【例1】．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動點(diǎn)，PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________
解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝×0+4＝4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；
當(dāng)y＝0時(shí)，x+4＝0，
解得：x＝﹣6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．
∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，2），點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2）．
作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD的值最小，如圖所示．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，2），
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2）．
設(shè)直線C′D的解析式為y＝kx+b（k≠0），
將C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直線C′D的解析式為y＝x+2．
當(dāng)y＝0時(shí)，x+2＝0，
解得：x＝﹣，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0），
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1.5，0）．
?變式訓(xùn)練
【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線y＝（x＞0）上的一個動點(diǎn)，PB⊥y軸于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，四邊形OAPB的面積將會（ ）
A．逐漸增大B．不變
C．逐漸減小D．先增大后減小
解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），
∵PB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個定點(diǎn)，
∴四邊形OAPB是個直角梯形，
∴四邊形OAPB的面積＝（PB+AO）?BO＝（x+AO）?＝+＝+?，
∵AO是定值，
∴四邊形OAPB的面積是個減函數(shù)，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)四邊形OAPB的面積逐漸減?。?br>故選：C．
【變1-2】．如圖，一次函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在以C（2，0）為圓心，半徑為1的⊙C上，N是AM的中點(diǎn)，已知ON長的最大值為，則k的值是 ．
解：方法一、聯(lián)立，
∴，
∴，
∴A（），B（），
∴A與B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，
∴O是線段AB的中點(diǎn)，
∵N是線段AM的中點(diǎn)，
連接BM，則ON∥BM，且ON＝，
∵ON的最大值為，
∴BM的最大值為3，
∵M(jìn)在⊙C上運(yùn)動，
∴當(dāng)B，C，M三點(diǎn)共線時(shí)，BM最大，
此時(shí)BC＝BM﹣CM＝2，
∴（，
∴k＝0或，
∵k＞0，
∴，
方法二、設(shè)點(diǎn)B（a，2a），
∵一次函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，
∴A與B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，
∴O是線段AB的中點(diǎn)，
∵N是線段AM的中點(diǎn)，
連接BM，則ON∥BM，且ON＝，
∵ON的最大值為，
∴BM的最大值為3，
∵M(jìn)在⊙C上運(yùn)動，
∴當(dāng)B，C，M三點(diǎn)共線時(shí)，BM最大，
此時(shí)BC＝BM﹣CM＝2，
∴＝2，
∴a1＝或a2＝0（不合題意舍去），
∴點(diǎn)B（，），
∴k＝，
故答案為：．
【例2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB，BC分別相交于M，N 兩點(diǎn)．△OMN的面積為10．若動點(diǎn)P在x軸上，則PM+PN的最小值是 2 ．
解：∵正方形OABC的邊長是6，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為6，
∴M（6，），N（，6），
∴BN＝6﹣，BM＝6﹣，
∵△OMN的面積為10，
∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×（6﹣）2＝10，
∴k＝24，
∴M（6，4），N（4，6），
作M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′，連接NM′交x軸于P，則NM′的長＝PM+PN的最小值，
∵AM＝AM′＝4，
∴BM′＝10，BN＝2，
∴NM′＝＝＝2，
故答案為2．
?變式訓(xùn)練
【變2-1】．已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（0，1），B（﹣1，0），動點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝的圖象上運(yùn)動，當(dāng)線段PA與線段PB之差的絕對值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （1，2）或（﹣2，﹣1） ．
解：如圖，
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，
將A（0，1）、B（﹣1，0）代入，得：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為y＝x+1，
直線AB與雙曲線y＝的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)|PA﹣PB|＝AB，即線段PA與線段PB之差的絕對值取得最大值，
由可得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或（﹣2，﹣1），
故答案為：（1，2）或（﹣2，﹣1）．
【變2-2】．如圖，一次函數(shù)y1＝mx+n（m≠0）的圖象與雙曲線y2＝（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在y軸負(fù)半軸上存在若干個點(diǎn)P，使得△CPB為等腰三角形．請直接寫出P點(diǎn)所有可能的坐標(biāo)．
解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，2）在雙曲線y2＝（k≠0）上，
