián)立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故點E（﹣1，3）；
聯(lián)立②④并解得：s＝1，t＝﹣4±，故點E（1，﹣4）或（1，﹣4）；
②當(dāng)BC為菱形的的對角線時，
則由中點公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此時，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
聯(lián)立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故點E（1，﹣3），
綜上，點E的坐標(biāo)為：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4）或（1，﹣3）．
11.已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連結(jié)BC，且tan∠CBD，如圖所示．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一個動點．
①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；
②連結(jié)PB，求PC+PB的最小值．

【分析】
（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），可得對稱軸為直線x＝2，由銳角三角函數(shù)可求點C坐標(biāo)，代入解析式可求解析式；
（2）①先求出直線BC解析式，設(shè)P（2，t），可得點E（5t，t），點，可求EF的長，由三角形面積公式和二次函數(shù)性質(zhì)可求解；
②根據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，過點P作PG⊥AC于G，可得PGPC，可得，過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PH≥BH，即BH是PC+PB的最小值，由三角形面積公式可求解．
【解析】
（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∴D（2，0），
又∵，
∴CD＝BD?tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入拋物線的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得 ，
∴二次函數(shù)的解析式為 x2；
（2）①設(shè)P（2，t），其中0＜t＜4，
設(shè)直線BC的解析式為 y＝kx+b，
∴，
解得
即直線BC的解析式為 ，
令y＝t，得：，
∴點E（5t，t），
把 代入，得 ，
即，
∴，
∴△BCF的面積EF×BD（t），
∴當(dāng)t＝2時，△BCF的面積最大，且最大值為；
②如圖，連接AC，根據(jù)圖形的對稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，

∴，
過點P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，，
∴，
過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PH≥BH，
∴線段BH的長就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，
即，
∴的最小值為．
12.如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過兩點A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，設(shè)△PBC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式（指出自變量m的取值范圍）和S的最大值；
（3）點M在拋物線上運動，點N在y軸上運動，是否存在點M、點N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請求出點M和點N的坐標(biāo)．

【分析】
（1）根據(jù)點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）過點P作PF∥y軸，交BC于點F，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點C的坐標(biāo)，根據(jù)點B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），則點F的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），進(jìn)而可得出PF的長度，利用三角形的面積公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC面積的最大值；
（3）分兩種不同情況，當(dāng)點M位于點C上方或下方時，畫出圖形，由相似三角形的性質(zhì)得出方程，求出點M，點N的坐標(biāo)即可．
【解析】
（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：，解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6．
（2）過點P作PF∥y軸，交BC于點F，如圖1所示．

當(dāng)x＝0時，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴點C的坐標(biāo)為（0，6）．
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+c，
將B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
，解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6．
∵點P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，
∴點P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），則點F的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S△PBCPF?OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m）2，
∴當(dāng)m時，△PBC面積取最大值，最大值為．
∵點P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，
∴0＜m＜3．
（3）存在點M、點N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似．
如圖2，∠CMN＝90°，當(dāng)點M位于點C上方，過點M作MD⊥y軸于點D，

∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN與△OBC相似，則△MCD與△OBC相似，
設(shè)M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
當(dāng)時，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此時NDDM，
∴N（0，），
當(dāng)時，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴，
解得a，
∴M（，），
此時N（0，）．
如圖3，當(dāng)點M位于點C的下方，

過點M作ME⊥y軸于點E，
設(shè)M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或2，△CMN與△OBC相似，
解得a或a＝3，
∴M（，）或M（3，0），
此時N點坐標(biāo)為（0，）或（0，）．
綜合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，），使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似．
13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線yx﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A、B兩點的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于另一點C（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，請求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）點M為直線AB下方拋物線上一點，點N為y軸上一點，當(dāng)△MAB的面積最大時，求MNON的最小值．

【分析】
（1）先求出點A，點B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；
（2）分兩種情況討論，利用平行線之間的距離相等，可求OP解析式，EP''的解析式，聯(lián)立方程組可求解；
（3）過點M作MF⊥AC，交AB于F，設(shè)點M（m，m2m﹣2），則點F（m，m﹣2），可求MF的長，由三角形面積公式可求△MAB的面積＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求點M坐標(biāo)，過點O作∠KOB＝30°，過點N作KN⊥OK于K點，過點M作MR⊥OK于R，延長MF交直線KO于Q，由直角三角形的性質(zhì)可得KNON，可得MNON＝MN+KN，則當(dāng)點M，點N，點K三點共線，且垂直于OK時，MNON有最小值，即最小值為MP，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【解析】
（1）∵直線yx﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A（4，0），點B（0，﹣2），
設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a，
∴拋物線解析式為：y（x+1）（x﹣4）x2x﹣2；
（2）如圖，當(dāng)點P在直線AB上方時，過點O作OP∥AB，交拋物線與點P，

∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABP是等底等高的兩個三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直線PO的解析式為yx，
聯(lián)立方程組可得，
解得：或，
∴點P（2+2，1）或（2﹣2，1）；
當(dāng)點P''在直線AB下方時，在OB的延長線上截取BE＝OB＝2，過點E作EP''∥AB，交拋物線于點P''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△ABP''＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且過點E（0，﹣4），
∴直線EP''解析式為yx﹣4，
聯(lián)立方程組可得，
解得，
∴點P''（2，﹣3），
綜上所述：點P坐標(biāo)為（2+2，1）或（2﹣2，1）或（2，﹣3）；
（3）如圖2，過點M作MF⊥AC，交AB于F，

設(shè)點M（m，m2m﹣2），則點F（m，m﹣2），
∴MFm﹣2﹣（m2m﹣2）（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面積4×[（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴當(dāng)m＝2時，△MAB的面積有最大值，
∴點M（2，﹣3），
如圖3，過點O作∠KOB＝30°，過點N作KN⊥OK于K點，過點M作MR⊥OK于R，延長MF交直線KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KNON，
∴MNON＝MN+KN，
∴當(dāng)點M，點N，點K三點共線，且垂直于OK時，MNON有最小值，即最小值為MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直線OK解析式為yx，
當(dāng)x＝2時，點Q（2，2），
∴QM＝23，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PMQM，
∴MNON的最小值為．


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