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函數(shù)解析式為y2＝﹣，
（2）∵點(diǎn)B在雙曲線y2＝﹣上，
∴2b＝﹣2，
∴b＝﹣1，
∴B（2，﹣1），
將點(diǎn)A（﹣1，2），B（2，1）代入一次函數(shù)y1＝mx+n（m≠0）中，得，
∴，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+1；
令x＝0，則y＝1，
∴C（0，1），
設(shè)P（0，p）（p＜0），
∵B（2，﹣1），
∴BC＝＝2，BP＝，CP＝1﹣p，
∵△CPB為等腰三角形，
∴①當(dāng)BC＝BP時(shí)，2＝，
∴p＝1（舍）或p＝﹣3，
∴P（0，﹣3），
②當(dāng)BC＝CP時(shí)，2＝1﹣p，
∴p＝1﹣2，
∴P（0，1﹣2），
③當(dāng)BP＝CP時(shí)，＝1﹣p，
∴p＝﹣1，
∴P（0，﹣1），故滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（0，1﹣2）或（0，﹣1）．

1．如圖，點(diǎn)N是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN∥x軸，交直線y＝﹣2x+4于點(diǎn)M，則△OMN面積的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，m），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣m，m）（m＞0），
∴MN＝﹣（2﹣m）＝m+﹣2，
∴S△OMN＝MN?m＝m2﹣m+3＝（m﹣2）2+2，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，△OMN面積最小，最小值為2．
故選：B．
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，動點(diǎn)P、Q分別在直線BC上運(yùn)動，且始終保持∠PAQ＝99°．設(shè)BP＝x，CQ＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（ ）
A．B．
C．D．
解：∵AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣18°）＝81°，
∴∠ABC＝∠APB+∠PAB＝81°，
∵∠PAQ＝99°，∠BAC＝18°，
∴∠PAB+∠QAC＝99°﹣18°＝81°，
∴∠APB＝∠QAC，
同理可得∠PAB＝∠AQC，
∴△APB∽△QAC，
∴＝，
即＝，
整理得，y＝，
∵x、y都是邊的長度，是正數(shù)，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的部分，
縱觀各選項(xiàng)，只有A符合．
故選：A．
3．如圖，已知A、B是反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，BC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C，動點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，沿O→A→B→C勻速運(yùn)動，終點(diǎn)為C，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M、N．設(shè)四邊形OMPN的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
解：①點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí)，此時(shí)四邊形OMPN的面積S＝K，保持不變，故排除B、D；
②點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時(shí)，設(shè)路線O→A→B→C的總路程為l，點(diǎn)P的速度為a，則S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因?yàn)閘，OC，a均是常數(shù)，
所以S與t成一次函數(shù)關(guān)系．故排除C．
故選：A．
4．已知點(diǎn)A是雙曲線y＝在第一象限上的一動點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為一邊作等邊△ABC．隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但始終在一個函數(shù)的圖象上運(yùn)動，則這個函數(shù)的表達(dá)式為 y＝﹣ ．
解：設(shè)A（a，），
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OA＝OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC＝AO，
∵AO＝，
∴CO＝，
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
則可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則tan∠AOD＝tan∠OCD，即＝，
解得：y＝﹣a2x，
在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，
將y＝﹣a2x代入，（a4+1）x2＝3×
可得：x2＝，
故x＝，y＝﹣a2x＝﹣a，
則xy＝﹣3，
故可得：y＝﹣（x＞0）．
故答案為：y＝﹣（x＞0）．
5．如圖，點(diǎn)P是雙曲線C：y＝（x＞0）上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB：y＝x﹣2于點(diǎn)Q，連接OP，OQ．當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動，且點(diǎn)P在Q的上方時(shí)，△POQ面積的最大值是 3 ．
解：∵PQ⊥x軸，
∴設(shè)P（x，），則Q（x，x﹣2），
∴PQ＝﹣x+2，
∴S△POQ＝（﹣+2）?x＝﹣（x﹣2）2+3，
∵﹣＜0，
∴△POQ面積有最大值，最大值是3，
故答案為3．
6．如圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）圖象上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AB距離最短時(shí)的坐標(biāo)為 （，） ．
解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝ax+b，
將點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，2）代入得，
解得，
∴直線AB為y＝﹣2x+2；
∵過點(diǎn)C作CD⊥x軸，
∵線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，
∴C（3，1），
∴k＝3，
∴y＝；
設(shè)與AB平行的直線y＝﹣2x+h，
聯(lián)立﹣2x+h＝，
∴﹣2x2+hx﹣3＝0，
當(dāng)△＝h2﹣24＝0時(shí)，h＝2或﹣2（舍棄），此時(shí)點(diǎn)P到直線AB距離最短，
解方程﹣2x2+2x﹣3＝0得x＝＝，
∴P（，），
故答案為P（，）．
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上運(yùn)動，且始終保持線段AB＝4的長度不變．M為線段AB的中點(diǎn)，連接OM．則線段OM長度的最小值是 （用含k的代數(shù)式表示）．
解：如圖，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)關(guān)于直線y＝x對稱，觀察圖象可知：當(dāng)線段AB與直線y＝x垂直時(shí)，垂足為M，此時(shí)AM＝BM，OM的值最小，
∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，
∴OA＝OB，
∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x對稱，
∵AB＝4，
∴可以假設(shè)A（m，），則B（m+4，﹣4），
∴（m+4）（﹣4）＝k，
整理得k＝m2+4m，
∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM＝＝＝，
∴OM的最小值為．
故答案為．
8．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B．連接AO，以點(diǎn)A為圓心，分別以AB，AO為半徑作直角扇形BAC和OAD，并連接CD，則陰影部分面積的最小值是 2π+2 ．
解：如圖，過點(diǎn)D作DE垂直于CA的延長線于點(diǎn)E，則∠AED＝90°，
由題意可知，AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠DAO＝90°，
∵AB⊥y軸，
∴∠ABO＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，∠DAE+∠OAE＝90°，
∴∠BAO＝∠DAE，
∴△BAO≌△EAD（AAS），
∴DE＝OB．
∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象上的一點(diǎn)，
∴OB?AB＝4，
∴S△AOB＝OB?AB＝2，
∴S△ACD＝AC?DE＝OB?AB＝2，
∴S陰影＝S△ACD+S扇形OAD
＝2+
＝2+
∵（AB﹣OB）2≥0，
∴AB2﹣2AB?OB+OB2≥0，
∴AB2+OB2≥2AB?OB，
∴S陰影≥2+×2AB?OB＝2+2π．
故答案為：2+2π．
9．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（k＞0）圖象第一象限上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于B點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好與y軸相切，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，在AB的左側(cè)半圓上有一動點(diǎn)D，連接CD交AB于點(diǎn)E．記△BDE的面積為S1，△ACE的面積為S2，連接BC，△ACB是 等腰直角 三角形，則若S1﹣S2的值最大為1，則k的值為 4+4 ．
解：如圖連接BC、O′C，作CH⊥x軸于H．
由題意⊙O′與反比例函數(shù)圖象均關(guān)于直線y＝x對稱，
∴點(diǎn)A、C關(guān)于直線y＝x對稱，設(shè)A（m，2m）則C（2m，m），
∴BO′＝CH＝m，BO′∥CH，
∴四邊形BHCO′是平行四邊形，∵BH＝CH，∠BHC＝90°，
∴四邊形BHCO′是正方形．
∴∠ABC＝45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∵S1﹣S2＝S△DBC﹣S△ACB，△ABC的面積是定值，
∴△DBC的面積最大時(shí)，S1﹣S2的值最大，
∴當(dāng)DO′⊥BC時(shí)，△DBC 的面積最大，
∴m?（m+m）﹣?2m?m＝1，
∴m2＝2（+1），
∵k＝2m2，
∴k＝4+4，
故答案為：等腰直角三角形，4+4．
10．如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，P為x軸上一點(diǎn)，求使PA+PB的值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則由，得ab＝2＝k，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
（2）由條件知：兩函數(shù)的交點(diǎn)為，
解得：，，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1），
作出A點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)C點(diǎn)，連接BC，
P點(diǎn)即是所求則點(diǎn)C（2，﹣1），
∵B（1，2），
設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，
，
解得：，
∴直線BC的解析式為：y＝﹣3x+5，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，
∴點(diǎn)P（，0）．
11．如圖，正比例函數(shù)y＝2x的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，連接BC，若△ABC面積為 2．
（1）求k的值
（2）x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ABD是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
解：（1）∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面積＝△AOC的面積＝2÷2＝1，
又∵A是反比例函數(shù)y＝圖象上的點(diǎn)，且AC⊥x軸于點(diǎn)C，
∴△AOC的面積＝|k|，
∴|k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝2．
故這個反比例函數(shù)的解析式為y＝；
（2）x軸上存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形．
將y＝2x與y＝聯(lián)立成方程組得：
，
解得：，，
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），
∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形
∴∠ADB＝90°，如圖3，
∵O為線段AB的中點(diǎn)，
∴OD＝AB＝OA，
∵A（1，2），
∴OC＝1，AC＝2，
由勾股定理得：OA＝＝，
∴OD＝，
∴D（，0）．
根據(jù)對稱性，當(dāng)D為直角頂點(diǎn)，且D在x軸負(fù)半軸時(shí)，D（﹣，0）．
故x軸上存在一點(diǎn)D，使△ABD以AB為斜邊的直角三角形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）或（﹣，0）．
12．如圖，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A（1，a），B兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點(diǎn)C，使|CA﹣CB|的值最大，求滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積．
解：（1）∵直線y＝x+2經(jīng)過點(diǎn)A（1，a），
∴a＝3，
∵反比例函數(shù)y＝經(jīng)過A（1，3），
∴k＝3，
∴y＝，
由，解得或，
∴B（﹣3，﹣1）．
（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，延長AB′交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求；
∵A（1，3），B′（﹣3，1），
∴直線AB′的解析式為y＝x+，
∴C（﹣5，0），
∴S△ABC＝S△CBB′+S△BB′A＝×2×2+×2×4＝6．
13．如圖，一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，n），B兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式與點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）連接AO、BO，求△AOB的面積；
（3）點(diǎn)D是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)∠BAD＝90°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，n）在一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象上，
∴n＝﹣5，
∴點(diǎn)A（﹣1，﹣5），
∵點(diǎn)A（﹣1，﹣5）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴k＝﹣1×（﹣5）＝5，
∴；
聯(lián)立，
解得：，，
∴點(diǎn)；
（2）設(shè)y＝2x﹣3與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E，則點(diǎn)E（0，﹣3），
∴OE＝3，
∴S△AOB＝S△AOE+S△BOE＝×3×1+×3×＝；
（3）設(shè)點(diǎn)，
如圖，分別過點(diǎn)D，B作y軸的平行線DM，BN，過點(diǎn)A作MN⊥DM于M，交BN于N，則MN⊥BN，
∴∠M＝∠N＝90°，
∴∠DAM+∠ADM＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAN+∠DAM＝90°，
∴∠BAN＝∠ADM，
∴△BAN∽△ADM，
∴＝，即＝，
解得：a1＝﹣10，a2＝﹣1（舍），
∴．
14．如圖，直線y＝2x+3與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D（a，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PB+PD最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵BC⊥x軸于點(diǎn)C，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
∴在直線y＝2x+3中，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2+3＝5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），
又∵點(diǎn)B（1，5）在反比例函數(shù)y＝上，
∴k＝1×5＝5，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝；
（2）將點(diǎn)D（a，1）代入y＝，得：a＝5，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，1）
設(shè)點(diǎn)D（5，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D′（5，﹣1），
過點(diǎn)B（1，5）、點(diǎn)D′（5，﹣1）的直線解析式為：y＝kx+b，
可得：，
解得：，
∴直線BD′的解析式為：y＝﹣x+，
根據(jù)題意知，直線BD′與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，
當(dāng)y＝0時(shí)，得：﹣x+＝0，解得：x＝，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．
15．如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F(xiàn)是AB上的一個動點(diǎn)（F不與A，B重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與BC邊交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）設(shè)過（1）中的直線EF的解析式為y＝ax+b，直接寫出不等式ax+b＜的解集．
（3）當(dāng)k為何值時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積是多少？
解：
（1）∵四邊形OABC為矩形，OA＝3，OC＝2，
∴AB＝2，BC＝3，
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，1），
∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝，
∵點(diǎn)E在BC上，
∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，
在y＝中，令y＝2，可求x＝，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）；
（2）不等式ax+b＜的解集即直線在反比例函數(shù)下方時(shí)對應(yīng)的自變量的取值范圍，
由（1）可知點(diǎn)E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、3，
∴不等式ax+b＜的解集為：0＜x＜或x＞3；
（3）由題意可知點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為為2，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，且E、F在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，
∴可設(shè)E（，2），F(xiàn)（3，），
∴AF＝，CE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，
∴S△AEF＝AF?BE＝??（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴S△AEF是關(guān)于k的開口向下的拋物線，
∴當(dāng)k＝3時(shí)，S△AEF有最大值，最大值為，
即當(dāng)k的值為3時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積為．
16．如圖，直線OA：y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最?。?br>解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），
則，解得：k＝2．
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．
（2）聯(lián)立直線OA和反比例函數(shù)解析式得：
，解得：．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）．
設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣1），連接BC較x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．如圖所示．
設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，
由題意可得：B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），
∴，解得：．
∴BC的解析式為y＝﹣3x+5．
當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣3x+5，解得：x＝．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）．
17．已知：如圖，一次函數(shù)y＝﹣2x+10的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A、B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4．
（1）求反比例函數(shù)解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）觀察圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集；
（3）反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）把x＝4代入y＝﹣2x+10得y＝2，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，
解方程組，得，或，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，8）；
（2）觀察圖象得，關(guān)于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集為：1＜x＜4或x＜0；
（3）存在，
理由：①若∠BAP＝90°，
過點(diǎn)A作AH⊥OE于H，設(shè)AP與x軸的交點(diǎn)為M，如圖1，
對于y＝﹣2x+10，
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣2x+10＝0，解得x＝5，
∴點(diǎn)E（5，0），OE＝5．
∵A（4，2），
∴OH＝4，AH＝2，
∴HE＝5﹣4＝1．
∵AH⊥OE，
∴∠AHM＝∠AHE＝90°．
又∵∠BAP＝90°，
∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，
∴∠MAH＝∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴，即，
∴MH＝4，
∴M（0，0），
可設(shè)直線AP的解析式為y＝mx，
則有4m＝2，解得m＝，
∴直線AP的解析式為y＝x，
解方程組，得，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP＝90°，
同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣16，﹣）．
綜上所述：符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）．
18．反比例函數(shù)（k為常數(shù)．且k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），B（3，m）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，
①求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②求△PAB的面積．
解：（1）把A（1，3）代入y＝得，k＝3，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y＝；
把B（3，m）代入y＝得，m＝1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；
（2）①如圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，則B′（3，﹣1），連接AB′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最?。?br>設(shè)直線AB′的關(guān)系式為y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，
，解得，，
∴直線AB′的關(guān)系式為y＝﹣2x+5，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，即：P（，0），也就是，OP＝，
②S△PAB＝S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN＝（1+3）×2﹣（﹣1）×3﹣（3﹣）×1＝．
19．如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象與反比例y＝（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）①在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②在x軸上找一點(diǎn)M，使|MA﹣MB|的值為最大，直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y＝﹣x+4，得a＝3，
∴A（1，3），
把點(diǎn)A（1，3）代入反比例y＝，得k＝3，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝，
解得或，
故B（3，1）．
（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小
∴D（3，﹣1）
設(shè)直線AD的解析式為y＝mx+n，則，解得，
∴直線AD的解析式為y＝﹣2x+5，令y＝0，則x＝，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；
（3）直線y＝﹣x+4與x軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，此時(shí)|MA﹣MB|的值為最大，
令y＝0，則x＝4，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．
20．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，﹣2），反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，兩函數(shù)圖象的另一個交點(diǎn)E的坐標(biāo)是（m，3）．
（1）分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．
（2）求出m的值，并根據(jù)圖象回答：當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．
（3）若點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，△AOP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求點(diǎn)P坐標(biāo)．
解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣2），
∴AB＝1+2＝3，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC＝AB＝3，
∴C（3，﹣2），
把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝﹣；
把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，
得，解得，
∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+1；
（2）∵反比例函數(shù)y＝﹣的圖象過點(diǎn)E（m，3），
∴m＝﹣2，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，3）；
由圖象可知，當(dāng)x＜﹣2或0＜x＜3時(shí)，一次函數(shù)落在反比例函數(shù)圖象上方，
即當(dāng)x＜﹣2或0＜x＜3時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；
（3）設(shè)P（t，﹣），
∵△AOP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，
∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（18，﹣）或（﹣18，）．
21．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上的一個動點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C；E是線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AC的垂線，與y軸和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)B、D兩點(diǎn)；連接AB、BC、CD、DA．設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含有m的代數(shù)式表示）；
（2）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是正方形？并求出此時(shí)AD所在直線的解析式．
解：（1）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，
∵E是AC的中點(diǎn)，AC⊥x軸，
∴E（m，），
∵BD⊥AC，AC⊥x軸，
∴BD∥x軸，
∴點(diǎn)B，E，D的縱坐標(biāo)相等，為，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2m，
∴D（2m，）；
（2）四邊形ABCD是菱形，
∵B（0，），E（m，），D（2m，），
∴EB＝ED＝m，
∵AE＝EC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵BD⊥AC，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
（3）∵平行四邊形ABCD是菱形，
∴當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形，
∴2m＝，
∴m＝2，或m＝﹣2（舍），
∴A（2，4），D（4，2），
設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直線AD解析式為y＝﹣x+6，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，四邊形ABCD是正方形，此時(shí)直線AD解析式為y＝﹣x+6．
22．如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝交于點(diǎn)C、D，且點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣2，m）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)M在y軸正半軸上，且與點(diǎn)B，C構(gòu)成以BC為腰的等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)P在第二象限的反比例函數(shù)圖象上，若tan∠OCP＝3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：（1）∵點(diǎn)C（﹣2，m）在一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象上，
∴m＝﹣（﹣2）+2，
解得：m＝4，
∴C（﹣2，4），
將C（﹣2，4）代入y＝，得k＝﹣8，
∴反比例函數(shù)為y＝﹣；
（2）如圖1，過點(diǎn)C作CH⊥y軸于H，
在直線y＝﹣x+2中，當(dāng)x＝0時(shí)，則y＝2，
∴B（0，2），
由（1）知，C（﹣2，4），
∴BC＝＝2，
當(dāng)BM＝BC＝2時(shí)，OM＝2+2，
∴M（0，2+2），
當(dāng)BC＝MC時(shí)，點(diǎn)C在BM的垂直平分線，
∴M（0，6），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2+2）或（0，6）
（3）作OQ⊥PC于Q，過Q作HG⊥x軸于G，CH∥x軸，交HG于H，
則△CHQ∽△QGO，
∴，
∵tan∠OCP＝3，
∴，
設(shè)CH＝x，則GQ＝3x，HQ＝4﹣3x，
∴OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2，
解得x＝1，
∴Q（﹣3，3），
∴直線CQ的解析式為y＝x+6，
∴x+6＝﹣，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，
∵點(diǎn)P與C不重合，
∴P（﹣4，2）．

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